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2019-2020年高中物理 專題04 萬有引力定律全面提高專題整理 萬有引力定律與牛頓三定律，并稱經(jīng)典力學四大定律，可見萬有引力定律的重要性。萬有引力定律定律已成為高考和各地模擬試卷命題的熱點。此部分內(nèi)容在《考綱》中列為Ⅱ級要求。有關(guān)題目立意越來越新，但解題涉及的知識，難度不大，規(guī)律性較強。特別是隨著我國載人飛船升空和對空間研究的深入，高考對這部分內(nèi)容的考查將會越來越強。 一、對萬有定律的理解 1．萬有引力定律發(fā)現(xiàn)的思路、方法 開普勒解決了行星繞太陽在橢圓軌道上運行的規(guī)律，但沒能揭示出行星按此規(guī)律運動的原因．英國物理學家牛頓(公元1642～1727)對該問題進行了艱苦的探索，取得了重大突破． 首先，牛頓論證了行星的運行必定受到一種指向太陽的引力． 其次，牛頓進一步論證了行星沿橢圓軌道運行時受到太陽的引力，與它們的距離的二次方成反比．為了在中學階段較簡便地說明推理過程，課本中是將橢圓軌道簡化為圓形軌道論證的． 第三，牛頓從物體間作用的相互性出發(fā)，大膽假設并實驗驗證了行星受太陽的引力亦跟太陽的質(zhì)量成正比．因此得出：太陽對行星的行力跟兩者質(zhì)量之積成正比． 最后，牛頓做了著名的“月一地”檢驗，將引力合理推廣到宇宙中任何兩物體，使萬有引力規(guī)律賦予普遍性． 2．萬有引力定律的檢驗 牛頓通過對月球運動的驗證，得出萬有引力定律，開始時還只能是一個假設，在其后的一百多年問，由于不斷被實踐所證實，才真正成為一種理論．其中，最有效的實驗驗證有以下四方面． ⑴．地球形狀的預測．牛頓根據(jù)引力理論計算后斷定，地球的赤道部分應該隆起，形狀像個橘子．而笛卡爾根據(jù)旋渦假設作出的預言，地球應該是兩極伸長的扁球體，像個檸檬． 1735年，法國科學院派出兩個測量隊分赴亦道地區(qū)的秘魯(緯度φ＝20)和高緯度處的拉普蘭德(φ＝66)，分別測得兩地1緯度之長為：赤道處是110600m，兩極處是111900m．后來，又測得法國附近緯度1的長度和地球的扁率．大地測量基本證實了牛頓的預言，從此，這場“橘子與檸檬”之爭才得以平息． ⑵．哈雷彗星的預報．英國天文學家哈雷通過對彗星軌道的對照后認為，1682年出現(xiàn)的大彗星與1607年、1531年出現(xiàn)的大彗星實際上是同一顆彗星，并根據(jù)萬有引力算出這個彗星的軌道，其周期是76年．哈雷預言，1758年這顆彗星將再次光臨地球．于是，預報彗星的回歸又一次作為對牛頓引力理論的嚴峻考驗． 后來，彗星按時回歸，成為當時破天荒的奇觀，牛頓理論又一次被得到證實． ⑶．海王星的發(fā)現(xiàn)． ⑷．萬有引力常量的測定． 由此可見，一個新的學說決不是一蹴而就的，也只有通過反復的驗證，才能被人們所普遍接受． 3．萬有引力定律的適用條件 例1、如下圖所示，在半徑R＝20cm、質(zhì)量M＝168kg的均勻銅球中，挖去一球形空穴，空穴的半徑為要，并且跟銅球相切，在銅球外有一質(zhì)量m＝1kg、體積可忽略不計的小球，這個小球位于連接銅球球心跟空穴中心的直線上，并且在空穴一邊，兩球心相距是d＝2m，試求它們之間的相互吸引力． 解： 完整的銅球跟小球m之間的相互吸引力為 這個力F是銅球M的所有質(zhì)點和小球m的所有質(zhì)點之間引力的總合力，它應該等于被挖掉球穴后的剩余部分與半徑為婁的銅球?qū)π∏騧的吸引力 F=F1+F2． 式中F1是挖掉球穴后的剩余部分對m的吸引力，F(xiàn)2是半徑為R／2的小銅球?qū)的吸引力。因為， 所以挖掉球穴后的剩余部分對小球的引力為F1＝F－F2＝2.4110－9N 例2、深入地球內(nèi)部時物體所受的引力 假設地球為正球體，各處密度均勻．計算它對球外物體的引力，可把整個質(zhì)量集中于球心．如果物體深入地球內(nèi)部，如何計算它所受的引力? 如右圖所示，設一個質(zhì)量為m的物體(可視為質(zhì)點)在地層內(nèi)離地心為r的A處．為了計算地球?qū)λ囊?，把地球分成許多薄層．設過A點的對頂錐面上兩小塊體積分別為△V1、△V2．當△V1和△V2很小時，可以近似看成圓臺． 已知圓臺的體積公式 式中R1和R2分別是上、下兩底面的半徑． 當圓臺很小很薄時，且H＜＜　a，H＜＜　b時，R1≈R2≈R．那么Ｖ＝πHR2 根據(jù)萬有引力定律 所以，即兩小塊體積的物體對A處質(zhì)點的引力大小相等，且方向相反，它們的合力為零． 當把地球分成許多薄層后，可以看到，位于A點以外的這一圈地層(右圖中用斜線表示)對物體的引力互相平衡，相當于對A處物體不產(chǎn)生引力，對A處物體的引力完全由半徑為r的這部分球體產(chǎn)生．引力大小為 即與離地心的距離成正比． 當物體位于球心時，r=0，則Fr＝O．它完全不受地球的引力． 所以，當一個質(zhì)量為m的物體從球心(r＝0)逐漸移到球外時，它所受地球的引力F隨r的變化關(guān)系如右圖所示．即先隨r的增大正比例地增大；后隨r的增大，按平方反比規(guī)律減??；當r＝R0(地球半徑)時，引力． 4．注意領(lǐng)會卡文迪許實驗設計的巧妙方法． 由萬有引力定律表達式可知，，要測定引力常量G，只需測出兩物體m1、m2間距離r及它們間萬有引力F即可．由于一般物體間的萬有引力F非常小，很難用實驗的方法顯示并測量出來，所以在萬有引力定律發(fā)現(xiàn)后的百余年間，一直沒有測出引力常量的準確數(shù)值． 卡文迪許巧妙的扭秤實驗通過多次“放大”的辦法解決了這一問題．圖是卡文迪許實驗裝置的俯視圖． 首先，圖中固定兩個小球m的r形架，可使m、m’之間微小的萬有引力產(chǎn)生較大的力矩，使金屬絲產(chǎn)生一定角度的偏轉(zhuǎn)臼，這是一次“放大”效應． 其次，為了使金屬絲的微小形變加以“放大”，卡文迪許用從1發(fā)出的光線射到平面鏡M上，在平面鏡偏轉(zhuǎn)θ角時，反射光線偏轉(zhuǎn)2θ角，可以得出光點在刻度尺上移動的弧長s＝2θR，增大小平面鏡M到刻度尺的距離R，光點在刻度尺上移動的弧長S就相應增大，這又是一次“放大”效應．由于多次巧妙“放大”，才使微小的萬有引力顯示并測量出來．除“放大法”外，物理上觀察實驗效果的方法，還包括“轉(zhuǎn)換法”、“對比法”等． 深刻認識卡文迪許實驗的意義 (1)卡文迪許通過改變質(zhì)量和距離，證實了萬有引力的存在及萬有引力定律的正確性． (2)第一次測出了引力常量，使萬有定律能進行定量計算，顯示出真正的實用價值． (3)標志著力學實驗精密程度的提高，開創(chuàng)了測量弱力的新時代． (4)表明：任何規(guī)律的發(fā)現(xiàn)總是經(jīng)過理論上的推理和實驗上的反復驗證才能完成． 5．物體在地面上所受的引力與重力的區(qū)別和聯(lián)系 地球?qū)ξ矬w的引力是物體具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引力．這是因為地球在不停地自轉(zhuǎn)，地球上的一切物體都隨著地球自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運動，這就需要向心力．這個向心力的方向是垂直指向地軸的，它的大小是，式中的r是物體與地軸的距離，ω是地球自轉(zhuǎn)的角速度．這個向心力來自哪里?只能來自地球?qū)ξ矬w的引力F，它是引力F的一個分力如右圖，引力F的另一個分力才是物體的重力mg． 在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運動的角速度ω相同，而圓周的半徑r不同，這個半徑在赤道處最大，在兩極最小(等于零)．緯度為α處的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力 (R為地球半徑)，由公式可見，隨著緯度升高，向心力將減小，在兩極處Rcosα＝0，f＝0．作為引力的另一個分量，即重力則隨緯度升高而增大．在赤道上，物體的重力等于引力與向心力之差．即．在兩極，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，僅為10－5rad／s數(shù)量級，所以mg與F的差別并不很大． 在不考慮地球自轉(zhuǎn)的條件下，地球表面物體的重力這是一個很有用的結(jié)論． 從圖中還可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力mg才能向地心． 同樣，根據(jù)萬有引力定律知道，在同一緯度，物體的重力和重力加速度g的數(shù)值，還隨著物體離地面高度的增加而減小． 若不考慮地球自轉(zhuǎn)，地球表面處有，可以得出地球表面處的重力加速度． 在距地表高度為h的高空處，萬有引力引起的重力加速度為g＇，由牛頓第二定律可得： 　　即 如果在h＝Ｒ處，則g＇＝g／4．在月球軌道處，由于r＝60Ｒ，所以重力加速度g＇＝ g／3600． 重力加速度隨高度增加而減小這一結(jié)論對其他星球也適用． 例3、某行星自轉(zhuǎn)一周所需時間為地球上的6h，在這行星上用彈簧秤測某物體的重量，在該行量赤道上稱得物重是兩極時測得讀數(shù)的90％，已知萬有引力恒量G＝6.6710－11Nm2／kg2，若該行星能看做球體，則它的平均密度為多少? [解析]在兩極，由萬有引力定律得　　 ① 在赤道 ② 依題意mg＇=O.9mg ③ 由式①②③和球體積公式聯(lián)立解得 二、萬有引力定律在天文學上的應用 1． 萬有引力定律提供天體做圓周運動的向心力 ⑴人造地球衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系 ①由得　　　　　r越大，v越小 ②由得　　　　　r越大，ω越小 ③由得　　　r越大，T越大 例4、土星外層上有一個環(huán)。為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度a與該l層到土星中心的距離R之間的關(guān)系來判斷： ( ＡＤ ) A．若v∝R，則該層是土星的一部分；　　　B．若v2∝R，則該層是土星的衛(wèi)星群 C．若v∝１／R，則該層是土星的一部分 　 D．若v2∝１／R，則該層是土星的衛(wèi)星群 ⑵求天體質(zhì)量、密度 由　　 　即可求得 ⑶人造地球衛(wèi)星的離心向心問題 例5、在地球大氣層外有很多太空垃圾繞地球做勻速圓周運動，每到太陽活動期，由于受太陽的影響，地球大氣層的厚度開始增加，從而使得部分垃圾進入大氣層，開始做靠近地球的向心運動，產(chǎn)生這一結(jié)果的原因是 ( C ) A．由于太空垃圾受到地球引力減小而導致的向心運動 B．由于太空垃圾受到地球引力增大而導致的向心運動 C．由于太空垃圾受到空氣阻力而導致的向心運動 D．地球引力提供了太空垃圾做圓周運動所需的向心力，故產(chǎn)生向心運動的結(jié)果與空氣阻力無關(guān) 例6、宇宙飛船要與軌道空間站對接，飛船為了追上軌道空間站 ( A ) A．只能從較低軌道上加速 B．只能從較高軌道上加速 C．只能從同空間站同一高度軌道上加速 D．無論在什么軌道上，只要加速都行 2． 人造地球衛(wèi)星 ⑴宇宙速度 第一宇宙速度 ，是地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是地球衛(wèi)星在近地軌道上運行時的速度． 由得?。? 例7、1990年3月，紫金山天文臺將1965年9月20日發(fā)現(xiàn)的第2752號小行星命名為吳健雄星，其直徑為32 km，如該小行星的密度和地球相同，則其第一宇宙速度為 m／s，已知地球半徑Ｒ=6400km，地球的第一宇宙速度為8 km／s．（20m／s） 第二宇宙速度的計算 如果人造衛(wèi)星進入地面附近的軌道速度等于或大于1l.2km／s，就會脫離地球的引力，這個速度稱為第二宇宙速度． 為了用初等數(shù)學方法計算第二宇宙速度，設想從地球表面至無窮遠處的距離分成無數(shù)小段ab、bc、…，等分點對應的半徑為r1、r2…，如下圖所示． 由于每一小段ab、bc、cd…極小，這一小段上的引力可以認為不變．因此把衛(wèi)星從地表a送到b時，外力克服引力做功 同理，衛(wèi)星從地表移到無窮遠過程中，各小段上外力做的功分別為 … 把衛(wèi)星送至無窮遠處所做的總功 為了掙脫地球的引力衛(wèi)星必須具有的動能為 所以 第三宇宙速度的推算 脫離太陽引力的速度稱為第三宇宙速度．因為地球繞太陽運行的速度為v地＝30km/s，根據(jù)推導第二宇宙速度得到的脫離引力束縛的速度等于在引力作用下環(huán)繞速度的倍，即 因為人造天體是在地球上，所以只要沿地球運動軌道的方向增加△v＝12.4km／s即可，即需增加動能．所以人造天體需具有的總能量為 得第三宇宙速度