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2019-2020年高二數學下學期期中試題 理答案 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時間120分鐘 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求. ADCCD ABABC AB 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在題中的橫線上. (13) (14) (15)(16) 三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. (17) （本小題滿分10分）函數定義域為， （1）求函數的單調區(qū)間； （2）指出函數的極值點并求對應的極值. 解：（1） 得或，解得或 得或，解得或 所以單調增區(qū)間為和；單調減區(qū)間為和…………5分 （2）由（1）可知，極大值點為從而和；極小值點為，從而………………………………………………10分 (18)（本小題滿分12分） 已知為實數． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】解：（1）因為 …………………………………………………………6分 （2）由條件，得， 即，， ，解得……………………………………12分 (19)（本小題滿分12分）已知函數，對于正數，記，如圖，由點構成的矩形的周長為（），都滿足． (Ⅰ)求； (Ⅱ)猜想的表達式用表示，并用數學歸納法證明． 【答案】(Ⅰ)解：由題意知，，又因為，所以．令，得，又，且，故．令，得，故；令，得，故；…………………4分 (Ⅱ)解：由上述過程猜想，下面用數學歸納法證明： ①當時，，命題成立； ②假設時命題成立，即， 則當時，，又，故，由，代入得，．即當時命題成立．綜上所述，對任意自然數n，都有成立．………………………………………………………………………………12分 (20) （本小題滿分12分）已知函數，其中，是自然對數的底數． (Ⅰ)若，求在處切線的方程； (Ⅱ)若對任意均有兩個極值點，一個在區(qū)間內，另一個在區(qū)間外，求的取值范圍． 【答案】解：（1）， 又切線方程為 ……………………………………4分 （2）， 設，它的圖象是開口向下的拋物線，由題意對任意有兩個不等實數根，且，，則對任意，即，有， 又任意關于遞增，，故，所以…………12分 (21) （本小題滿分12分）已知函數，． (Ⅰ) 討論函數在區(qū)間上零點的個數； (Ⅱ) 設,當時，試用反證法證明：與中至少有一個大于0． 解（1）由題可得，令．設，令，得；令，得．故在上遞減，在上遞增． ． 當或時，無零點． 當或時，有1個零點； 當時，有2個零點．…………………………6分 （2）（反證法）假設都不大于0，即 又 設，，所以 ， 所以，因為不能同時取到最小值，從而，與矛盾。所以假設不成立，所以，在與中至少有一個大于0．……………………12分 (22)（本小題滿分12分） 已知函數. （1）若函數在定義域內不單調，求的取值范圍； （2）若對，恒有成立，求實數的最大值. 解：（1） ，只要的最小值為負即可，從而 . 由基本不等式，從而…………………………4分 （2）由題意問題等價于恒成立，所以必有，從而解得. 從而當時，；時，. 令，，所以問題轉化為：當時恒成立；當時恒成立. 由，設，， 當時當時，. 因為恒成立，所以，解得； 同理可得，當時，也成立。所以實數的最大值為2……………………12分