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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理 試卷說明： 1、本試卷滿分150分，答題時間120分鐘。 2、請將答案直接填涂在答題卡上，考試結(jié)束只交答題卡。 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.) 1．復(fù)數(shù)z＝的共軛復(fù)數(shù)是(　　) A．－1＋i B．－1－i C．2＋i D．2－i 2．已知命題p：?x0∈C，x＋1<0，則 (　　)　　　　　　 A．p：?x∈C，x2＋1≤0 B．p：?x∈C，x2＋1<0 C．p：?x∈C，x2＋1≥0 D．p：?x∈C，x2＋1>0 3．某單位有職工75人，其中青年職工35人，中年職工25人，老年職工15人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本容量為15，則樣本中的青年職工人數(shù)為 (　　) A．7 B．15 C．25 D．35 4．已知一個家庭有兩個小孩，則兩個孩子都是女孩的概率為(　　) A． B． C． D． 5．雙曲線x2－＝1的離心率大于的充分必要條件是(　　) A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2 6．下列命題中，假命題是(　　) A．若命題p和q滿足p∨q為真，p∧q為假，，則命題p與q必一真一假 B．互為逆否命題的兩個命題真假相同 C．“事件A與B互斥”是“事件A與B對立”的必要不充分條件 D．若f(x) =2x，則f ′(x)＝x2x－1 7．閱讀右面的程序框圖，若輸入的n是100，則輸出的變量S的值是(　　) A．5 049 B．5 050 C．5 051 D．5 052 8．用秦九韶算法求多項式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值，當(dāng)x＝3時，v3的值為(　　) A．789 B．262 C．86 D．27 9．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)。現(xiàn)在設(shè)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：＋＝1，點(diǎn)A、B是它的兩個焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在A點(diǎn)處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時，小球經(jīng)過的路程可能是(　　) A．2(4－) B．2(4＋) C．16 D．以上均有可能 10．函數(shù)y＝x3－3x＋k有三個不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是(　　) A． (2，＋∞) B．(－2，2) C．(－∞，－,2) D．[－2，2] 11．設(shè)f (x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，則不等式f(x)g(x)>0的解集是(　　) A．(－∞，－3)∪(0,3) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D． (－3,0)∪(3，＋∞) 12．已知函數(shù)若對任意，恒成立，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 （非選擇題 滿分90分） 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．在平面幾何里，有“若△ABC的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積S為(a＋b＋c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積V為________” 。 14．如圖所示，從長方形OABC內(nèi)任取一個點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P取自陰影部分的概率為_______。 15．某工廠對某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)： 產(chǎn)量x(千件) 2 3 5 6 成本y(萬元) 7 8 9 12 由表中數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程＝x＋中＝1.1，預(yù)測當(dāng)產(chǎn)量為9千件時，成本約為________萬元。 16．若在拋物線2y＝x2上存在兩個不同的點(diǎn)M、N關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則實數(shù)k的取值范圍是____________。 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17（本小題滿分10分) 數(shù)列{an}滿足 (n∈N*)，且， (I)計算a2、a3、a4，并推測an的表達(dá)式； (II) 請用數(shù)學(xué)歸納法證明你在(I)中的猜想。 18（本小題滿分12分） 某校為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，以5%的比例隨機(jī)抽取20位學(xué)生,根據(jù)他們的期中考試數(shù)學(xué)成績作出頻率分布直方圖如右圖所示,其中成績分組區(qū)間是：、、、、， (I) 求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校成績落在[50,60)中的學(xué)生人數(shù)； (II) 從樣本中成績在[50,70)的學(xué)生中人任選2人，求這2人的成績都在[60,70)中的概率。 19（本小題滿分12分） 已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點(diǎn)A(2，－4)， (I)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線l的方程； (II)若點(diǎn)B(0,2)，求過點(diǎn)B且與拋物線C有且僅有一個公共點(diǎn)的直線l的方程。 20（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx，其中a、b是實數(shù)， (I)已知a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}，求事件A：“f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)”發(fā)生的概率； (II)若f(x)是R上的奇函數(shù)，且b＝－4, 求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。 21（本小題滿分12分） 已知橢圓E與雙曲線焦點(diǎn)相同，且過點(diǎn)， (I) 求橢圓E的方程； (II) 直線AB和直線CD均過原點(diǎn)且互相垂直，若四點(diǎn)都在橢圓E上，求四邊形ACBD面積S的取值范圍。 22（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)=(a＋1)lnx＋x2－x ， (I)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (II) 討論函數(shù)的單調(diào)性； (III) 設(shè),如果對任意,均有，求的取值范圍。 參考答案 17．解: (I) a2＝; a3＝; a4＝,由此猜想an＝ (n∈N*) …5分 (II)證明：①當(dāng)n＝1時，a1＝0，結(jié)論成立， ②假設(shè)n＝k(k≥1,且k∈N*)時結(jié)論成立,即ak＝,當(dāng)n＝k＋1時,ak＋1＝ ∴當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立，由①②，對于一切的正整數(shù)n∈N*，an＝成立 …………10分 18．解： (I)由題可知組距為10， (2a＋2a＋3a＋6a＋7a)10＝1，解得a＝0.005 …………3分 該?？?cè)藬?shù)為400，由圖,知落在[50,60)的頻率為2a10＝0.1，由此估計該范圍內(nèi)的人數(shù)為40 …6分 (II)記[50,60)范圍內(nèi)的有2人，[60,70)范圍內(nèi)的有3人，從5人選2人共有10種情況，且每種情況等可能出現(xiàn)， 其中2人成績都在[60,70)范圍內(nèi)的有3種情況，因此所求概率為 ………12分 19．解：(I)由題，拋物線C的方程為y2＝8x，其準(zhǔn)線l方程為x＝－2； …………4分 (II)由題，①當(dāng)直線l的斜率不存在時，y軸符合題意，其方程為x＝0； ②如果直線l的斜率為0，y＝2符合題意； ③如果直線l的斜率存在且不為0，則設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，由得ky2－8y＋16＝0， 由Δ＝64－64k＝0得k＝1，故直線l的方程為y＝x＋2，即x－y＋2＝0， 因此，直線l的方程為x＝0或y＝2或x－y＋2＝0。（用其他方法解答的請酌情給分） …………12分 20．解：(I) 當(dāng)a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}時，等可能發(fā)生的基本事件(a，b)共有9個， 事件A即f ′(x)＝x2－2ax＋b≥0恒成立，即a2≤b,包含5個基本事件,即事件A發(fā)生的概率為; ……6分 (II) f(x)＝x3－4x， f ′(x)＝x2－4，由f ′(x)＝0可知x＝2，列表如下： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－2)和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)， f(x)在x＝－2處取得極大值；f(x)在x＝2處取得極小值。 …………12分 21．(I)由題可設(shè)橢圓E：(a>b>0)，其中，解得， 即橢圓E的方程為； …………4分 (II)由題，分兩類討論：①若為橢圓E的頂點(diǎn)，則S=， …………6分 ② ,同理,， S= ，S， 由①②，四邊形ACBD面積S的取值范圍是（用其他方法解答的請酌情給分） ……12分 22．解：(I)由題，時，，故所求切線方程為3x－y－3＝0； ………4分 (II) f(x)定義域為， f ′(x)＝，， ①時，f(x)在上為增函數(shù)； ②時，f(x)增區(qū)間為，減區(qū)間為; ③時，f(x)增區(qū)間為，減區(qū)間為; …8分 (III) 由(II)，時， f(x)在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則有，即恒成立，