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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.2 換元法（測(cè)）理 一、選擇題（12*5=60分） 1.【xx屆河北省唐山市高三上學(xué)期期末】已知，由此可算得 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設(shè)，則，即，解得或，顯然，所以，故選A． 2.【xx屆河北省邢臺(tái)市高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)的最小值為8，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3.【xx屆湖北省孝感市八校高三上學(xué)期期末】已知，則的值為（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】，解得，解得 ，構(gòu)造原式為，故選A. 4.【xx屆四川省瀘州市瀘縣第四中學(xué)高三上期末】定義在上的函數(shù)為減函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若，且，則的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 5.已知滿足，則的最大值為（ ） A．3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】由橢圓的參數(shù)方程知，為參數(shù)），則=（其中），故z的最大值為5，故選C. 6.【xx屆天津市第一中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考】已知函數(shù) ．若對(duì)任意，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí)， 為單調(diào)遞增函數(shù)，且 當(dāng)時(shí)， ∵對(duì)任意，總存在，使得 ∴ ∵為遞減函數(shù)，且 ∴ 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍時(shí) 故選D 7.【衡水金卷xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬一】已知數(shù)列中， ，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根據(jù)題意，數(shù)列中， ，即，則有，則有 ， ，即，∵對(duì)于任意的， ，不等式恒成立，∴，化為： ，設(shè)， ，可得且，即有，即，可得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A. 8.【xx屆河南省濮陽市高三第一次模擬】已知中， ， ， 成等比數(shù)列，則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知可知，即， ，即 ， ， 原式等于 ，設(shè) 即原式等于 ，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)等于0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)等于,所以原式的取值范圍是，故選B. 9.已知圓和圓，動(dòng)圓與圓和圓都相切，動(dòng)圓圓心的軌跡為兩個(gè)橢圓，設(shè)這兩個(gè)橢圓的離心率分別為和（），則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①當(dāng)動(dòng)圓與圓都內(nèi)切時(shí)，，， ②當(dāng)動(dòng)圓與圓相外切而與相內(nèi)切時(shí)，，， ，令，因此可得 =，故選A． 10.【xx屆山西省晉中市高三1月高考適應(yīng)性調(diào)研】已知不等式在上恒成立，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 不等式 在上恒成立，令， ，由圖可知， 或，即； 又在上單調(diào)遞增，故在上恒成立， ，綜上，. 故選：B. 11.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，且，所以函數(shù)在R上是減函數(shù)；從而不等式等價(jià)于： 記令，則， 在上恒成立，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，從而在上恒成立；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選D． 12.已知橢圓的左焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率是（ ） A． B． C. D． 【答案】C 二、填空題（4*5=20分） 13. 函數(shù)的值域?yàn)開_________． 【答案】 14.【xx屆甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)函數(shù),,求的最大值___________. 【答案】12 【解析】設(shè)， ∵，∴?2?t?2， 則函數(shù)f(x)等價(jià)為g(t)=(t+2)(1+t)=+3t+2=? ∴g(t)在[?2,?)單調(diào)遞減,在[?,2]上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)時(shí),g(t)取得最小值,最小值為?,即=?時(shí),即x=時(shí),f(x)的最小值為? 當(dāng)t=2時(shí),g(t)取得最大值,最大值為g(2)=12,即=2時(shí),即x=4時(shí),f(x)的最大值為12. 15.【xx屆廣東省汕頭市高三上學(xué)期期末】已知，則__________． 【答案】6 【解析】由題意得， 令， 則， ∴函數(shù)為奇函數(shù)． ∴， ∴ ． 答案：6. 16.【xx屆天一大聯(lián)考高中畢業(yè)班階段性測(cè)試（四）】已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若不等式恒成立，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】由題可知： 恒成立，即恒成立，設(shè)t=n+1，則，因?yàn)楹瘮?shù)在， ，所以，所以M的最小值是 三、解答題題（6*12=72分） 17.【xx屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】已知二次函數(shù)滿足以下要求：①函數(shù)的值域?yàn)?；?對(duì)恒成立. （1）求函數(shù)的解析式； （2）設(shè)，求時(shí)的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】試題分析： （1）已知條件提供了二次函數(shù)的對(duì)稱軸與最小值，因此二次函數(shù)解析式可配方為頂點(diǎn)式，從而列出關(guān)于的方程組，從而解得，得解析式；（2）是分式函數(shù)，由于分母是一次的，分母是二次的，可用換元法設(shè)，轉(zhuǎn)化后易得函數(shù)的單調(diào)性，從而得值域． （2） 令，則 所求值域?yàn)? 18.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求面積的最大值. 【答案】（1）（2） （2）設(shè)直線的方程為， 由 得，依題意， 設(shè)， 則，………………7分 ，……………8分 由點(diǎn)到直線的距離公式得，………………9分 ……………10分 設(shè) ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，所以，面積的最大值為…………………12分 19.【xx屆河南省豫南九校高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】設(shè)函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的范圍； （2）若在處的切線為，且方程恰有兩解，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）將參數(shù)值代入得到函數(shù)表達(dá)式，研究函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根據(jù)切線得到， ，方程有兩解，可得，所以有兩解，令，研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和圖像，使得常函數(shù)y=m，和有兩個(gè)交點(diǎn)即可. （2）由得 ，且. 由題意得，所以. 又在切線上. 所以.所以. 所以. 即方程有兩解，可得，所以. 令，則， 當(dāng)時(shí)， ，所以在上是減函數(shù). 當(dāng)時(shí)， ，所以在上是減函數(shù). 所以. 又當(dāng)時(shí)， ；且有. 數(shù)形結(jié)合易知： . 20.【xx屆浙江省杭州市高三上學(xué)期期末】設(shè)向量， ， . （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）若方程無實(shí)數(shù)解，求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）的最小正周期為.（Ⅱ）或. 【解析】試題分析：⑴利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得，利用周期公式即可得到函數(shù)的最小正周期； ⑵由題意得無解故時(shí)，即可解得答案 解析：（Ⅰ）因?yàn)?， 故的最小正周期為. （Ⅱ）若方程無解，則， 所以或， 由解得或； 由，故不等式無解， 所以或. 21.【xx年福建省龍巖市高三上期末】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 試題解析： （Ⅰ）因?yàn)棰伲? 所以②， ②-①得： ，即， 又，所以. （Ⅱ）， 令，則， 所以 . 22.【xx屆山西省晉中市高三1月測(cè)試】已知函數(shù)， ，且曲線在處的切線方程為. （1）求， 的值； （2）求函數(shù)在上的最小值； （3）證明：當(dāng)時(shí)， . 【答案】(1) (2) （3）見解析 【解析】試題分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算， ，求出a，b的值即可； （2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）在[0，1]遞增，從而求出f（x）的最大值； （3）只需證明x＞0時(shí)， ，因?yàn)椋仪€在處的切線方程為，故可猜測(cè)：當(dāng)且時(shí)， 的圖象恒在切線的上方． 試題解析： （1）由題設(shè)得，∴， 解得， ． （3）由題要證：當(dāng)時(shí)， ， 即證： ， 因?yàn)?，且曲線在處的切線方程為， 故可猜測(cè)：當(dāng)且時(shí)， 的圖象恒在切線的上方． 下面證明：當(dāng)時(shí)， ， 證明：設(shè)， ， 則，令， ， 當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增， 又， ， ， 所以，存在，使得， 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)， 故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 故． 由（2）知， ，故，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 所以， ． 即．所以， ， 即成立，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 故：當(dāng)時(shí)， ， 12分 方法二：要證，等價(jià)于，又，可轉(zhuǎn)化為證明 令， ， ，因此當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減； 有最大值，即恒成立，即當(dāng)時(shí)，