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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的極限》說課稿 新人教A版 極限是數(shù)學(xué)中極其重要的概念之一,極限的思想是人們認(rèn)知數(shù)學(xué)世界解決數(shù)學(xué)問題的重要武器，是高等數(shù)學(xué)這個(gè)龐大的數(shù)學(xué)體系得以建立的基礎(chǔ)和基石。下面我從這三個(gè)方面來闡述我對(duì)這節(jié)課的理解和設(shè)計(jì). 一、教材分析與處理 （一）教材分析 數(shù)列的極限是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（試驗(yàn)修訂本）第三冊(cè)第二章的內(nèi) 容,極限的概念是本章內(nèi)容的基礎(chǔ),也是導(dǎo)數(shù),積分的基礎(chǔ),它對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起承上啟下的作用.新教材的教學(xué)參考書對(duì)極限的定義不作嚴(yán)格要求,只要求從數(shù)列的變化趨勢(shì)來理解、體會(huì)極限思想。新的課改理念，更加注重潛移默化的素質(zhì)教育，而本節(jié)課對(duì)學(xué)生辯證唯物主義世界觀的形成具有非常重要的作用，因此，在尊重教材的基礎(chǔ)上我對(duì)本節(jié)知識(shí)進(jìn)行了重組，著重在培養(yǎng)、提高學(xué)生的素質(zhì)上下功夫。 （二）學(xué)情分析及對(duì)策 由于面對(duì)的是高三的學(xué)生，雖然很多數(shù)學(xué)能力已形成，并都能求出數(shù) 列的通項(xiàng)，但由于學(xué)生個(gè)體間有差異，未必都能由通項(xiàng)看出項(xiàng)的變化趨勢(shì)；另外學(xué)生的辯證唯物主義世界觀還沒有完全形成，對(duì)概念的理解還有困難。針對(duì)這兩點(diǎn)我采取加強(qiáng)直觀教學(xué)，改善學(xué)生狀況。 因此根據(jù)大綱，并結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,我設(shè)計(jì)了以下的教學(xué)目標(biāo)。 （三）教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能：理解數(shù)列極限的概念,會(huì)求簡單數(shù)列的極限；從中 培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,挖掘?qū)W生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)造能力; 2、過程與方法：體現(xiàn)由特殊到一般的方法，數(shù)形結(jié)合的方法； 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義思想情感; 揭示數(shù)學(xué)世界中的辨證關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生從有限中認(rèn)識(shí)無限,從近似中認(rèn)識(shí)精確,從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變,從而促進(jìn)學(xué)生辯證唯物主義世界觀的形成。 （四）重點(diǎn)和難點(diǎn) 由于數(shù)列極限概念的形成和理解過程是本節(jié)知識(shí)的支撐點(diǎn),也是本章后續(xù)知 識(shí)的出發(fā)點(diǎn),故數(shù)列極限的概念是教學(xué)的重點(diǎn).又由于極限概念中含有“無限”一詞,而中學(xué)生在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要接觸的是關(guān)于“有限”的問題,很少涉及“無限”的問題.因此對(duì)極限概念如何從變化趨勢(shì)的角度來正確理解為教學(xué)的難點(diǎn). 二、教學(xué)方法和手段 （一）教學(xué)方法 采用啟發(fā)式探索發(fā)現(xiàn)法和啟發(fā)式講解法,創(chuàng)設(shè)富有啟發(fā)的學(xué)習(xí)情境,循循善誘充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；在知識(shí)的分析上,注意從特殊到一般的歸納,克服理解抽象的困難. （二）教學(xué)手段 本節(jié)課充分發(fā)揮多媒體直觀、形象的動(dòng)態(tài)功能，為數(shù)列極限概念的理解奠定直觀、形象的認(rèn)知基礎(chǔ);同時(shí)利用多媒體對(duì)數(shù)列進(jìn)行作圖,通過數(shù)形結(jié)合既提高了學(xué)生觀察、分析能力又減輕了學(xué)生負(fù)擔(dān),突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。 （三）學(xué)法指導(dǎo) 教師的教學(xué)活動(dòng)不僅要使學(xué)生學(xué)會(huì),更重要的是使學(xué)生會(huì)學(xué).因此教師通過 學(xué)生觀察、分析、比較、抽象和概括,促使學(xué)生對(duì)極限概念理解的深刻性作出探索,從而把傳授知識(shí)和培養(yǎng)能力融為一體,完成數(shù)列極限概念的教學(xué). 三、教學(xué)程序 為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，我從三個(gè)方面來完成本節(jié)課教學(xué)：概念的提出；概念的深化；概念的應(yīng)用。 (一) 概念的提出 1. 導(dǎo)入新課： 教學(xué)應(yīng)該由淺入深,由表及里,逐漸深化,教學(xué)的導(dǎo)入應(yīng)該前后連貫以舊引新,從舊知識(shí)中尋找新知識(shí)的生長點(diǎn),造成一種合乎邏輯的認(rèn)知突破.因此我設(shè)計(jì)了以下的引入: 已知一個(gè)三角形，連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)小三角形，又連結(jié)這個(gè)小三角形的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)更小的三角形，如此無限繼續(xù)下去（教師一邊給出題目一邊展示圖形），引導(dǎo)學(xué)生觀察以各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，問：這樣的三角形有多少個(gè)呢？學(xué)生應(yīng)該能答出有無窮多個(gè)，教師再問：這些三角形的面積依次怎樣變化呢？學(xué)生也能答出越來越小，這時(shí)教師補(bǔ)充小到幾乎是零。為了強(qiáng)化這種意識(shí)，教師再舉例拿一根線繩，演示莊子哲學(xué)命題的含義：對(duì)折，對(duì)折，再次對(duì)折，…如此繼續(xù)下去，理論上永遠(yuǎn)也做不完。這兩個(gè)例子體現(xiàn)了一個(gè)共同的思想——極限思想，也可以說是逼近思想，這就是這一節(jié)我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，由此引出課題——數(shù)列的極限。 這樣做讓學(xué)生感到它不是可看而不可及的知識(shí)，對(duì)極限的整體有個(gè)認(rèn)識(shí)，同時(shí)由現(xiàn)實(shí)生活中問題的引入，可以使學(xué)生覺得很親切、很自然，易于激發(fā)濃厚的學(xué)習(xí)興趣。接著分析具體例子展開新課。 分別求出下列無窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,并考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí),項(xiàng)的變化趨勢(shì): （1） , , , , … （2） , , , , … （3） ，，，，… （4） , -, , -, … （5） -, , - ,, … 首先，直接觀察數(shù)列的各項(xiàng)，如果學(xué)生都很容易地看出每個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)，那么繼續(xù)考察距離的差，即|an-a|,看它是否接近于零。否則讓學(xué)生從圖象來看各數(shù)列的變化趨勢(shì)，然后再進(jìn)行距離差的考察。 通過討論得出數(shù)列（2）、（3）、（4）的共同特點(diǎn)：即隨著項(xiàng)數(shù)n的無限增大數(shù)列中的項(xiàng)an無限的趨近于一個(gè)常數(shù)a,并向?qū)W生指出:我們把具有這種特征的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列,常數(shù)a稱為該數(shù)列的極限.這樣就得出了數(shù)列極限的描述性定義. 2. 抽象定義： 一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列｛an｝的項(xiàng)an無限地趨近于某個(gè)常數(shù)a（即|an-a|無限地接近于0），那么就說數(shù)列｛an｝以a為極限，或者說a是數(shù)列｛an｝的極限。記作liman= a。 這樣設(shè)計(jì)的目的是：（1）尊重教材，為后面知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)；（2）體現(xiàn)新、舊教材的區(qū)別，注重學(xué)生能力、方法的培養(yǎng)，挖掘新教材的優(yōu)點(diǎn)；（3）由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，真正地使學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、分析、比較、歸納，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。 （二）概念的深化 為了讓學(xué)生更好地理解概念的內(nèi)涵,下面演示著名的“劉徽割圓術(shù)”。其文字內(nèi)容是“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”，其數(shù)學(xué)圖形是（展示），引導(dǎo)學(xué)生觀察思考得出結(jié)論:圓的內(nèi)接正n邊形面積所構(gòu)成的數(shù)列,其極限就是圓的面積,并指出:劉徽是最早用數(shù)列極限的思想求圓面積的科學(xué)家,他一直算到了正192邊形,得到 p 3.14,被稱為徽率. 通過這一實(shí)例,讓學(xué)生直觀地、初步地感知從有限中認(rèn)識(shí)無限，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的這種極限思想.為理解概念、突破難點(diǎn)奠定直觀形象的認(rèn)知基礎(chǔ)。同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行毅志品質(zhì)的教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。 接著提出問題,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突: 1、根據(jù)數(shù)列極限的描述性定義,我們知道上述無窮數(shù)列（2）的極限是0,也就是說隨著項(xiàng)數(shù)n的無限增大,數(shù)列中的項(xiàng)無限地趨近于0。問題是:在數(shù)列的項(xiàng)無限地趨近于0的過程中,實(shí)際上數(shù)列的項(xiàng)也越來越趨近于常數(shù)-0.001,可為什么我們不說數(shù)列的極限是-0.001呢?這樣就促使學(xué)生集中注意力,開始產(chǎn)生有針對(duì)性的思維活動(dòng). 2、經(jīng)過對(duì)比思考容易發(fā)現(xiàn),越來越趨近和無限趨近是有差別的:所謂越來越趨近指的是距離越來越小,而無限趨近不僅要求距離越來越小,而且能夠無限的小,即 | a n- a |這個(gè)距離的差趨近于0。通過問題的解決，使學(xué)生對(duì)概念的理解從理性上又上了一個(gè)層次。 (三)概念的應(yīng)用: 心理學(xué)家認(rèn)為,概念一旦獲得如不及時(shí)加以總結(jié),就會(huì)遺忘或混淆,并且必 須通過解題訓(xùn)練加以鞏固. 1、例題講解: 例1. 考察下面的數(shù)列,有極限的寫出它們的極限: （1）, , , …, n2, … （2） , , , …, 5/10n, … （3） , , , …, 1/(-2) n, … （4）–, -, -, …, -, … （5） ，，， -， -，…，- 對(duì)于這一例題，教師給學(xué)生一定的時(shí)間和空間,讓學(xué)生自主討論、交流。最后教師啟發(fā)總結(jié)三點(diǎn): (1) 常數(shù)列的極限就是它本身； (2) 前面有限項(xiàng)不影響整個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)，趨勢(shì)只是后面無限項(xiàng)； (3) 單調(diào)有界的無窮數(shù)列有極限，且極限唯一。 通過這一例題,(1)使學(xué)生進(jìn)一步理解,體會(huì)描述性定義的內(nèi)涵和一般性的結(jié)論;(2) 讓學(xué)生從具體地?cái)?shù)學(xué)實(shí)例中主動(dòng)的領(lǐng)會(huì)量變與質(zhì)變、有限與無限的哲學(xué)思想,從而促進(jìn)學(xué)生辯證唯物主義世界觀的形成，完成教學(xué)目標(biāo);(3)從教學(xué)方法方式上,充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，做到人人得思維,人人有見解,生生相合,生生相駁,生生互動(dòng). 總結(jié)的目的是進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)列極限的認(rèn)識(shí),為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 2、反饋練習(xí): （1）已知DABC的面積為a，連接它的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)小三角形，又 連接這個(gè)小三角形的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)更小的三角形，如此繼續(xù)下去，求這些三角形的面積所構(gòu)成的無窮數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的極限。 它是引入中中點(diǎn)三角形問題的深化，經(jīng)過計(jì)算學(xué)生能很容易求解。安排它目的是通過實(shí)例貫穿始終，讓學(xué)生覺得不僅僅從觀察能產(chǎn)生一種逼近的思想，而且能通過具體的數(shù)值來解釋這個(gè)結(jié)論，從而加深理解此題，也有利于概念的理解。 （2）下面的四個(gè)式子中正確的是 ( ) A. 0.99 …<1, B. 0.91, C. 0.99…9=1, D. 0.9=1 練習(xí)（2）考察了極限符號(hào)的又一種表示形式，這是學(xué)生很熟悉的一個(gè)數(shù)值，但也是很有爭議的一個(gè)問題，完全由學(xué)生來解決，意在強(qiáng)化理解概念，開擴(kuò)學(xué)生的思維，再次促進(jìn)學(xué)生從近似中認(rèn)識(shí)精確的辯證唯物主義世界觀的形成。 （四）小結(jié)： 由于本節(jié)課在內(nèi)容上側(cè)重概念的辨析，方法上主要采取以學(xué)生活動(dòng)為主的啟發(fā)式教學(xué)，故由學(xué)生來總結(jié)。 1、知識(shí)內(nèi)容總結(jié)： （1）理解數(shù)列極限的定義，會(huì)求簡單數(shù)列的極限； （2）區(qū)別越來越趨近與無限趨近的含義。 2、思想方法的總結(jié)： 在理解概念和解題的過程中，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，認(rèn)識(shí)有限與 無限、量變與質(zhì)變、近似與精確的辯證唯物主義原理在數(shù)列極限中的體現(xiàn)。 通過學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念的理解，使知識(shí) 結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦中得以完善，思想方法得以深化. (五)作業(yè)： 1、下面的數(shù)列有極限嗎？如果有，寫出極限的值 (1) ，20，30，…，n0, …; (2) , , , …，(2/3)n, …; (3) , , , …，(3/2)n , …; (4) -2.9, -2.99, -2.999, …，-3+1/10n, …， 2、已知數(shù)列，，，…，（2n+1）/2n, … (1)把這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)在數(shù)軸上表示出來； (2)寫出|an-1|的解析式，其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)； (3)指出數(shù)列﹛（2n+1）/2n ）的極限. 3、（選做題）已知，三角形的一條邊長為a，這條邊上的高為h，過高的n等分點(diǎn)分別作底邊的平行線，并作出相應(yīng)的n個(gè)矩形.考慮：當(dāng)n無限增大時(shí)，這些矩形面積之和是否等于三角形的面積ah/2. （六）板書設(shè)計(jì)： 數(shù)列的極限 一、 概念的提出 二、概念的深化 三、概念的應(yīng)用 定義： (1) 例1 (2) 例2 練習(xí)1 練習(xí)2