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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第二講三角函數(shù)與平面向量 第一節(jié)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及證明 文 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及證明涉及恒等變換，而三角函數(shù)的恒等變換是歷年高考命題的熱點(diǎn). 它既可以出現(xiàn)小題（選擇或者填空），也可以與三角函數(shù)的性質(zhì)，解三角形，向量等知識(shí)結(jié)合，參雜、滲透在解答題中，它們的難度值一般控制在0.5-0.8之間. 提高三角變換能力, 要學(xué)會(huì)設(shè)置條件, 靈活運(yùn)用三角公式, 掌握運(yùn)算、化簡(jiǎn)及證明的方法和技能. 考試要求 ⑴理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（2）會(huì)推導(dǎo)兩角和與差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；(4)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. 題型一 已知三角函數(shù)的值求角問(wèn)題 例1 （１）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，則（　　）． ?。粒　　．　　　C．　　　D． （２）若，，求α+2β= . 點(diǎn)撥 本題（１）應(yīng)先利用正弦定理進(jìn)行角化邊，然后利用余弦定理求角A. 題（２）首先應(yīng)求α+2β的函數(shù)值，為了使角的范圍好控制，這里選用正切值好一點(diǎn)，然后根據(jù)條件依次找出所需的條件，要注意角的范圍. 解三角形的問(wèn)題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理，正確進(jìn)行邊化角、角化邊，探尋解答. 題（２）最困難的地方在于確定α+2β的范圍，一般地，根據(jù)已知條件，把角的范圍限制得越精確，結(jié)果也越準(zhǔn)確. 解（１）由及正弦定理，得，代入，得 　　　　，即，又，（為什么從角化邊入手？） 由余弦定理，（選用余弦定理合理否？） 所以．故選Ａ． （２）∵，，∴ ∴，（為什么要把角的范圍定得這樣精確？） α+2β,又tan2β=, ∴,∴α+2β=. 易錯(cuò)點(diǎn) 題（１）記錯(cuò)公式、忘記討論角的范圍或者代數(shù)運(yùn)算不熟練是造成這類解三角形問(wèn)題的出錯(cuò)的主要原因.這里選用余弦定理求角是正確的，如果選用正弦定理求角就不合理，一是出現(xiàn)2個(gè)角，二是要討論舍棄1個(gè)角，更容易出錯(cuò)；題（２）中，角的范圍容易忽略或放大，導(dǎo)致錯(cuò)誤. 變式與引申1：已知α，β為銳角，tanα=，sinβ=,求2α+β的值. 題型二 三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題 例2　（xx江西卷文科第17題）在中，角A,B,C的對(duì)邊是a,b,c,已知 　?。?）求的值 　?。?）若a=1, ,求邊c的值. （2）由 展開(kāi)易得： 正弦定理： 易錯(cuò)點(diǎn) 本題涉及到正弦定理、誘導(dǎo)公式及三角形內(nèi)角和為180這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查, 不知道利用將已知條件中的角化成同角,從而利用恒等變形得出.再由正弦定理求出 變式與引申2：（xx江西卷文理科科第17題）在△ABC中，角的對(duì)邊分別是，已知. （1） 求的值； （2） 若，求邊的值. 題型三 三角函數(shù)的取值范圍問(wèn)題 例3?。阎瘮?shù). （1）若，求； （2）若，求的取值范圍. 點(diǎn) 撥 通過(guò)“切化弦”，“降次”等手段，再利用萬(wàn)能公式或“齊次式”可解決第（1）題；第（2）題則首先化為一個(gè)三角函數(shù)的形式，再根據(jù)角的范圍來(lái)求的取值范圍. 解：（1） ， 由得， ，所以. （2）由（1）得 由得，所以 從而. 其它解法思路：題（1）有以下解法: 故 易錯(cuò)點(diǎn) 記錯(cuò)二倍角或萬(wàn)能公式；不會(huì)在區(qū)間上，聯(lián)系三角函數(shù)圖像求函數(shù)的取值范圍；或運(yùn)用公式不合理，產(chǎn)生錯(cuò)誤.例如用，去求，容易出現(xiàn)符號(hào)處理帶來(lái)的麻煩等等. 變式與引申3：已知向量，，且，其中A、B、C是ABC的內(nèi)角，分別是角A，B，C的對(duì)邊． （1）求角C的大??； （2）求的取值范圍． 題型四 三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值的綜合應(yīng)用 例4　已知角是三角形的三內(nèi)角，向量,,， 且. （1）求角； （2）求；（3）若邊的長(zhǎng)為，求的面積． 點(diǎn)撥 本題難在第（2）題，若整理成關(guān)于角B的二次式或齊次式，運(yùn)算則相對(duì)簡(jiǎn)單；第（3）題也要注意選擇運(yùn)算簡(jiǎn)單的思路. 解（1）∵, ∴ , 即. ,. ∵,∴,∴, ∴. （2）由題知，整理得，∴, ∴.∴或.而使，舍去. ∴. ∴. （3）由（1）知， 得，又，故（舍去負(fù)值，為什么？）, 由正弦定理，∴. ∴. 故三角形的面積. 易錯(cuò)點(diǎn)：一是本題有點(diǎn)運(yùn)算量,很容易由于選擇的解法運(yùn)算繁瑣而算錯(cuò)；二是不會(huì)根據(jù)條件回避討論.由角的范圍或其它隱含條件去討論甄別函數(shù)值至關(guān)重要，也很容易出錯(cuò)． 其它解法思路：化簡(jiǎn)時(shí)，也有很多的思路，如： ⑴由,得； ⑵由得等. 變式與引申4：在例4題（3）中，若內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，且求邊c的長(zhǎng). 本節(jié)主要考查 ⑴三角函數(shù)的公式及其在化簡(jiǎn)、求值和證明中的運(yùn)用；⑵ 恒等變換的能力和運(yùn)算能力；⑶三角形中的邊、角、面積等關(guān)系（正余弦定理）；（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法等等. 點(diǎn)評(píng) 高考試題中的三角函數(shù)題相對(duì)比較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，重點(diǎn)突出.因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中既要注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì).以及化簡(jiǎn)、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又要注重三角知識(shí)的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，以及三角知識(shí)的應(yīng)用意識(shí).本節(jié)涉及的知識(shí)與技能主要有: （1）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在最后所得到的結(jié)果中，要求所含函數(shù)和角的名稱或種類最少,三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一，各項(xiàng)的次數(shù)盡可能地低，出現(xiàn)的項(xiàng)數(shù)最少，一般應(yīng)使分母和根號(hào)不含三角函數(shù)式，對(duì)能求出具體數(shù)值的，要求出值. （2）三角函數(shù)的求值問(wèn)題，是訓(xùn)練三角恒等變換的基本題型，求值的關(guān)鍵是熟練掌握公式及應(yīng)用, 掌握公式的逆用和變形.在化簡(jiǎn)和求值中，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響，對(duì)角的范圍尤其要注意討論. （3）證明恒等式的過(guò)程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程，在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角恒等式的證明時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式. 證明時(shí)常用的方法有：①?gòu)囊贿呴_(kāi)始，證明它等于另一邊；②證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子；③證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立；④分析法等. （4）近年的考綱明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查，且常結(jié)合三角形內(nèi)的三角恒等變換進(jìn)行考查．解三角形這類題目的解答程序是：一是看方向（是從角化邊入手還是邊化角入手）；二是用定理（合理且靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理）；三是定答案（根據(jù)取值范圍討論并確定答案）.還要特別注意三角形中三個(gè)角A、B、C，三條邊a、b、c，中線ma，角平分線AD，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，三角形面積S之間的關(guān)系和三角形的形狀. （5）三角函數(shù)的綜合問(wèn)題常常與向量，二次函數(shù)等有關(guān)，但著力點(diǎn)還是三角知識(shí)，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差等進(jìn)行恒等變形，是高考考查的重中之重. 解答這類綜合問(wèn)題的原則是三點(diǎn)： 降次——化次數(shù)較高的三角式為次數(shù)較低的三角式； 減元——化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù)； 變角——化多角的三角函數(shù)為單角的三角函數(shù). 還要特別注意： ①1的變化： ②角的變化： ③化切為弦、升冪公式、降冪公式的合理運(yùn)用； ④在理解的基礎(chǔ)上熟記和靈活運(yùn)用各種公式，包括正用公式、反用公式和變用公式. 習(xí)題2－1 1. 已知cos+sinβ=，sin+cosβ的取值范圍是D，x∈D，則函數(shù)y=的最小值為( ). A. B. C. D. 2. △ABC的角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，＝(2b－c，a)，＝(cosA，－cosC)，且⊥．則 當(dāng)y＝2sin2B＋sin(2B＋)取最大值時(shí)，角的大小為 ． 【答案】 變式與引申1：由已知0<2α+β<, 求得cos(2α+β)=或tan(2α+β)=1.得2α+β=. 變式與引申2：解：（1）已知 整理即有： 又C為中的角， （2） 又， 變式與引申3：（1）由得, 由余弦定理, 又，則. （2）由（1）得，則, , , , , , 即得取值范圍是. 變式與引申4：由余弦定理, 故消去c,再把由題（Ⅲ）中得出的,,和已知代入,得c=1. 習(xí)題2－1 1.答案:B. 解：設(shè)u=sin+cosβ，則u2+()2=(sin+cosβ)2+(cos+sinβ)2=2+2sin(+β)≤4. ∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,設(shè)t=,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤.x=. 2. 答案: B＝. 解：由⊥，得＝0，從而(2b－c)cosA－acosC＝0， 由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0, ∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0， ∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，故A＝. y＝2sin2B＋sin(2B＋)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos＋cos2Bsin ＝1＋sin2B－ cos2B＝1＋sin(2B－).由A＝得0＜B＜，－＜2B－＜，∴當(dāng)2B－＝，即B＝時(shí)，y取最大值2. 代入得=. 4．（1）， ； （2） (tanα=時(shí)取等號(hào)).故的最大值是