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2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復(fù)習 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第4講 推理與證明試題 1．(xx湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則AB中元素的個數(shù)為(　　) A．77 B．49 C．45 D．30 2．(xx北京)學生的語文、數(shù)學成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”．如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有(　　) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 3．(xx山東)觀察下列各式： C＝40； C＋C＝41; C＋C＋C＝42； C＋C＋C＋C＝43； …… 照此規(guī)律，當n∈N*時，C ＋C＋ C＋…＋ C＝________. 4．(xx福建)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)稱為第k位碼元．二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)． 已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運算定義為00＝0,01＝1,10＝1,11＝0. 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于________． 1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題. 熱點一　歸納推理 (1)歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理． (2)歸納推理的思維過程如下： →→ 例1　(1)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為＝n2＋n，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式： 三角形數(shù)　　　　　 N(n,3)＝n2＋n， 正方形數(shù) N(n,4)＝n2， 五邊形數(shù) N(n,5)＝n2－n， 六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n …… 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝____________. (2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有______________________． 思維升華　歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時有著廣泛的應(yīng)用．其思維模式是“觀察—歸納—猜想—證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想． 跟蹤演練1　(1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是(　　) A．26 B．31 C．32 D．36 (2)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應(yīng)當是(　　) A．48,49 B．62,63 C．75,76 D．84,85 熱點二　類比推理 (1)類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理． (2)類比推理的思維過程如下： →→ 例2　(1)在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝________. (2)(xx日照高三第一次模擬考試)已知雙曲正弦函數(shù)sh x＝和雙曲余弦函數(shù)ch x＝與我們學過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，請類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個類似的正確結(jié)論______________________． 思維升華　類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起．當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比． 跟蹤演練2　(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達式應(yīng)為(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ (2)若點P0(x0，y0)在橢圓＋＝1(a>b>0)外，過點P0作該橢圓的兩條切線，切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為＋＝1.那么對于雙曲線－＝1(a>0，b>0)，類似地，可以得到切點弦所在直線的方程為____________________． 熱點三　直接證明和間接證明 直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因?qū)Ч治龇▌t是執(zhí)果索因，反證法是反設(shè)結(jié)論導(dǎo)出矛盾的證明方法． 例3　已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，＝，anan＋1<0 (n≥1)；數(shù)列{bn}滿足：bn＝a－a (n≥1)． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； (2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列． 　 　 　 　 　 思維升華　(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個結(jié)論不成立的例子即可． (2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候，分析法和綜合法交替使用． 跟蹤演練3　(1)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c. 求證：＋＝； (2)已知f(x)＝ax＋(a>1)，證明：方程f(x)＝0沒有負根． 　 　 　 　 熱點四　數(shù)學歸納法 數(shù)學歸納法證明的步驟 (1)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時結(jié)論成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論成立，證明n＝k＋1時結(jié)論也成立． 由(1)(2)可知，對任意n≥n0，且n∈N*時，結(jié)論都成立． 例4　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*. (1)當n＝1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大小； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． 　 　 　 　 　 　 思維升華　用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項．難點在于尋求等式在n＝k和n＝k＋1時的聯(lián)系． 跟蹤演練4　設(shè)a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式； (2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論． 　 　 　 　 1．把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個數(shù)，如a42＝8.若aij＝2 011，則i與j的和為________． 2．已知下列不等式：x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，則第n個不等式為________________． 3．設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，證明：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列． 　 　 　 　 　 　 提醒：完成作業(yè)　專題四　第4講 二輪專題強化練 專題四 第4講　推理與證明 A組　專題通關(guān) 1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 2．觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為(　　) A．76 B．80 C．86 D．92 3．(xx合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理(　　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 4．下列推理是歸納推理的是(　　) A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則P點的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式 C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓＋＝1的面積S＝πab D．以上均不正確 5．已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3>0，則f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值(　　) A．恒為正數(shù) B．恒為負數(shù) C．恒為0 D．可正可負 6．(xx山東)定義運算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，當x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________． 7．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為________． 8．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有≤f()．若y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________． 9．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin 13cos 17； ②sin215＋cos215－sin 15cos 15； ③sin218＋cos212－sin 18cos 12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 10．已知a，b，m為非零實數(shù)，且a2＋b2＋2－m＝0，＋＋1－2m＝0. (1)求證：＋≥； (2)求證：m≥. B組　能力提高 11．(xx西安五校聯(lián)考)已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個“整數(shù)對”是(　　) A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1) 12．對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：23，33，43，….仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個是59，則m的值為________． 13．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按下圖所標邊長，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三個側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是_______________________________． 14．蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數(shù)． (1)試給出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達式(不要求證明)； (2)證明：＋＋＋…＋<. 學生用書答案精析 第4講　推理與證明 高考真題體驗 1．C　[如圖，集合A表示如圖所示的所有圓點“”，集合B表示如圖所示的所有圓點“”＋所有圓點“”，集合AB顯然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四個點{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整點(即橫坐標與縱坐標都為整數(shù)的點)，即集合AB表示如圖所示的所有圓點“”＋所有圓點“”＋所有圓點“”，共45個．故AB中元素的個數(shù)為45.故選C.] 2．B　[假設(shè)滿足條件的學生有4位及4位以上，設(shè)其中4位同學分別為甲、乙、丙、丁，則4位同學中必有兩個人語文成績一樣，且這兩個人數(shù)學成績不一樣(或4位同學中必有兩個數(shù)學成績一樣，且這兩個人語文成績不一樣)，那么這兩個人中一個人的成績比另一個人好，故滿足條件的學生不能超過3人．當有3位學生時，用A，B，C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”，則滿足題意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．] 3．4n－1 解析　觀察每行等式的特點，每行等式的右端都是冪的形式，底數(shù)均為4，指數(shù)與等式左端最后一個組合數(shù)的上標相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1. 4．5 解析　(ⅰ)x4x5x6x7＝1101＝1，(ⅱ)x2x3x6x7＝1001＝0；(ⅲ)x1x3x5x7＝1011＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一個錯誤，(ⅱ)中沒有錯誤，∴x5錯誤，故k等于5. 熱點分類突破 例1　(1)1 000　(2)f(2n)>(n≥2，n∈N*) 解析　(1)由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推測：當k為偶數(shù)時， N(n，k)＝n2＋n， ∴N(10,24)＝100＋10 ＝1 100－100＝1 000. (2)由題意得f(22)>，f(23)>， f(24)>，f(25)>，所以當n≥2時，有f(2n)>. 故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)． 跟蹤演練1　(1)B　(2)D 解析　(1)有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表： 圖案 1 2 3 … 個數(shù) 6 11 16 … 由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是6＋5(6－1)＝31. 故選B. (2)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的4組座位號，只有D符合條件． 例2　(1) (2)ch(x－y)＝ch xch y－sh xsh y 解析　(1)平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以＝. (2)ch xch y－sh xsh y＝ － ＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y) ＝(2ex－y＋2e－(x－y))＝＝ch(x－y)， 故知ch(x＋y)＝ch xch y＋sh xsh y， 或sh(x－y)＝sh xch y－ch xsh y， 或sh(x＋y)＝sh xch y＋ch xsh y. 跟蹤演練2　(1)D　(2)－＝1 解析　(1)由{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d， 則bn＝＝a1＋d， 又正項數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q， 則dn＝＝＝c1，故選D. (2)設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，則過點P1，P2的切線的方程分別為－＝1，－＝1.因為P0(x0，y0)在這兩條切線上，所以－＝1，－＝1，這說明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直線－＝1上，故切點弦P1P2所在直線的方程為－＝1. 例3　(1)解　已知＝化為＝， 而1－a＝， 所以數(shù)列{1－a}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 則1－a＝n－1，則a＝1－n－1， 由anan＋1<0，知數(shù)列{an}的項正負相間出現(xiàn)， 因此an＝(－1)n＋1， bn＝a－a＝－n＋n－1＝n－1. (2)證明　假設(shè)存在某三項成等差數(shù)列，不妨設(shè)為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)，可設(shè)m0， 所以a1>－a5. 由于f(x)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，所以f(a1)＋f(a5)>f(－a5)＋f(a5)＝0， 又f(a3)>0，所以f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0.故選A.] 6. 解析　由題意，得x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號． 7．f(n)＝ 解析　1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個區(qū)域． 8. 解析　由題意知，凸函數(shù)滿足≤f()， 又y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)， 則sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝. 9．解　方法一　(1)選擇②式，計算如下： sin215＋cos215－sin 15cos 15 ＝1－sin 30＝1－＝. (2)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝sin2α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2 －sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 方法二　(1)同方法一． (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝＋－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60cos 2α＋sin 60sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 10．證明　(1)(分析法)要證＋≥成立， 只需證(＋)(a2＋b2)≥9， 即證1＋4＋＋≥9， 即證＋≥4. 根據(jù)基本不等式，有＋≥2＝4成立， 所以原不等式成立． (2)(綜合法)因為a2＋b2＝m－2，＋＝2m－1， 由(1)，知(m－2)(2m－1)≥9，即2m2－5m－7≥0，解得m≤－1或m≥.又因為a2＋b2＝m－2>0. 所以m>2，故m≤－1舍去，所以m≥. 11．B　[依題意，就每組整數(shù)對的和相同的分為一組，不難得知每組整數(shù)對的和為n＋1，且每組共有n個整數(shù)時，這樣的前n組一共有個整數(shù)，注意到<60<，因此第60個整數(shù)對處于第11組(每對整數(shù)對的和為12的組)的第5個位置，結(jié)合題意可知每對整數(shù)對的和為12的組中的各數(shù)對依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…， 因此第60個整數(shù)對是(5,7)．] 12．8 解析　由已知可觀察出m3可分裂為m個連續(xù)奇數(shù)，最小的一個為(m－1)m＋1.當m＝8時，最小的數(shù)為57，第二個便是59.∴m＝8. 13．S＋S＋S＝S 解析　將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊， 可得S＋S＋S＝S. 14．(1)解　f(4)＝37，f(5)＝61. 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝26， f(4)－f(3)＝37－19＝36， f(5)－f(4)＝61－37＝46，…… 因此，當n≥2時，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)， 所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n＋2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1. 又f(1)＝1＝312－31＋1， 所以f(n)＝3n2－3n＋1. (2)證明　當k≥2時， ＝<＝(－)． 所以＋＋＋…＋<1＋[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋(1－)<1＋＝.