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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第二篇 第1講 選擇題的解法技巧
題型概述
選擇題考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，側(cè)重于解題的嚴(yán)謹(jǐn)性和快捷性，以“小”“巧”著稱(chēng)．解選擇題只要結(jié)果，不看過(guò)程，更能充分體現(xiàn)學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力．
解題策略：充分利用題干和選項(xiàng)提供的信息作出判斷，先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，先排除后求解，一定要小題巧解，避免小題大做．
方法一 直接法
直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識(shí)，通過(guò)嚴(yán)密地推理和準(zhǔn)確地運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”，作出相應(yīng)的選擇．涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法．
例1 (1)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知M(x0，y0)是雙曲線(xiàn)C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若<0，則y0的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
(2)(xx廣雅中學(xué)高三一模)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a＝，A＝，cos B＝，則b等于( )
A. B. C. D.
解析 (1)由題意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.
∵點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線(xiàn)上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－
0，n＝1,2,3，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，當(dāng)n≥1時(shí)，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
解析 (1)若a＝－1，則f(x)＝
易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；
若a＝0，則f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.D正確．
(2)因?yàn)閍5a2n－5＝22n(n≥3)，所以令n＝3，代入得a5a1＝26，再令數(shù)列為常數(shù)列，得每一項(xiàng)為8，則log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32.結(jié)合選項(xiàng)可知只有C符合要求．
答案 (1)D (2)C
思維升華 特例法具有簡(jiǎn)化運(yùn)算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題，但用特例法解選擇題時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：
第一，取特例盡可能簡(jiǎn)單，有利于計(jì)算和推理；
第二，若在不同的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解．
跟蹤演練2 (1)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A＝60，＋＝2m，則m的值為( )
A. B. C．1 D.
方法三 排除法
排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提條件是答案唯一，具體的做法是采用簡(jiǎn)捷有效的手段對(duì)各個(gè)備選答案進(jìn)行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾項(xiàng)逐一排除，從而獲得正確答案．
例3 (1)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至xx年我國(guó)二氧化硫排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖．以下結(jié)論不正確的是( )
A．逐年比較，xx年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
B．xx年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效
C．xx年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)
D．xx年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)
(2)(xx浙江)函數(shù)f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為( )
解析 (1)從xx年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到xx年二氧化硫排放量與xx年排放量的差最大，A選項(xiàng)正確；
xx年二氧化硫排放量較xx年降低了很多，B選項(xiàng)正確；
雖然xx年二氧化硫排放量較xx年多一些，但自xx年以來(lái)，整體呈遞減趨勢(shì)，即C選項(xiàng)正確；自xx年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D.
(2)∵f(x)＝(x－)cos x，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù)，排除A，B；當(dāng)x→π時(shí)，f(x)＜0，排除C.故選D.
答案 (1)D (2)D
思維升華 排除法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題．當(dāng)題目中的條件多于一個(gè)時(shí)，先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項(xiàng)的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案．
跟蹤演練3 (1)已知f(x)＝x2＋sin(＋x)，則f′(x)的圖象是( )
(2)(xx北京)設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是( )
A．若a1＋a2＞0，則a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，則a2＞
D．若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0
方法四 數(shù)形結(jié)合法
在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀(guān)察分析，將數(shù)的問(wèn)題(如解方程、解不等式、判斷單調(diào)性、求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來(lái)，利用圖象的直觀(guān)性，化抽象為直觀(guān)，化直觀(guān)為精確，從而使問(wèn)題得到解決，這種方法稱(chēng)為數(shù)形結(jié)合法．
例4 設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝ 則f(x)的值域是( )
A．[－，0]∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[－，0]∪(2，＋∞)
解析 由x2；
由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.
∴f(x)＝
即f(x)＝
當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)>2；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>8.
∴當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?2，＋∞)．
當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，－≤f(x)≤0.
∴當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇－，0]．
綜上可知，f(x)的值域?yàn)閇－，0]∪(2，＋∞)．
答案 D
思維升華 數(shù)形結(jié)合法是依靠圖形的直觀(guān)性進(jìn)行分析的，用這種方法解題比直接計(jì)算求解更能抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，并能迅速地得到結(jié)果．使用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)一定要準(zhǔn)確把握?qǐng)D形、圖象的性質(zhì)，否則會(huì)因?yàn)殄e(cuò)誤的圖形、圖象得到錯(cuò)誤的結(jié)論．
跟蹤演練4 函數(shù)f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－2≤x≤4)的所有零點(diǎn)之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
方法五 構(gòu)造法
構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法，依據(jù)問(wèn)題給出的條件和結(jié)論給出的信息，把問(wèn)題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚恚瑯?gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法．
例5 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，則有( )
A．e2 016f(－2 016)e2 016f(0)
B．e2 016f(－2 016)f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)
D．e2 016f(－2 016)>f(0)，f(2 016)f′(x)，并且ex>0，
所以g′(x)<0，故函數(shù)g(x)＝在R上單調(diào)遞減，
所以g(－2 016)>g(0)，g(2 016)f(0)，f(0)，f(2 016)0時(shí)，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
(2)若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，給出下列五個(gè)命題：
①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直；
②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等；
③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180；
④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線(xiàn)段相互垂直平分；
⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
方法六 估算法
由于選擇題提供了唯一正確的選項(xiàng)，解答又無(wú)需過(guò)程，因此，有些題目不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，只需對(duì)其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，便能作出正確的判斷，這就是估算法．估算法往往可以減少運(yùn)算量，但是加強(qiáng)了思維的層次．
例6 (1)已知x1是方程x＋lg x＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根，則x1＋x2等于( )
A．6 B．3 C．2 D．1
(2)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為( )
A. B．5 C．6 D.
解析 (1)因?yàn)閤1是方程x＋lg x＝3的根，所以20，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正負(fù)不確定，因而a2＋a3符號(hào)不確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)；若a1＋a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正負(fù)不確定，因而a1＋a2符號(hào)不確定，故選項(xiàng)B錯(cuò)；若00，d>0，a2>0，a3>0，∴a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，∴a2>，故選項(xiàng)C正確；若a1<0，則(a2－a1)(a2－a3)＝d(－d)＝－d2≤0，故選項(xiàng)D錯(cuò)．
跟蹤演練4 C [由f(x)＝|x－1|＋2cos πx＝0，
得|x－1|＝－2cos πx，
令g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)，
h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)，
又因?yàn)間(x)＝|x－1|＝
在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)
＝－2cos πx(－2≤x≤4)的圖象(如圖)，
由圖象可知，函數(shù)g(x)＝|x－1|關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，
又x＝1也是函數(shù)h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的對(duì)稱(chēng)軸，
所以函數(shù)g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的交點(diǎn)也關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，且兩函數(shù)共有6個(gè)交點(diǎn)，所以所有零點(diǎn)之和為6.]
跟蹤演練5 (1)A (2)C
解析 (1)因?yàn)閒(x)(x∈R)為奇函數(shù)，
f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.當(dāng)x≠0時(shí)，令g(x)＝，則g(x)為偶函數(shù)，且g(1)＝g(－1)＝0.則當(dāng)x＞0時(shí)，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù)．所以在(0，＋∞)上，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞g(1)＝0?＞0?f(x)＞0；在(－∞，0)上，當(dāng)x＜－1時(shí)，g(x)＜g(－1)＝0?＜0?f(x)＞0.綜上，得使f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0,1)，選A.
(2)構(gòu)造長(zhǎng)方體，使三組對(duì)棱恰好是長(zhǎng)方體的三組平行面中異面的對(duì)角線(xiàn)，在此背景下，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z.
對(duì)于①，需要滿(mǎn)足x＝y(tǒng)＝z，才能成立；
因?yàn)楦鱾€(gè)面都是全等的三角形(由對(duì)棱相等易證)，則四面體的同一頂點(diǎn)處對(duì)應(yīng)三個(gè)角之和一定恒等于180，故②正確，③顯然不成立；
對(duì)于④，由長(zhǎng)方體相對(duì)面的中心連線(xiàn)相互垂直平分判斷④正確；
每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)恰好分別等于各個(gè)面的三角形的三邊長(zhǎng)，⑤顯然成立．故正確命題有②④⑤.
跟蹤演練6 (1)B (2)B
解析 (1)因?yàn)?>a＝log23>1，b＝2>2，c＝3<1，所以c
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