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1、概率、隨機(jī)變量及分布列（一） 一.知識回顧： 1．隨機(jī)事件的概率 (1)隨機(jī)事件的概率范圍：0≤P(A)≤1；必然事件的概率為____；不可能事件的概率為___. (2)古典概型的概率：P(A)＝_________. (3)幾何概型的概率：P(A)＝__________. 2．離散型隨機(jī)變量的分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，它具有的

2、性質(zhì)： （1）①pi______0，i＝1,2，…，n；②pi＝_____ （2）離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的____________． 3．離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征： （1）E(X)＝__________________________為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)． （2）D(X)＝____________________________________叫做隨機(jī)變量X的方差． 性質(zhì) : ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b，②D(aX＋b)＝a2D(X)； X 1 0 P p q 4.特殊分布 （1）二點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的分布

3、列為 其中0

4、,2,3,4共4個數(shù)字中，任取兩個數(shù)字(允許重復(fù))，其中一個數(shù)字是另一個數(shù)字的2倍的概率是________． (2)在區(qū)間[－3,3]上隨機(jī)取一個數(shù)x，使得函數(shù)f(x)＝＋－1有意義的概率為________． 例2. 一個袋子中裝有7個小球，其中紅球4個, 從袋子中任取4個小球 (1)求取出紅球個的分布列及數(shù)學(xué)期望； （2）若紅球的編號分別為1,2,3,4，剩下3個黃球，編號分別為2,4,6 ①求取出的小球中有相同編號的概率； ②記取出的小球的最大編號為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望． 課后作業(yè)： 1. 從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M落在陰影

5、部分的概率為________． 2．在一次教師聯(lián)歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機(jī)挑選一人表演節(jié)目．若選到男教師的概率為，則參加聯(lián)歡會的教師共有________人． 3.在集合{x|x＝，n＝1,2,3，…，10}中任取一個元素，所取元素恰好滿足方程cos x＝的概率是________． ξ －1 0 1 P 1－2q q2 4. 設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為 則q的值為(　　) A．1 B．1 C．1＋ D．1－ 5.若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下： X 4 5 6 7 8 9 10 P 0

6、.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)X≥7”的概率是________． 6.在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗(yàn)的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.

7、(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X). 7．某家電產(chǎn)品受在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每件的利潤(單位:百元)與該產(chǎn)品首次出現(xiàn)故障的時間(單位:年)有關(guān).某廠家生產(chǎn)甲、乙兩種品牌,保修期均為2年.現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌家電中各隨機(jī)抽取50件,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下: 品牌 甲 乙 首次出現(xiàn) 故障時間x 02 02 數(shù)量 2 3 45 5 45 每件利潤 1 2 3 1.8 2.9 將頻率視為概率,解答下列問題: (1)從該廠生產(chǎn)的甲、乙品牌產(chǎn)

8、品中隨機(jī)各抽取一件,求其至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率; (2)若該廠生產(chǎn)的家電均能售出,記生產(chǎn)一件甲品牌家電的利潤為X1,生產(chǎn)一件乙品牌家電的利潤為X2,分別求X1,X2的分布列; (3)該廠預(yù)計今后這兩種品牌家電銷量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌的家電.若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的家電?說明理由. 答案： 例1. （1） （2） 例2 （2）(1)設(shè)取出的小球中有相同編號的事件為A，編號相同可分成一個相同和兩個相同． P(A)＝＝. (2)隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,6. P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝6)＝

9、＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 3 4 6 P 所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3＋4＋6＝. 課后作業(yè)： 1. 2. 120 3. 5．0.88 6. 9.解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C105=518. (2)由題意知X可取的值為:0,1,2,3,4,則 P(X=0)=C65C105=142, P(X=1)=C64C41C105=521, P(X=2)=C63C42C105=1021, P(X=3)=C62C43C105=521, P(X=4)=C61C44C10

10、5=142. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 X的數(shù)學(xué)期望是 E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4) =0+1521+21021+3521+4142=2. 7. 解(1)設(shè)“甲、乙品牌家電至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A,則P(A)=1-45504550=19100. (2)依題意得,X1的分布列為 X1 1 2 3 P 125 350 910 X2的分布列為 X2 1.8 2.9 P 110 910 (3)由(2)得E(X1)=1125+2350+3910=14350=2.86(百元),E(X2)=1.8110+2.9910=2.79(百元).因?yàn)镋(X1)>E(X2),所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌家電.