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2019-2020年高三3月模擬考試 數(shù)學(xué)文 含答案 劉 斌 龔小銘 一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分 1、已知是純虛數(shù)，對應(yīng)的點在實軸上，那么等于( D ) A B． C． D． 2、設(shè)，，則的值為（ D ） 第4題圖 A. B. C. D. 3、平面向量與的夾角為，，則= ( C ) 　 A.　7　　　　　 B.　　　　 C.　　　　　 D. 3 4、已知實數(shù)，若執(zhí)行如下左圖所示的程序框圖，則輸出的 不小于 47的概率為( A ) A. B. C. D. 5、已知，實數(shù)a、b、c滿足＜0，且0＜a＜b＜c，若實數(shù)是函數(shù)的一個零點，那么下列不等式中，不可能成立的是 （ D ） A．＜a B．＞b C．＜c D．＞c 6、已知偶函數(shù)在R上的任一取值都有導(dǎo)數(shù)，且則曲線在處的切線的斜率為 (　D　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 7、某幾何體的三視圖如圖所示，當取最大值時，這個幾何體的體積為(　D　) A. B. C. D. 8、定義：關(guān)于的不等式的解集叫的鄰域.已知的鄰域為區(qū)間，其中分別為橢圓的長半軸和短半軸.若此橢圓的一焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的方程為( B. ) A. B. C. D. 9、已知函數(shù)設(shè)，且函數(shù)F(x)的零點均在區(qū)間內(nèi)，圓的面積的最小值是 ( A ) A. B. C. D. 10、點P的底邊長為，高為2的正三棱柱表面上的動點，MN是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則 取值范圍是 （C ） A．[0，2] B．[0，3] C．[0，4] D．[—2，2] 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分. 11、若直線與直線互相垂直，則實數(shù)的值為 1 12、已知等差數(shù)列的公差和首項都不等于0，且成等比數(shù)列，則 3 13、已知點P的坐標，過點P的直線l與圓相交于A、B兩點，則的最小值為 4 14、對于定義域和值域均為的函數(shù)，定義，，…，，n=1，2，3，…．滿足的點稱為f的階周期點． （1）設(shè)則f的階周期點的個數(shù)是______2_____; （2）設(shè)則f的階周期點的個數(shù)是___4_______ . 15、給出以下五個命題： ①點的一個對稱中心 ②設(shè)回時直線方程為，當變量x增加一個單位時，y大約減少2.5個單位 ③命題“在△ABC中，若，則△ABC為等腰三角形”的逆否命題為真命題 ④對于命題p：“”則“” ⑤設(shè)， ，則“”是 “” 成立的充分不必要條件. 不正確的是 ④⑤ 三、解答題（本大題共計6小題，滿分75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.） 16、（本小題滿分12分）我校某班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題. （1）求全班人數(shù)及分數(shù)在[80,90)之間的頻數(shù)； （2）估計該班的平均分數(shù)，并計算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高； （3）若要從分數(shù)在[80,100]之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分數(shù)在[90,100]之間的概率. 解：（1）由莖葉圖知，分數(shù)在[50,60)之間的頻數(shù)為2， 頻率為0.00810=0.08 全班人數(shù)=25 所以分數(shù)在[80,90)之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4…………3分 （2）分數(shù)在[50,60)之間的總分數(shù)為56+58=114 分數(shù)在[60,70)之間的總分數(shù)為607+2+3+3+5+6+8+9=456 分數(shù)在[70,80)之間的總分數(shù)為7010+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747 分數(shù)在[80,90)之間的總分數(shù)為854=340分數(shù)在[90,100]之間的總分數(shù)為95+98=193 所以，該班的平均分數(shù)為……………5分 估計平均分數(shù)時，以下解法也給分： 分數(shù)在[50,60)之間的頻率為=0.08分數(shù)在[60,70)之間的頻率為=0.28 分數(shù)在[70,80)之間的頻率為=0.40分數(shù)在[80,90)之間的頻率為=0.16 分數(shù)在[90,100]之間的頻率為=0.08所以該班的平均分數(shù)約為550.08+650.28+750.40+850.16+950.08 =73.8 所以頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高為10=0.016………………8分 （3）將[80,90)之間的4個分數(shù)編號為1,2,3,4，[90,100]之間的2個分數(shù)編號為5,6， 在[80,100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15個. 其中，至少有一份在[90,100]之間的基本事件有9個，故至少有一份分數(shù)在[90,100]之間的概率是=0.6… 17、（本小題滿分12分）已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點，PA⊥平面ABCD. (Ⅰ)求證：DF⊥平面PAF； (Ⅱ)在棱PA上找一點G，使EG∥平面PFD，當PA=AB=4時，求四面體E-GFD的體積. （Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，因為AD=2AB,點F是BC的中點, 所以平面 …………6分 再過作交于，所以平面，且………10分 所以平面平面，所以平面,點即為所求. 因為,則,AG=1 ………………12分 18、（本小題滿分12分）已知向量. (1)若，求； (2)設(shè)的三邊滿足，且邊所對應(yīng)的角的大小為，若關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)根，求的值. 【解】（1）……………4分 由條件有，故……………6分 （2）由余弦定理有，又，從而 ……………8分 由此可得，結(jié)合圖象可得或.……………12分 19、（本小題滿分12分）設(shè)正項數(shù)列都是等差數(shù)列，且公差相等，（1）求的通項公式；（2）若的前三項，記數(shù)列數(shù)列的前n項和為 解：設(shè)的公差為，則,即， 由是等差數(shù)列得到： （或=……2分，） 則且，所以，……4分， 所以：……5分，……6分 （2）由，得到：等比數(shù)列的公比， 所以：， ……8分 所以……10分 …… ……12分 20．（本小題滿分13分）已知函數(shù). (1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值. (2)若，求的最小值； (3)在(Ⅱ)上求證：. 解：（Ⅰ）的定義域為，，根據(jù)題意有， 所以解得或. ………………………………4分 （Ⅱ） 當時，因為，由得，解得， 由得，解得， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； …………………8分 （Ⅲ）由（2）知，當a>0, 的最小值為 令 當 。 …………………13分 21、（本小題滿分14分）已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓的方程為它的離心率為，一個焦點是(-1,0)，過直線上一點引橢圓的兩條切線，切點分別是A、B. (1)求橢圓的方程； (2)若在橢圓上的點處的切線方程是.求證：直線AB恒過定點C，并求出定點C的坐標； (3)是否存在實數(shù),使得求證： (點C為直線AB恒過的定點).若存在，請求出，若不存在請說明理由 解：（I）設(shè)橢圓方程為的焦點是，故，又，所以，所以所求的橢圓方程為. ………………………4分 （II）設(shè)切點坐標為,,直線上一點M的坐標，則切線方程分別為，，又兩切線均過點M，即，即點A,B的坐標都適合方程，故直線AB的方程是，顯然直線恒過點（1,0），故直線AB恒過定點.…………………………………8分 （III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得 ，即， 所以，不妨設(shè)， ，同理，…………12分 所以 ， 即，……………………………14分