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1、 南昌市十所省重點中學命制2015屆高三第二次模擬突破沖刺（一） 數學（文）試題 第Ⅰ卷 一、選擇題（本大題共12題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1.已知全集,集合,,則集合( )　 A． B． C． D. 2. 設復數（為虛數單位），的共軛復數為，則( )　 　 A． B． 2 C． D．1 3. 在正項等比數列中，，前項和為,且成等差數列，則 的值為( )　 A. 125 B. 126 C. 127 D. 128 4. 已

2、知函數，為了得到函數的圖象，只需要將的圖象( )　 A. 向右平移個單位長度 B. 向左平移個單位長度 C. 向右平移個單位長度 D. 向左平移個單位長度 5. 已知＝(, 1)，若將向量－2繞坐標原點逆時針旋轉120得到向量，則的坐標為： A．(0, 4)　　　 B．(2, －2)　　　 C．(－2, 2)　　　D．(2, －2) 6. 如圖，閱讀程序框圖，任意輸入一次x（0≤x≤1）與y（0≤y≤1），則能輸出數對（x，y）的概率為( )　 A． B． C． D． 7.已知離心率為的雙曲線和離心率為的

3、橢圓有相同的焦點是兩曲線的一個公共點，若，則等于( )　 A． B． C． D．3 8. 已知△ABC的三內角A, B, C所對邊的長依次為a,b,c，M為該三角形所在平面內的一點，若a＋b＋c＝，則M是△ABC的 A．內心　　　 B．重心　　　 C．垂心　　　　 D．外心 9. 已知變量滿足約束條件若恒成立，則實數的取值范圍為( )　 A. (-∞,-1] B. [-1,+∞) C. [-1,1] D. [-1,1) 10.已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所

4、示，則該幾何體的體積是( )　 A. B.100 C.92 D.84 11.已知函數()定義域為,則的圖像不可能是( )　 O x y 1 O x y 1 O x y 1 O x y 1 A. B. C. D. 12.設，若函數為單調遞增函數，且對任意實數x，都有 （是自然對數的底數），則( )　 A. B. C.

5、 D. 第Ⅱ卷 二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分。 13. 若，則的最大值為　　　　. 14. 設為實數,函數的導函數為,且是偶函數，則曲線在點處的切線方程為　　　　. 15. 已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，⊥平面，，則球的表面積為　　　　. 16. 已知是函數的兩個零點，，則的取值范圍是　　　　. 三、解答題：本大題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17.（本小題滿分12分）設各項均為正數的數列的前項和為,滿足,且恰好是等比數列的前三項. (1) 求數列、的通項公式； (2) 記數列的前項和為，若

6、對任意的恒成立,求實數的取值范圍. 18. (本題滿分12分）近年來,某市為了促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設置了相應的垃圾箱,為調查居民生活垃圾分類投放情況,現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾,數據統(tǒng)計如下(單位:噸): “廚余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 廚余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)試估計廚余垃圾投放正確的概率;(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率; (3)假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回

7、收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為,其中,.當數據的方差最大時,寫出的值(結論不要求證明),并求此時的值.(注:方差,其中為的平均數) 19.（本小題滿分12分）如圖,四棱錐,側面是邊長為的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為的中點. (1) 求證:； (2) 求點到平面的距離. 20.（本小題滿分12分）已知點E(m,0)為拋物線內的一個定點，過E作斜率分別為k1、k2的兩條直線交拋物線于點A、B、C、D，且M、N分別是AB、CD的中點 （1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面積的最小值； （2）若k1 + k2 = 1，求證：直線MN過定點

8、. 21. （本小題滿分12分）已知函數 （1）若，求的單調區(qū)間； （2）若由兩個極值點，記過點的直線的斜率，問是否存在，使，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由. 請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時請寫清題號。 22.（本題滿分10分) 選修4－1：幾何證明選講 如圖,已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點,過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C,過點B和兩圓的割線,分別交⊙O1、⊙O2于點D、E,DE與AC相交于點P. (1)求證:AD∥EC; (2)若AD是⊙O2的切

9、線,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的長. 23.（本題滿分10分) 選修4－4：坐標系與參數方程 在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),直線與曲線交于兩點 (1)求的長； (2)在以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設點的極坐標為,求點到線段中點的距離. 24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數． （1）若，求不等式的解集； （2）若方程有三個不同的解，求的取值范圍． 數學參考答案 一、選擇題 1. C 2.A 3C 4.D 5.B 6.A 7.C 8.A

10、 9. C 10.B 11.D 12.C 二、填空題 (2)Tn===,7分∴(+)k≥3n-6對n∈N*恒成立, ∴k≥對n∈N*恒成立,9分 令cn=,cn-cn-1=-=,10分當n≤3時,cn>cn-1,當n≥4時,cn

11、0,3. (3)當,時,取得最大值.因為, 所以. 19. 【解】3、【解析】(Ⅰ)方法一:取中點,連結,依題意可知△,△均為正三角形, P A B C D M Q O 所以,,又,平面,平面, 所以平面,又平面,所以. 方法二:連結,依題意可知△,△均為正三角形, 又為的中點,所以,, 又,平面,平面, 所以平面, 又平面,所以. (Ⅱ)當點為棱的中點時,四點共面,證明如下: 取棱的中點,連結,,又為的中點,所以, 在菱形中,所以,所以四點共面. (Ⅲ)點到平面的距離即點到平面的距離, 由(Ⅰ)可知,

12、又平面平面,平面平面, 平面,所以平面,即為三棱錐的體高. 在中,,, 在中,,,邊上的高, 所以的面積, 設點到平面的距離為,由得 ,又,所以, 解得, 所以點到平面的距離為.………………12分 20、解析：（Ⅰ）當時，E為拋物線的焦點， ∵，∴AB⊥CD 設AB方程為， 由，得， AB中點，∴， 同理，點……2分 ∴……4分 當且僅當，即時，△EMN的面積取最小值4． …6分 （Ⅱ）證明：設AB方程為， 由，得， AB中點，∴， 同理，點……8分 ∴ …10分 ∴M

13、N：，即 ∴直線MN恒過定點． …12分 21. 解：（Ⅰ）的定義域為， 當時， 當或，時，，........................2分 當時，.......... 的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為..........4分 （Ⅱ） 令，則， 當，即時，， 在上單調遞增，此時無極值； ..............5分 當，即時，， 在上單調遞增，此時無極值.............6分 當，即或時， 方程有兩個實數根 若，兩個根，此時， 則當時，， 在上單調遞增，此時無極值.................7分 若，的兩個根，不妨設

14、，則 當和時，，在區(qū)間和單調遞增， 當時，，在區(qū)間上單調遞減， 則在處取得極大值，在處取得極小值， 且 即 ……………………（*）............9分 即 令，則上式等價于： 令 則 令 在區(qū)間上單調遞減，且， 即在區(qū)間恒成立 在區(qū)間上單調遞增，且 對，函數沒有零點， 即方程在上沒有實根，.....................11分 即（*）式無解，不存在實數，使得. ..............12分 22．解:(I)∵AC是⊙O1的切線,∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.

15、 (II)設BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2, ∴xy=12 ① ∵AD∥EC,∴=,∴= ② 由①、②解得 (∵x>0,y>0) ∴DE=9+x+y=16, ∵AD是⊙O2的切線,∴AD2=DBDE=916,∴AD=12. 23. 解(1)直線的參數方程化為標準型(為參數) 代入曲線方程得 設對應的參數分別為,則,, 所以 5分 (2)由極坐標與直角坐標互化公式得直角坐標, 所以點在直線, 中點對應參數為,由參數幾何意義,所以點到線段中點的距離 10分 24. （Ⅰ）時，， ∴當時，不合題意； 當時，，解得； 當時,符合題意. 3分 綜上,的解集為 5分 （Ⅱ）設，的圖象和的圖象如右圖： 7分 易知的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位）與的圖象始終有3個交點， 從而. 10分 17