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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第四講概率與統(tǒng)計 第三節(jié)概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用 文 近幾年高考中，概率與統(tǒng)計的應(yīng)用題多出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔和中檔偏易為多，難度值在0.5～0.8.命題形式以學(xué)生生活實踐為背景材料進行考查. 考試要求：（1）以大綱為準則，考查相關(guān)概率在實際問題中的應(yīng)用；（2）理解各種統(tǒng)計方法；（3）會分析樣本數(shù)據(jù)，并會求數(shù)據(jù)的特征數(shù)字（如平均數(shù)、標準差）；（4）會用正確的算法求解概率統(tǒng)計和其他數(shù)學(xué)知識的交匯（如三角函數(shù)、框圖、算法、幾何等）問題. 題型一 隨機抽樣方法及其應(yīng)用 例1 （1）用系統(tǒng)抽樣方法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1—160編號，按編號順序平均分成20組（1—8號，9—16號，…，153—160號），若第16組抽出的號碼是126，則第1組用抽簽方法確定的號碼是 . 50% 20% 30% 40—50歲 40歲以下 50歲以上 圖 點撥：本題考查隨機抽樣的系統(tǒng)抽樣.三種抽樣方法均為等概率抽樣，系統(tǒng)抽樣是按簡單隨機抽樣抽取第一個樣本，再按相同的間隔抽取其他樣本，即抽取號碼成等差數(shù)列.公式為為間隔長，為組數(shù)，為第一個樣本號. 解： 易錯點：式中的第幾組的組號應(yīng)減“1”. 變式與引申1：⑴某單位200名職工的年齡分布情況 如圖所示，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全 體職工隨機按1－200編號，并按編號順序平均分 為40組（1－5號，6－10號，…，196－200號）. 若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是 .若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取 人. ⑵從xx名學(xué)生中選取50名組成參觀團，若采用下面的方法選取：先用簡單隨機抽樣從xx人中剔除4人，剩下的xx人再按系統(tǒng)抽樣的方法進行，則每人入選的概率（ ） A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等且為 D. 都相等且為 視力 0.3 0.1 圖 題型二 分析樣本數(shù)據(jù)，并求數(shù)據(jù)的特征數(shù)字（如平均數(shù)，標準差） 例2 為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名 高三學(xué)生的視力情況，得到頻率直方圖如圖所示，由于 不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組 的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為，視力在4.6到5.0之間的 學(xué)生數(shù)為，求的值. 點撥：（1）此題數(shù)據(jù)是以圖形給出，注意觀察圖中數(shù)據(jù)及變化 情況；（2）看清圖中橫、縱坐標的實際意義；（3）結(jié)合等差與等比 數(shù)列知識，本題有一定的綜合性. 解：組距=0.1，~的頻數(shù)，~的頻數(shù). 前4組頻數(shù)成等比數(shù)列，~的頻數(shù)，~的頻數(shù). 又后6組頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，， ，從而~的頻數(shù). . 易錯點：要注意1頻數(shù)=樣本容量；2區(qū)別頻數(shù)與頻率，審清題意. 變式與引申2：如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分 A. B. C. D. 題型三 概率與統(tǒng)計和其他數(shù)學(xué)知識交匯（如三角函數(shù)、框圖算法、幾何等） 例3 如下圖是某公司金融危機時員工的月工資條形統(tǒng)計圖，從左到右的各條形表示的員工人數(shù)依次記為（如表示工資為內(nèi)的人數(shù)，（單位：元））. 圖是統(tǒng)計圖中工資在一定范圍內(nèi)員工人數(shù)的一個算法流程圖?，F(xiàn)要 統(tǒng)計月工資在元（含元，不含元）的員工人數(shù)， 那么在流程圖中 的判斷框內(nèi)應(yīng)填 2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 2800 2850 2900 2950 人數(shù)/人 工資/元 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 圖 圖 輸入,,, 否 是 開始 寫的條件是（ ） A. B. C. D. 點撥：（1） 要認真讀題，明 確每個變量表示 的實際意義；（2） 可以把選項逐一 放入判斷框理解. 解：現(xiàn)要統(tǒng)計的是月工資在元之間的員工人數(shù)，即是要計算的和，所以流程圖中空白框應(yīng)是，當時就會返回進行疊加運算，當將數(shù)據(jù)直接輸出，不再進行任何的返回疊加運算，此時已把數(shù)據(jù)疊加起來送到中輸出，故選B. 易錯點：本題在統(tǒng)計中的條形圖與算法流程圖的交匯處命題，有一定的綜合性，若不認真讀圖和審題容易出錯. 變式與引申3：某班班主任為了解班上女生的月消費情況， 隨機抽查了5名本班女生，她們近兩周的消費金額如下表所示： 女 生 1 2 3 4 5 消費金額 圖是統(tǒng)計該5名女生近兩周消費金額總數(shù)的程序框圖，則 判斷框中應(yīng)填 , . 題型四 線性回歸方程與相關(guān)系數(shù)實際應(yīng)用 例4某地戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如下表： 年收入（萬元） 年飲食支出（萬元） （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系； （2）如果某家庭年收入為萬元，預(yù)測其年飲食支出． 點撥：通過所給數(shù)據(jù)，判斷變量間的線性關(guān)系；若線性相關(guān)，用最小二乘思想求出線性回歸方程. 解：（1）由題意知，年收入為解釋變量，年飲食支出為預(yù)報變量，作散點圖（如圖所示）． 從圖中可以看出，樣本點呈條狀分布，年收入和年飲食支出有比較好的 線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系． 答圖 ，，，，， ，． 從而得到回歸直線方程為． （2）萬元． 易錯點：此題對計算能力的要求較高，若計算不慎，失分很嚴重. 變式與引申4：（1）（xx年高考山東卷。文）某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表 廣告費用x（萬元） 4 2 3 5 銷售額y（萬元） 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程中的為9．4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為 A．63．6萬元 B．65．5萬元 C．67．7萬元 D．72．0萬元 （2）某企業(yè)上半年產(chǎn)品的產(chǎn)量與單位成本資料如下： 月 份 1 2 3 4 產(chǎn)量（千件） 2 3 4 3 單位成本（元） 73 72 71 73 ① 求線性回歸方程； ② 指出產(chǎn)量每增加1000件時，單位成本平均變動多少？ ③ 假定產(chǎn)量為6000件時，單位成本為多少元？ 本節(jié)主要考查：（1）用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法及其應(yīng)用；考查在應(yīng)用問題中構(gòu)造抽樣模型，識別模型，收集數(shù)據(jù)等能力和方法.（2）用樣本估計總體是統(tǒng)計學(xué)的基本思想，以考查頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、標準差為主，用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，了解一些基本的統(tǒng)計思想.（3）作兩個相關(guān)變量數(shù)據(jù)的散點圖，判斷兩個變量的線性相關(guān)性，了解最小二乘法的思想，會求給出公式下的相關(guān)系數(shù)及線性回歸方程；考查看圖、作圖和運算求解等基本數(shù)學(xué)能力.（4）利用古典概型解決統(tǒng)計中的某些問題. 點評：（1）概率與統(tǒng)計中的部分內(nèi)容是實施新課標后新增內(nèi)容，也是高考考點之一.主要考查隨機抽樣方法的應(yīng)用（如例1），數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（如例2，習題2、3），概率統(tǒng)計與其他知識（算法、不等式）綜合應(yīng)用（如例3，習題5）相關(guān)系數(shù)與線性回歸及獨立性檢驗（如例4）.（2）在隨機抽樣中，簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣都是等概率抽樣，但這三種方法適用范圍各不相同，簡單隨機抽樣適用于總體個數(shù)較少的，系統(tǒng)抽樣適用于總體個數(shù)較多的，而分層抽樣適用于總體由差異比較明顯的幾部分組成的.（3）平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)的波動的大小，標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的分散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的分散程度越小，越穩(wěn)定.（4）求回歸方程時，先判定變量的相關(guān)性，若變量不線性相關(guān)，求出回歸方程也毫無意義.（5）概率與統(tǒng)計實際應(yīng)用中，很多數(shù)據(jù)都是圖、表的形式給出的，背景有考生共有的生活氣息.題目篇幅長，要善于看圖、作圖、理解圖所傳遞的信息，對數(shù)據(jù)的精確處理要求有較強的計算能力. 習題4-3 1．某中學(xué)有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生302人，高三學(xué)生250人，現(xiàn)在按年級分層抽樣方法從所有學(xué)生中抽取一個容量為190人得到樣本，應(yīng)該剔除 人，每個年級依次應(yīng)抽取 人. 丙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 4 6 6 4 甲的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 5 5 5 5 2．甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚? 乙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 6 4 4 6 分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（　?。? A. B. C. D. 3．若這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為方差為0.20，則數(shù)據(jù)，這21個數(shù)據(jù)的方差是 . 4．某中學(xué)高一（2）班甲、乙兩名同學(xué)自高中以來每場數(shù)學(xué)考試成績情況如下： 甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107； 乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. （Ⅰ）完成所附的莖葉圖； （Ⅱ）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？ （Ⅲ）通過觀察莖葉圖，對兩人的成績進行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論. 5．有甲乙兩個班級進行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下列聯(lián)表，已知在全部105人中隨機抽取，抽到1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 乙班 30 合計 105 ① 請完成上面的22列聯(lián)表； ② 根據(jù)22列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關(guān)系”？ ③ 若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生抽取1人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取的序號。試求抽到6或10號的概率. 【答案】 又因A中數(shù)據(jù)均小于等于10，B中數(shù)據(jù)不小于10，所以. 法二：直接法.（略） 變式與引申3： 解： 變式與引申4： 解：（1）B. ，把故選B. （2）① 又 ②每增加1000件時，單位成本減少1元. ③單位成本為69.25元. 習題4-3 1. 2，80,60,50. 2. B. 解：觀察法.丙的環(huán)數(shù)集中在8環(huán)和9環(huán)，較穩(wěn)定，而乙的集中在7環(huán)和10環(huán)，不穩(wěn)定，甲的7、8、9、10環(huán)的次數(shù)各均等，故. 3. ，解：依題意有 , 即，的平均數(shù)也是 乙 甲 9 3 6 8 3 8 8 9 1 6 7 8 9 10 11 5 1 5 6 1 6 8 9 1 4 5 7 0 這21個數(shù)據(jù)的方差 4. 解：（Ⅰ）莖葉圖如右圖所示： （Ⅱ）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不僅可以看出數(shù)據(jù)的分布狀況，而且可以看出每組中的具體數(shù)據(jù). （Ⅲ）通過觀察莖葉圖，甲的成績主要集中在分，乙的成績主要集中在分，乙的成績相對較好。