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2019年高考數(shù)學二輪復習 第一篇 求準提速 基礎(chǔ)小題不失分 第9練 三角函數(shù)的概念、三角恒等變換練習 文 [明考情] 三角函數(shù)的概念和三角恒等變換是研究三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的基礎(chǔ)，常在交匯點處命題，個別年份單獨命題，難度中檔偏下. [知考向] 1.任意角的三角函數(shù). 2.三角函數(shù)的求值與化簡. 3.三角恒等變換的應用. 考點一　任意角的三角函數(shù) 要點重組　(1)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}. (2)三角函數(shù)：角α的終邊與單位圓交于點P1(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0). (3)各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 1.已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸的交點為M，點M沿圓O順時針運動弧長到達點N，以ON為終邊的角記為α，則tan α等于(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案　B 解析　圓的周長為4π，弧長對應的圓心角為，故以ON為終邊的角為 ，故tan α＝1. 2.已知角α的終邊經(jīng)過點(，)，若α＝，則m的值為(　　) A.27 B. C.9 D. 答案　B 解析　角α的終邊經(jīng)過點(，)， 若α＝，則tan ＝tan＝＝＝，則m＝. 3.已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸.若P(4，y)是角θ終邊上的一點，且sin θ＝－，則y＝________. 答案?。? 解析　因為r＝＝，且sin θ＝－，所以sin θ＝＝＝－， 所以θ為第四象限角，解得y＝－8. 4.(xx北京)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱 .若sin α＝，則sin β＝________. 答案　 解析　由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱， 可知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，所以β＝2kπ＋π－α(k∈Z)， 所以sin β＝sin α＝. 5.函數(shù)y＝的定義域是________. 答案　，k∈Z 考點二　三角函數(shù)的求值與化簡 要點重組　(1)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. (2)誘導公式：角πα(k∈Z)的三角函數(shù)口訣： 奇變偶不變，符號看象限. (3)和差公式. 方法技巧　(1)三角函數(shù)求值化簡的基本思路“一角二名三結(jié)構(gòu)”；注意角的變形，看函數(shù)名稱之間的關(guān)系；觀察式子的結(jié)構(gòu)特點. (2)公式的變形使用尤其是二倍角余弦的變形是高考的熱點，sin2α＝，cos2α＝. 6.(xx安徽淮北二模)已知α滿足sin α＝，則coscos等于(　　) A. B. C.－ D.－ 答案　A 解析　coscos＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝(cos2α－sin2α)＝(1－2sin2α)＝＝，故選A. 7.(xx全國Ⅲ)已知sin α－cos α＝，則sin 2α等于(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　A 解析　∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝， ∴sin 2α＝－. 故選A. 8.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，則tan(α－β)等于(　　) A. B. C.4 D.12 答案　C 解析　由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17， ∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)， ∴tan(α－β)＝＝4. 9.(xx全國Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，則cos＝________. 答案　 解析　cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝(cos α＋sin α). 又由α∈，tan α＝2知，sin α＝，cos α＝， ∴cos＝＝. 10.已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，則α＋β＝________. 答案　 解析　因為cos(2α－β)＝－且＜2α－β＜π， 所以sin(2α－β)＝. 因為sin(α－2β)＝且－＜α－2β＜， 所以cos(α－2β)＝. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－＋＝. 因為＜α＋β＜， 所以α＋β＝. 考點三　三角恒等變換的應用 要點重組　輔助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝. 11.(xx山東)函數(shù)y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期為(　　) A. B. C.π D.2π 答案　C 解析　∵y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， ∴T＝＝π. 故選C. 12.(xx全國Ⅲ)函數(shù)f(x)＝sin＋cos的最大值為(　　) A. B.1 C. D. 答案　A 解析　方法一　∵f(x)＝sin＋cos ＝＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＝sin， ∴當x＝＋2kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值. 故選A. 方法二　∵＋＝， ∴f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos ＝sin＋sin＝sin≤. ∴f(x)max＝. 故選A. 13.已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，下列說法錯誤的是(　　) A.f(x)的最小正周期為π B.直線x＝是f(x)圖象的一條對稱軸 C.f(x)在上單調(diào)遞增 D.|f(x)|的值域是[0，1] 答案　C 解析　f(x)＝cos 2x，f(x)在上不單調(diào)， ∴選項C中的結(jié)論錯誤. 14.設當x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos θ＝________. 答案?。? 解析　f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝. 當x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取到最大值， 即當θ＝2kπ＋＋φ時，函數(shù)f(x)取到最大值， 所以cos θ＝－sin φ＝－. 15.函數(shù)f(x)＝sin x－cos的值域為________. 答案　[－，] 解析　f(x)＝sin x－cos ＝sin x－ ＝sin x－cos x ＝ ＝sin∈[－，]. 1.設cos(－80)＝k，那么tan 100等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　B 解析　sin 80＝＝＝， 所以tan 100＝－tan 80＝－＝－. 2.設α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A.3α－β＝ B.2α－β＝ C.3α＋β＝ D.2α＋β＝ 答案　B 解析　∵tan α＝＝， ∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ① ∵0＜α＜，0＜β＜， ∴－＜α－β＜，0＜－α＜， ∴由①得α－β＝－α，即2α－β＝.故選B. 3.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，則tan θ的值為________. 答案?。? 解析　∵sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， ∴sin θcos θ＝－， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝. 又θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝， ∴sin θ＝，cos θ＝－， ∴tan θ＝－. 解題秘籍　(1)使用平方關(guān)系求函數(shù)值，要注意角的某象限和三角函數(shù)值的符號. (2)利用三角函數(shù)值求角要解決兩個要素：①角的某一個三角函數(shù)值；②角的范圍(盡量縮小). 1.點P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動弧長到達Q點，則點Q的坐標為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設點Q的坐標為(x，y)， 則x＝cos ＝－，y＝sin ＝. ∴點Q的坐標為. 2.若0≤sin α≤，且α∈[－2π，0]，則α的取值范圍是(　　) A.∪ B.∪(k∈Z) C.∪ D.∪(k∈Z) 答案　A 解析　根據(jù)題意并結(jié)合正弦線可知， α滿足∪(k∈Z)， ∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范圍是∪. 故選A. 3.(xx貴州七校聯(lián)考)已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則sin的值為(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　D 解析　由題意得tan θ＝2， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝， cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝－， ∴sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)＝. 4.若α是第四象限角，tan＝－，則cos等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　D 解析　由題意知，sin＝－，cos＝cos＝sin＝－. 5.的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　原式＝＝ ＝＝. 6.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則角β等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因為α，β均為銳角， 所以－＜α－β＜. 又sin(α－β)＝－， 所以cos(α－β)＝. 又sin α＝，所以cos α＝. 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝－＝， 所以β＝. 7.tan 70＋tan 50－tan 70tan 50的值等于(　　) A. B. C.－ D.－ 答案　D 解析　因為tan 120＝＝－， 即tan 70＋tan 50－tan 70tan 50＝－. 8.記a＝sin(cos 2 010)，b＝sin(sin 2 010)，c＝cos(sin 2 010)，d＝cos(cos 2 010)，則a，b，c，d中最大的是(　　) A.a B.b C.c D.d 答案　C 解析　注意到2 010＝3605＋180＋30，因此sin 2 010＝－sin 30＝－，cos 2 010＝－cos 30＝－，因為－＜－＜0，－＜－＜0，0＜＜＜，所以cos ＞cos ＞0，所以a＝sin＝－sin＜0，b＝sin＝－sin ＜0，c＝cos＝cos ＞d＝cos＝cos ＞0，因此c最大. 9.已知角α終邊上一點P(－4，3)，則的值為________. 答案?。? 解析　原式＝＝tan α. 根據(jù)三角函數(shù)的定義，得tan α＝＝－， 所以原式＝－. 10.已知tan α＝4，則的值為________. 答案　 解析　＝＝＝＝. 11.若函數(shù)f(x)＝cos ωxcos(ω＞0)的最小正周期為π，則ω的值為________. 答案　1 解析　由于f(x)＝cos ωxcos＝sin 2ωx，所以T＝＝π?ω＝1. 12.若α∈，則的最大值為________. 答案　 解析　∵α∈， ∴＝＝，且tan α>0， ∴＝≤＝， 故的最大值為.