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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《曲線與方程》說(shuō)課稿 新人教A版選修2-1 【課題】曲線與方程P34 【教材】高中新課標(biāo)人教A選修2－1 2.1.1曲線與方程 一、教材分析: 1．教材內(nèi)容 《曲線與方程》這一節(jié)在教材中劃分為兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容為介紹解析幾何的有關(guān)知識(shí)和《必修2》中的研究直線與圓的坐標(biāo)法，概括出曲線與方程的概念。第二課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容則是在前一課時(shí)的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)探究求曲線方程的一般方法步驟，進(jìn)一步深入探究求曲線軌跡方程的其它方法。 2.教材地位和作用 “曲線和方程”這節(jié)教材揭示了幾何中的形與代數(shù)中的數(shù)相統(tǒng)一的關(guān)系，為“作形判數(shù)”與“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化開(kāi)辟了途徑，這正體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，對(duì)解析幾何教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響。從知識(shí)上說(shuō)，曲線與方程的概念是對(duì)后面所學(xué)的求出曲線的方程的準(zhǔn)確性來(lái)說(shuō)是很關(guān)鍵的，它在下節(jié)課中起到基礎(chǔ)性的作用，不僅是本節(jié)的重點(diǎn)概念，也是高中學(xué)生較難以理解的一個(gè)概念。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生對(duì)概念的理解能力，也為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有重要作用，是培養(yǎng)高二學(xué)生的觀察分析能力和邏輯思維能力的重要訓(xùn)練內(nèi)容。 3.教材重點(diǎn)、難點(diǎn) 本節(jié)重點(diǎn)：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念 本節(jié)難點(diǎn)：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念并利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程 重難點(diǎn)突破分析：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念是本節(jié)的重點(diǎn)，本節(jié)課是由幾個(gè)特例上升到抽象概念的過(guò)程，學(xué)生容易對(duì)定義中為什么要規(guī)定兩個(gè)關(guān)系產(chǎn)生困惑，原因是不理解兩者缺一都將擴(kuò)大概念的外延，也就是曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解透徹問(wèn)題。由于學(xué)生已經(jīng)具備了用方程表示直線、圓、拋物線等實(shí)際模型，積累了感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，所以可用舉反例的方法來(lái)解決困惑，通過(guò)反例揭示“兩者缺一”與直覺(jué)的矛盾，從而又促使學(xué)生對(duì)概念表述的嚴(yán)密性進(jìn)行探索，加強(qiáng)認(rèn)識(shí)曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生通其法，知其理。 怎樣利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)。通常在由已知曲線建立方程的時(shí)候，不驗(yàn)證方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上，就斷然得出所求的是曲線方程。這種現(xiàn)象在高考中也屢見(jiàn)不鮮。為了突破難點(diǎn)，本節(jié)課通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)展示，由于課標(biāo)只作為了解，在本節(jié)課不要求學(xué)生必須掌握。 二、教學(xué)目標(biāo)分析 ◆知識(shí)目標(biāo)： 1、理解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系； 2、初步領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念； 3、學(xué)會(huì)根據(jù)已有的資料找規(guī)律，進(jìn)而分析、判斷、歸納結(jié)論； 4、強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。 ◆能力目標(biāo)： 1、通過(guò)直線方程的引入，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方程的解和曲線上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)； 2、在形成曲線和方程的概念的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，探索出結(jié)論，并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)； 3、在構(gòu)建曲線和方程概念的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力、知識(shí)遷移能力、合情推理能力，同時(shí)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”結(jié)合并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。 ◆情感目標(biāo)： 1、通過(guò)概念的引入，讓學(xué)生感受從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律； 2、通過(guò)反例辨析和問(wèn)題解決，培養(yǎng)合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。 總之，在本教學(xué)設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者對(duì)知識(shí)、能力、情感三目標(biāo)的確定，充分考慮了師生怎樣主動(dòng)與新教材的對(duì)課堂教學(xué)的新要求相符，如何適應(yīng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)發(fā)展的需求等等。 三．教法分析 探究式教學(xué)是適應(yīng)新課程體系的一種全新教學(xué)模式，因此在我的教學(xué)中，主要采用探究式教學(xué)方法。從實(shí)例、到類比歸納、到推廣的問(wèn)題探究方式，它對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力都十分有利。啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生得出概念，深化概念，并應(yīng)用它所解決問(wèn)題去討論、去研究。用舉反例的方法來(lái)突破難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念表述的嚴(yán)密性進(jìn)行探索的探究教學(xué)法。在師生互動(dòng)中解決問(wèn)題，為提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力打下了基礎(chǔ)。同時(shí)結(jié)合多媒體輔助教學(xué)，節(jié)省了板書(shū)時(shí)間，增大了信息量，增強(qiáng)了直觀形象性。 四．學(xué)法指導(dǎo) 問(wèn)題探究和啟發(fā)引導(dǎo)式相結(jié)合。本節(jié)屬于概念教學(xué)，可采用以語(yǔ)言傳遞信息、分析概念的講授法。引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，親身實(shí)踐，獨(dú)立思考，合作探究，發(fā)展學(xué)生搜集處理信息的能力，獲取新知識(shí)的能力，分析和解決問(wèn)題的能力，以及交流合作的能力，基于此，本節(jié)課從實(shí)例引入→類比→推廣→得概念→概念挖掘深化→具體應(yīng)用→作業(yè)中的研究性問(wèn)題的思考，始終讓學(xué)生主動(dòng)參與，親身實(shí)踐，獨(dú)立思考，與合作探究相結(jié)合，在生生合作，師生互動(dòng)中，使學(xué)生真正成為知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者和知識(shí)的研究者。 五、教學(xué)過(guò)程分析 （一）提出課題 師：在本節(jié)課之前，我們研究過(guò)直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示，同時(shí)任何一個(gè)二元一次方程也表示著一條直線。讓學(xué)生畫出方程表示的直線 ◆思考直線上所有點(diǎn)的集合與方程的解的集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是怎樣的？ （出示幻燈片） 1、直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解； 2、以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。 即：直線上所有點(diǎn)的集合與方程的解的集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 我們就可以說(shuō)方程x-y=0是表示直線l的方程，直線l是表示方程x-y=0的直線 ◆（引導(dǎo)學(xué)生思考）我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的還有一些曲線和方程，是否有類似的對(duì)應(yīng)關(guān)系？ （出示幻燈片，引導(dǎo)學(xué)生類比、推廣并思考相關(guān)問(wèn)題） 類比：（引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生說(shuō)出曲線上的點(diǎn)與方程的解之間是否也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意學(xué)生引導(dǎo)學(xué)生類似上面的表達(dá)方式。） 1、圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解； 2、以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上。 即：圓上所有點(diǎn)的集合與方程的解的集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 我們就可以說(shuō)方程是表示此圓的方程，圓是表示方程的圓。 類似的讓學(xué)生表述出以下的對(duì)應(yīng)關(guān)系： ◆推廣：任意的曲線和二元方程是否都能建立這種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？ 也即：方程的解與曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系就能用方程表示曲線C，同時(shí)曲線C也表示著方程？ 設(shè)計(jì)目的：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，所學(xué)的知識(shí)只有通過(guò)學(xué)生的再創(chuàng)造活動(dòng)，才能納入其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。通過(guò)對(duì)以前所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行有意識(shí)的引導(dǎo)探究活動(dòng)，得出所要學(xué)的知識(shí)，并且學(xué)會(huì)類似的表達(dá)，使學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)知識(shí)過(guò)程和容易接受所要學(xué)的知識(shí)，同時(shí)也提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的表達(dá)能力和觀察能力。 （二）通過(guò)合情推理，概括形成定義 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面分析曲線上的點(diǎn)與方程的解之間是否是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，模仿前面的結(jié)論對(duì)“曲線的方程”和“方程的曲線”下這樣的定義： 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： ⑴曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解； ⑵以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)， 那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。 （三）討論歸納給出定義——運(yùn)用反例揭示概念內(nèi)涵 我們?cè)诮o曲線方程下定義時(shí)，語(yǔ)言表述概念不失概念的嚴(yán)謹(jǐn)性，表述是否正確呢？如果概念中的兩點(diǎn)少一點(diǎn)，是否也滿足曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？ 設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)得到的結(jié)論要給予更多的思考，幫助他們提高認(rèn)識(shí)，更加深入探索是概念表述的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵是什么。這也是概念教學(xué)中學(xué)生理解概念的要點(diǎn)，突出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，給學(xué)生較多的時(shí)間互相探究問(wèn)題和討論解決問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)概念的豐富內(nèi)涵有更深的認(rèn)識(shí)。 （出示幻燈片，引導(dǎo)學(xué)生探究和思考相關(guān)問(wèn)題） ◆請(qǐng)同學(xué)們探究下列兩個(gè)圖上曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的對(duì)應(yīng)問(wèn)題： 如圖1：（1）直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是否都滿足方程x-y=0解？ （2）以方程x-y=0解為點(diǎn)的坐標(biāo)是都否直線上？ 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間是否滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 圖1 讓學(xué)生探究得出結(jié)論是不符合的是關(guān)系（1） 如圖2：（1）射線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是否都滿足方程x-y=0解？ （2）以方程x-y=0解為點(diǎn)的坐標(biāo)是都否射線上？ 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間是否滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 圖2 讓學(xué)生探究得出結(jié)論是不符合的是關(guān)系（2） 最后總結(jié)：對(duì)“曲線的方程”和“方程的曲線”下的定義兩點(diǎn)關(guān)系的理解是： 關(guān)系（1）說(shuō)的是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與這個(gè)方程的解都對(duì)應(yīng)。 關(guān)系（2）說(shuō)的是以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都與曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)。 兩點(diǎn)合來(lái)才說(shuō)明是曲線上的點(diǎn)與方程的解之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，二者缺一不可。 設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生通過(guò)探究以上來(lái)兩個(gè)反例對(duì)“曲線上的點(diǎn)與方程的解之間是否滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”，從得出曲線上的點(diǎn)與方程的解之間不滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。使學(xué)生在探究的過(guò)程中提高對(duì)概念的理解。 （四）通過(guò)練習(xí)應(yīng)用和強(qiáng)化概念的理解（出示幻燈片，給學(xué)生足夠時(shí)間練習(xí)） 1.下列各題中，圖所示的的曲線C的方程為所列方程，對(duì)嗎？如果不對(duì)，是不符合關(guān)系（1）還是關(guān)系（2）？ 2.解答下列問(wèn)題，并說(shuō)出各依據(jù)了“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的哪一個(gè)關(guān)系？ ⑴點(diǎn)A（3，－4）、B（，2）是否在方程的圓上？ ⑵已知方程為的圓過(guò)點(diǎn)C（，m），求m的值。 設(shè)計(jì)目的：對(duì)曲線與方程的概念的準(zhǔn)確理解是對(duì)今后求出準(zhǔn)確的曲線方程有重要作用。因此通過(guò)練習(xí)加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用和強(qiáng)化概念的理解，同時(shí)也讓學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)，通過(guò)師生互動(dòng)得到答案，了解學(xué)生理解概念的情況 用概念證明的例題講解P35 例1：證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)的軌跡方程是。 設(shè)計(jì)目的：這為下節(jié)課打下基礎(chǔ)，證明對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難度較大的，也是個(gè)難點(diǎn)，課標(biāo)不作為必須掌握的，本節(jié)課只是讓學(xué)生初步了解，提高對(duì)概念的應(yīng)用能力 分析：引導(dǎo)學(xué)生思考從概念的兩點(diǎn)出發(fā)去找證明思路：（1）證明軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）證明方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。 證明：（1）設(shè)是軌跡上的任意一點(diǎn)，則與x軸的距離是，與y軸的距離是， 即是方程的解。 （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解，則，即 而，分別是點(diǎn)與y軸的距離和x軸的距離，所以點(diǎn)到這兩坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)。 由（1）（2）可知，是與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)的軌跡方程。 （五）小結(jié)歸納 本節(jié)課我們通過(guò)對(duì)實(shí)例的探究，理解了“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義，探究定義時(shí)，要記住關(guān)系⑴、⑵兩者缺一不可，其實(shí)質(zhì)是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足了“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性。曲線和方程之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的確立，把曲線與方程統(tǒng)一了起來(lái)，在此基礎(chǔ)上，我們就可以更多地用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題。讓學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)所用到的數(shù)學(xué)方法和涉及的數(shù)學(xué)思想也有體會(huì)，使學(xué)生能力得到培養(yǎng)。 （六）布置作業(yè)： 作業(yè)P37練習(xí)1,2 習(xí)題2.1 1 （七）板書(shū)設(shè)計(jì) 2.1曲線與方程 1．曲線與方程的定義： 例1： 證明： 2.對(duì)關(guān)系（1）的理解 對(duì)關(guān)系（2）的理解 （有的借助多媒體顯示）