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第29章 投影與視圖 專項(xiàng)訓(xùn)練 專訓(xùn)1　平行投影、中心投影、正投影間的關(guān)系 名師點(diǎn)金： 1．平行投影的投影線是平行的，在同一時(shí)刻物體的影長(zhǎng)與物高成正比；中心投影的投影線相交于一點(diǎn)，在同一時(shí)刻物體的影長(zhǎng)與物高不一定成正比． 2．平行投影在同一時(shí)刻的影子總在同一方向；中心投影在同一時(shí)刻的影子不一定在同一方向． 3．正投影是投影線垂直于投影面的平行投影． 利用平行投影與中心投影的定義判斷投影 1．如圖，下列判斷正確的是(　　) (第1題) A．圖①是在陽(yáng)光下的影子，圖②是在燈光下的影子 B．圖②是在陽(yáng)光下的影子，圖①是在燈光下的影子 C．圖①和圖②都是在陽(yáng)光下的影子 D．圖①和圖②都是在燈光下的影子 2．如圖，下面是北半球一天中四個(gè)不同時(shí)刻兩個(gè)建筑物的影子，將它們按時(shí)間先后順序進(jìn)行排列，正確的是(　　) (第2題) A．③④②① B．②④③① C．③④①② D．③①②④ 利用平行投影與中心投影的特征作圖 3．如圖，兩棵樹的影子是在太陽(yáng)光下形成的還是在燈光下形成的？畫出同一時(shí)刻旗桿的影子．(用線段表示) (第3題) 4．圖①②分別是兩棵樹及其影子的情形． (第4題) (1)哪個(gè)圖反映了陽(yáng)光下的情形？哪個(gè)圖反映了路燈下的情形？ (2)你是用什么方法判斷的？ (3)請(qǐng)分別畫出圖中表示小麗影子的線段． 正投影的識(shí)別與畫法 5．如圖，若投影線的方向如箭頭所示，則圖中物體的正投影是(　　) (第5題) 　 6．一個(gè)正方體框架上面嵌有一根黑色的金屬絲EF，如圖所示．若正方體的面ABCD平行于投影面P，且垂直于投影面Q，畫出這個(gè)物體在兩個(gè)投影面上的正投影． (第6題) 專訓(xùn)2　投影規(guī)律在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 名師點(diǎn)金： 用光線照射物體，在某個(gè)平面(地面、墻等)上得到的影子叫物體的投影．投影有兩種類型：平行投影和中心投影．平行投影的特征是投影線平行，中心投影的特征是投影線相交于一點(diǎn)．在解答與投影有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往與相似三角形、直角三角形的性質(zhì)密切相關(guān)，要注意構(gòu)造相似三角形或直角三角形． 平行投影的實(shí)際應(yīng)用 投影線不受限時(shí)的測(cè)量 1．甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量，下面是他們通過(guò)測(cè)量得到的一些信息： 甲組：如圖①，測(cè)得一根直立于平地、長(zhǎng)為80 cm的竹竿的影長(zhǎng)為60 cm. 乙組：如圖②，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900 cm. 丙組：如圖③，測(cè)得校園景燈(燈罩視為圓柱體，燈桿粗細(xì)忽略不計(jì))的燈罩部分影長(zhǎng)HQ為90 cm，燈桿被陽(yáng)光照射到的部分PG長(zhǎng)為50 cm，未被照射到的部分KP長(zhǎng)為32 cm. (第1題) (1)請(qǐng)你根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度． (2)請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，解答下列問(wèn)題： ①求燈罩底面半徑MK的長(zhǎng)； ②求從正面看燈罩得到的圖形的面積和從上面看燈罩得到的圖形的面積． 投影線在特定條件時(shí)的測(cè)量 2．如圖，有甲、乙兩座辦公樓，兩幢樓都為10層，由地面上依次為1層至10層，每層的高度均為3 m，兩樓之間的距離為30 m．為了了解太陽(yáng)光與水平線的夾角為30時(shí)，甲樓對(duì)乙樓采光的影響情況，請(qǐng)你求出甲樓樓頂B的影子E落在乙樓的第幾層． (第2題) 中心投影的實(shí)際應(yīng)用 3．如圖，一位同學(xué)身高1.6 m，晚上站在路燈下A處，他在地面上的影長(zhǎng)AB是2 m，若他沿著影長(zhǎng)的方向移動(dòng)2 m站在B處時(shí)，影長(zhǎng)增加了0.5 m，求路燈的高度． (第3題) 答案 1．B　點(diǎn)撥：圖①中影子的方向不同，是在燈光下的影子；圖②中影子的方向相同，且影長(zhǎng)與樹高成正比，是在陽(yáng)光下的影子． 2．C 3．解：如圖，過(guò)樹和影子的頂端分別畫兩條光線AA1，BB1.觀察可知，AA1∥BB1，故兩棵樹的影子是在太陽(yáng)光下形成的． (第3題) 過(guò)旗桿的頂端C畫AA1(或BB1)的平行線CC1，交地面于點(diǎn)C1，連接旗桿底端O和點(diǎn)C1，則線段OC1即為同一時(shí)刻旗桿的影子． 點(diǎn)撥：根據(jù)物體和投影之間的關(guān)系可以判斷是平行投影，然后根據(jù)平行投影的特征即可完成題中的要求． 4．解：(1)題圖②反映了陽(yáng)光下的情形，題圖①反映了路燈下的情形． (2)題圖①中過(guò)影子頂端與樹頂端的直線相交于一點(diǎn)，符合中心投影的特點(diǎn)，因此題圖①反映了路燈下的情形；題圖②中過(guò)影子頂端與樹頂端的直線平行，符合平行投影的特點(diǎn)，因此題圖②反映了陽(yáng)光下的情形． (3)路燈下小麗的影子如圖①所示，表示影子的線段為AB；陽(yáng)光下小麗的影子如圖②所示，表示影子的線段為CD. (第4題) 誤區(qū)診斷：平行投影和中心投影對(duì)應(yīng)的光線是不同的，形成平行投影的光源發(fā)出的光線是平行光線，而形成中心投影的光源發(fā)出的光線交于一點(diǎn)；同一時(shí)刻，平行投影下的影子的方向總是在同一方向，而中心投影下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向． 5．C　點(diǎn)撥：觀察圖中的兩個(gè)立體圖形，圓柱的正投影為長(zhǎng)方形，正方體的正投影為正方形，故選C. 6．解：畫出的正投影如圖所示．正方體、金屬絲在投影面P上的正投影是正方形A1B1C1D1及線段E1F1；在投影面Q上的正投影是正方形C2D2G2H2. (第6題) 點(diǎn)撥：當(dāng)物體的某個(gè)面(或某條邊)與投影面平行時(shí)，這個(gè)面(或這條邊)的正投影和這個(gè)面(或這條邊)相同；當(dāng)物體的某個(gè)面(或某條邊)與投影面垂直時(shí)，這個(gè)面(或這條邊)的正投影是一條線段(或一個(gè)點(diǎn))． 1．解：(1)根據(jù)平行投影的性質(zhì)，得Rt△ABC∽R(shí)t△DEF. ∴＝，即＝. 解得DE＝1 200 cm＝12 m．即學(xué)校旗桿的高度為12 m. (2)①根據(jù)題意可知， Rt△GPH∽R(shí)t△KPM∽R(shí)t△ABC， ∴＝＝，即＝＝. 解得GH＝37.5 (cm)，MK＝24 (cm)． 即燈罩底面半徑MK的長(zhǎng)為24 cm. ②∵ ∴Rt△KPM≌Rt△K′LN.∴LK′＝KP＝32 cm. ∵Rt△ABC∽R(shí)t△GLQ，∴＝， 即＝. 解得KK′＝56 cm. ∴從正面看燈罩得到的圖形面積為24256＝2 688(cm2)， 從上面看燈罩得到的圖形面積為π242＝576π(cm2)． 2．解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，則∠BEF＝30，設(shè)EC＝h m. 在Rt△BFE中，EF＝AC＝30 m，AB＝103＝30(m)， 所以BF＝AB－AF＝AB－EC＝(30－h(huán))m. 因?yàn)椤螧EF＝30，所以BE＝(60－2h)m. 由勾股定理得，BF2＋EF2＝BE2， 所以(30－h(huán))2＋302＝(60－2h)2. 解得h≈12.68.(h≈47.32不合題意，舍去) 因?yàn)?＜＜5， 所以甲樓樓頂B的影子E落在乙樓的第五層． 方法點(diǎn)撥：這道題是平行投影在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解． 3．解：設(shè)路燈高為x m. 由題意知，當(dāng)人在A點(diǎn)時(shí)，影長(zhǎng)AB＝2 m；當(dāng)人在B點(diǎn)時(shí)，影長(zhǎng)BC＝(2＋0.5)m. 易知＝，＝，則解得 即路燈的高度為8 m.