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1、 2016年福州市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 數(shù)學(理科)試卷 （完卷時間120分鐘；滿分150分） 第Ⅰ卷 （選擇題 共60分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的．把正確選項涂在答題卡的相應(yīng)位置上．） 1. 已知復數(shù)滿足，若的虛部為2，則（ ）． A．2 B． C． D． 2．已知命題 “”，則為 （ ） A． B． C． D． 3． 閱讀算法框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間上，則輸入的實數(shù)的取值范圍是(　 　) A． B． C．

2、 D． 4．若，且，則的值為（ ） A． B． C． D． 5．若實數(shù)滿足不等式組目標函數(shù)的最大值為，則實數(shù)的值是（ ） A． ﹣2 B．2 C．1 D．6 6．如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 7．的展開式中的系數(shù)是（ ） A． B． C． D． 8．已知拋物線與直線相交于兩點，為的焦點，若，則 ( ) A． B． C． D． 9．已知，若函數(shù)有兩個零點，則兩零點所在的區(qū)間為( )

3、． A． B． C． D． 10.已知三棱錐底面的頂點在半徑為4的球表面上，且，則三棱錐的體積為（ ） A． 4 B． C．18 D． 11．設(shè)是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標原點），且，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 12．已知偶函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，當時有，則不等式的解集為(　 　) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分） 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．） 13．在等比數(shù)列

4、中，，，則 14．已知在中， ,，其外接圓的圓心為 ， 則________． 15． 以下命題正確的是： ． ①把函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得到的圖象； ②四邊形為長方形，為中點，在長方形內(nèi)隨機取一點，取得的點到的距離大于1的概率為； ③某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有30種； ④在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）內(nèi)取值的概率為0.1，則ξ在（2，3）內(nèi)取值的概率為0.4． 16.已知的三個內(nèi)角所對的邊

5、分別為，，且，則面積的最大值為 . 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項和滿足，其中． （I）求數(shù)列的通項公式； （II）設(shè)，求數(shù)列的前項和為． 18．(本小題滿分12分) 某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調(diào)查，在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖． （I）試估計該校高三學生視力在5．0以上的人數(shù)； （II）為了進一步調(diào)查學生的護眼習慣，學習小組成員進行分層抽樣，在視力 和的學生中抽取 人

6、，并且在這人中任取人，記視力在的學生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望． 19．(本小題滿分12分) 已知：矩形，且 ，分別是、的中點，為中點，將矩形沿著直線折成一個的二面角，如圖所示. （Ⅰ）求證： ⊥； （Ⅱ）求與平面所成角的正弦值. 20. (本小題滿分12分) 已知以為圓心的圓上有一個動點，，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡為． （Ⅰ）求軌跡的方程； （Ⅱ）過點作兩條相互垂直的直線分別交曲線于四個點，求的取值范圍． 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)，,且函數(shù)在處的切線平行于直線． （Ⅰ）實數(shù)的值； （Ⅱ）若在（）上存在一點，

7、使得成立，求實數(shù)的取值范圍. 本題有(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答,如果多做，則按所做的第一題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中． （22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明講 如圖，已知為圓的一條直徑，以端點為圓心的圓交直線于兩點，交圓于兩點，過點作垂直于的直線，交直線于點． （Ⅰ）求證：四點共圓； （Ⅱ）若，求外接圓的半徑． （23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在極坐標系中，圓的極坐標方程為：.若以極點為原點，極軸所在直線為軸建立平面直角坐標系. （Ⅰ）求圓的參數(shù)方

8、程； （Ⅱ）在直角坐標系中，點是圓上動點，試求的最大值，并求出此時點的直角坐標. （24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知都是實數(shù)，，. (I)若，求實數(shù)的取值范圍； (II)若對滿足條件的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍． 2016年福州市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 數(shù)學(理科)答案 第Ⅰ卷 （選擇題 共60分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的．把正確選項涂在答題卡的相應(yīng)位置上．） 1.B 2.C 3.D　

9、 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10. A 11. D　 12.B　 第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分） 二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．） 13．9 14．10 15.①③④ 16. 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17． (本小題滿分12分) 解:（I）∵， ① 當，∴，………………………………2分 當，∵， ② ①-②：，即： ………………………………4分 又∵， ，

10、 ∴對都成立，所以是等比數(shù)列， ∴ .………………………………6分 （II）∵， ∴，……………………………9分 ∴， ∴，即 .……………………………12分 18．(本小題滿分12分) 解：（I）設(shè)各組的頻率為， ， 所以視力在以上的頻率為， 估計該校高三學生視力在5．0以上的人數(shù)約為人． ……………………………4分 （II）依題意9人中視力在 和的學生分別有3人和6人， 可取0、1、2、3 ， ， ， ．……………………………10分 的分布列為 0 1 2 3 的數(shù)學期望 ．…………………12分

11、 19．(本小題滿分12分) （Ⅰ）解法一：連結(jié)、， ∵ 分別是矩形邊、的中點， ∴， ， ∴ ∴為二面角 的平面角，則 ∴為正三角形，即幾何體是正三棱柱. ∴四邊形為正方形 ∴，…………………………………2分 取中點，連結(jié)，則. ∵正三棱柱中，平面⊥平面, ∴⊥平面, ∵平面,∴⊥ 在正方形中，∴…………………………………3分 ∵,∴⊥面，∴⊥. ∴⊥平面． ∴ ⊥．…………………………………6分 （Ⅰ）解法二：連結(jié)、， ∵ 分別是矩形邊、的中點， ∴， ， ∴ ∴為二面角 的平面角，則 ∴為正三角形，即幾何體是正三棱柱.

12、 取中點，連結(jié)則， ∵正三棱柱中，平面⊥平面， ∴⊥平面…………………………1分 取中點，以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，,,, 則 ，，……………………………4分 ∴， ∴ ∴⊥．…………………………………6分 （Ⅱ）解： 設(shè)平面的法向量為 ∵， ∵, ∴ ……………………………………………8分 ∵ ∴ 令 得為平面的一個法向量.………………………10分 由（I）得 與平面所成角的正弦值==. 與平面所成角的正弦值為．…………………………………………12分 21. (本小題滿分12分) 解（Ⅰ）連接，依題意得，所以

13、所以點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓， 所以，， 所以的軌跡方程式． …………………………4分 (Ⅱ) 當直線中有一條直線的斜率不存在時， 當直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線的方程，設(shè)， 聯(lián)立，整理得…………6分 ， 所以 …………8分 設(shè)直線的方程為， 所以 所以…………9分 設(shè)，所以，所以 因為，所以，所以的取值范圍是．………12分 21．(本小題滿分12分) 解：（Ⅰ）的定義域為， …………………1分 ∵，函數(shù)在處的切線平行于直線． ∴ ∴…………………………………………4分 解：（Ⅱ）若在（）上存在一點，使得

14、成立， 構(gòu)造函數(shù)在上的最小值小于零. ………6分 ①當時，即時，在上單調(diào)遞減，…………………8分 所以的最小值為，由可得， 因為，所以； ………………10分 ②當，即時， 在上單調(diào)遞增， 所以最小值為，由可得； ……11分 ③當，即時， 可得最小值為， 因為，所以， 此時，不成立. 綜上所述:可得所求的范圍是：或. ……………12分 本題有(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答,如果多做，則按所做的第一題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中． （22）（本小題

15、滿分10分）選修4-1：幾何證明講 證明:(I) 為圓的一條直徑 四點共圓 ……………………………………4分 解：(II) 與圓相切于點， 由切割線定理得，即， 解得， 所以， 又， 則，得，……………………………………7分 連接，由（1）知為的外接圓直徑， ， 故的外接圓半徑為．……………………………………10分 （23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 解：（Ⅰ）因為， 所以， 所以， 即為圓C的普通方程．…………………………………4分 所以所求的圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)) ．………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， …………………………7分 當 時，即點 的直角坐標為時， ……………………………9分 取到最大值為6. …………………………………10分 （24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 解：(I) 由得或， 解得或. 故所求實數(shù)的取值范圍為.……5分 （II）由且得 又∵ …………………………7分 ∴. ∵的解集為， ∴的解集為， ∴所求實數(shù)的取值范圍為.…………………………10分 18