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偏微分方程的數(shù)值方法,劉 銘,偏微分方程定解問題，是表述自然與工程技術(shù)領(lǐng)域中各種現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)工具之一，應(yīng)用十分廣泛。 遺憾的是，絕大多數(shù)偏微分方程的解不能以實用的解析形式來表示，因而其數(shù)值解就顯得尤為重要。,雖然常微分方程數(shù)值方法的歷史可以追溯到18世紀，一些偏微分方程的數(shù)值方法也在20世紀初得到研究，但是，它們發(fā)展成為一門理論上嚴謹，實用上有效的學(xué)科，還是20世紀50年代以來的事，這主要得益于電子計算機的誕生。,偏微分方程的分類,（1）橢圓型方程 （2）拋物型方程（如熱傳導(dǎo)方程） （3）雙曲型方程（如波動方程）,三種類型的邊界條件： （1）狄里赫利型邊界條件（第一類邊界條件）：邊界上的函數(shù)值已知； （2）紐曼型邊界條件（第二類邊界條件）：邊界上函數(shù)的法向?qū)?shù)值已知或是一種連續(xù)函數(shù)。 （3）混合邊界條件：邊界條件為第一類邊界條件和第二類邊界條件的線性組合。,,,邊界條件,數(shù)值求解偏微分方程定解問題的主要方法,1.差分方法 2.有限元方法,共同點：都是將連續(xù)的偏微分方程進行離散，采取適當(dāng)形式將其化為線性代數(shù)方程組，通過求解代數(shù)方程組給出其數(shù)值解。,差分方法,無論是常微分方程還是偏微分方程，初值問題或邊值問題，橢圓型、雙曲型或拋物型二階線性方程，以及高階方程或非線性方程，通常均可利用此法將它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，再借助計算機求其數(shù)值解。,,目前，對于線性偏微分方程定解問題，差分方法已經(jīng)形成了較成熟的算法格式，對于非線性問題，有效的算法正在迅速發(fā)展之中。,差分方法的準備工作,（1）把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格； （2）把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的函數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的離散的數(shù)值代替。 網(wǎng)格的劃分有不同的方法，有正方形和三角形網(wǎng)格等劃分方法。,差分方法的基礎(chǔ)，即泰勒級數(shù)展開：,差分方法的基本概念 ---用差商代替導(dǎo)數(shù),一階導(dǎo)數(shù)的差分表達式： 二階導(dǎo)數(shù)的差分表達式：,,,隨著精度的不斷提高，可以推導(dǎo)出無窮無盡的差分表達式。對于高階精度公式，其優(yōu)點、缺點： （1）缺點：高階精度的差分需要更多的網(wǎng)格點，所以計算中的每一步都需要更多的計算時間。 （2）優(yōu)點：要得到相同精度的解，如果使用高階差分格式，網(wǎng)格點的總數(shù)可以更少一些；高階差分格式可以給出質(zhì)量更高的解。,例如，方程 有兩個自變量x和t，設(shè)t是用于推進求解的變量 。i是x方向的標(biāo)號，n是t方向的標(biāo)號。設(shè)第n層上的數(shù)值已知，求第n+1層上的數(shù)值。,,差分方程的顯式方法與隱式方法,顯式方法,時間導(dǎo)數(shù) x方向?qū)?shù) 差分方程：,,,,隱式方法,,整理隱式格式，將未知量放在等式左邊，已知量放到右邊，得 隱式格式可化成三對角形式的方程組。,,顯式方法：每一個差分方程只包含一個第n+1層的未知數(shù)，從而這個未知數(shù)可以用直接計算的方式顯式地求解。顯式方法是最簡單的方法。,隱式方法：包含第n+1層上的多個未知量，必須形成一個代數(shù)方程組。由于需要求解聯(lián)立的代數(shù)方程組，隱式方法通常涉及大型矩陣的運算。比顯式方法需要更多、更復(fù)雜的計算。,顯示方法和隱式方法的優(yōu)缺點,1）顯式方法 優(yōu)點：方法的建立及編程相對簡單。 缺點：對取定的△x，△t必須小于穩(wěn)定性條件對它提出的限制。在某些情形，△t必須很小，才能保持穩(wěn)定性。要將時間推進計算到時間變量的給定值，就需要很長的計算機運行時間 。,2）隱式方法 優(yōu)點：用大得多的△t值也能保持穩(wěn)定性。要將時間推進計算到時間變量的給定值，需要少得多的時間步，這將使計算機運行時間更短。 缺點：方法的建立和編程更復(fù)雜。而且，由于每一時間步的計算通常需要大量的矩陣運算，每一時間步的計算機運行時間要比顯式方法長得多。,求解偏微分方程的一些差分方法,,有限元方法,有限元方法屬于變分法的范疇，是古典的變分法和分片多項式插值相結(jié)合的產(chǎn)物。 由于差分法通常采用方形網(wǎng)格，很難適應(yīng)區(qū)域形狀的任意性，而有限元方法可以用多種多樣的網(wǎng)格對區(qū)域作剖分，可以適應(yīng)各種形狀的區(qū)域。,MATLAB的偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）提供了空間二維問題高速、準確的求解過程。用戶只要使用界面或M文件，畫出所需要的區(qū)域，輸入方程類型和有關(guān)系數(shù)，就可顯示解的圖形和輸出解得數(shù)值。,謝 謝！,