七年級數學 寒假教材 第五章 相交線與平行線 第1課 相交線 鄰補角：一條邊公共，另一條邊互為反向延長線。具有這種關系的兩個角，互為鄰補角。 注意：鄰補角是補角的一種特殊情況，數量上互補，位置上有一條公共邊，而互補的角與位置無關。 對頂角：有公共的頂點，兩邊互為反向延長線。具有這種位置關系的角，互為對頂角。 注意：對頂角形成的前提條件是兩條直線相交，而鄰補角不一定是兩條直線相交形成的；每個角的對頂角只有一個，而每個角的鄰補角有兩個。 兩直線相交，有4對鄰補角；2對對頂角 對頂角的性質：對頂角相等 垂線：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。 注意：①兩條直線相交所成的四個角相等; ②兩條直線相交,有一組鄰補角相等; ③兩條直線相交,對頂角互補.都可以判斷這兩條直線互相垂直 垂線的性質：性質1 過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。 注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“過一點”中的“點”在直線上或在直線外。 垂線的性質：性質2 垂線段最短. 畫出PA在擺動過程中的幾個位置，如圖，點A1、A2、A3……在l上,連接PA1、PA2、PA3……，PO⊥ l，垂足為O，用疊合法或度量法比較PO、PA1、PA2、PA3……的長短，可知垂線段PO最短。 點到直線的距離：連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離，這里我們把直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離.如上圖，PO就是點P到直線l的距離。 注意：點到直線的距離和兩點間的距離一樣是一個正值，是一個數量，所以不能畫距離，只能量距離。 垂線的畫法： 畫已知線段或射線的垂線： （1）垂足在線段或射線上；（2）垂足在線段的延長線或射線的反向延長線上 例1.下圖中直線AB、CD相交于O，∠BOC的對頂角是 ，鄰補角是 例2.一個角的對頂角有 個，鄰補角最多有 個，而補角則可以有 個。 例3.判斷正確與錯誤,如果正確,請說明理由,若錯誤,請訂正. (1)直線外一點與直線上的一點間的線段的長度是這一點到這條直線的距離. (2)如圖,線段AE是點A到直線BC的距離. (3)如圖,線段CD的長是點C到直線AB的距離. （4）過直線外一點畫直線的垂線，垂線的長度叫做這個點到這條直線的距離； （5）從直線外一點到直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離； （6）兩條直線相交，若有一組對頂角互補，則這兩條直線互相垂直； （7）兩條直線的位置關系要么相交，要么平行。 例4.如圖，過鈍角頂點B作AB、BC、CA的垂線，分別交于AC于D、E、F，并指出所畫三條垂線的垂足。 例5.如圖，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛，MN分別是位于公路AB兩側的村莊。 （1）設汽車行駛到公路AB上點P位置時，距離村莊M最近，行駛到點Q位置時，距離村莊N最近，請在圖中的AB上分別畫出點P、Q的位置； （2）當汽車從A出發(fā)向B行駛時，在哪一個位置到村莊M、N的路程之和最短？請在圖中標出這個位置。 例6.已知：如圖，直線a、b、c兩兩相交，∠1=2∠3，∠2=860，求∠4的度數． 例7.如圖，直線AB、CD相交于點0,OD平分∠BOF,EO⊥CD于O,∠EOF=1180,求∠COA的度數。 例8.如圖,O是直線AB上的一點，OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB的平分線，求證：OD⊥OE. 例9.已知,如圖,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD:∠DOE=4:1,求∠AOF的度數． 課堂練習： 1.判斷正誤 (1)如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角． ( )． (2)如果兩個角有公共頂點且沒有公共邊，那么這兩個角是對頂角． ( )． (3)有一條公共邊的兩個角是鄰補角． ( )． (4)如果兩個角是鄰補角，那么它們一定互為補角． ( )． (5)對頂角的角平分線在同一直線上． ( )． (6)有一條公共邊和公共頂點，且互為補角的兩個角是鄰補角． ( )． 2.如圖所示，直線l1，l2，l3相交于一點，則下列答案中，全對的一組是( )． A.∠1=900，∠2=300，∠3=∠4=600； B.∠1=∠3=900，∠2=∠4=30 C.∠1=∠3=900，∠2=∠4=60 D.∠1=∠3=900，∠2=600，∠4=30 3.如圖所示,∠1和∠2是對頂角的圖形有( ) 4.在兩條直線相交所成的四個角中，( )不能判定這兩條直線垂直 A.對頂角互補 B.四對鄰補角 C.三個角等 D.鄰補角相等 5.互為鄰補角的角平分線關系是 . ( ) A.互相垂直 B.相交而不垂直 C.成一條直線 D.以上都有可能 6.直線a、b、c相交于點O，則圖中對頂角共有( ) A.6對 B.5對 C.4對 D.3對 7.下列說法正確的是( ) A.相等的角是對頂角 B.一個角的鄰補角只有一個 C.補角即為鄰補角 D.對頂角的平分線在一條直線上 8.如圖,直線AB和CD相交于點O,若∠AOD與∠BOC的和為236,則∠AOC的度數為( ) A.62 B.118 C.72 D.59 9.點到直線的距離是指 .( ) A.直線外一點與這條直線上一點所連結的線段 B.直線外一點與這條直線上任一點所連結的線段的長度 C.直線外一點到這條直線的垂線段 D.直線外一點到這條直線的垂線段長度 10.如圖所示,下列說法不正確的是( )毛 A.點B到AC的垂線段是線段AB; B.點C到AB的垂線段是線段AC C.線段AD是點D到BC的垂線段; D.線段BD是點B到AD的垂線段 11.如圖，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，則下列關系不成立的是( ) 　　A．AB>AC>AD 　 　B．AB>BC>CD 　 　C．AC+BC>AB 　 　D．AC>CD>BC 12.點P為直線m外一點,點A,B,C為直線m上三點,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點P到直線m的距離為( ) A.4cm B.2cm C.小于2cm D.不大于2cm 13.如圖，直線AB、CD相交于O點，∠AOE=90， ①∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互為______角；∠2和∠3互為______角；∠1和∠3互為______角；∠2和∠4互為______角． ②若∠1＝20，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______=______-______=______； ∠4＝∠______-∠1＝______-______=______. 14.如圖，直線AB與CD相交于O點，且∠COE=90，則 ①與∠BOD互補的角有________________________________________； ②與∠BOD互余的角有________________________________________； ③與∠EOA互余的角有________________________________________； ④若∠BOD=42017′，則∠AOD＝______；∠EOD＝_____；∠AOE＝_____. 15.如圖所示,直線AB,CD,EF相交于點O,則∠AOD的對頂角是 ,∠AOC的鄰補角是 若∠AOC=50,則∠BOD= ,∠COB= . 16.如圖，AB⊥CD,垂足為O,EF經過點O，且∠3＝260，則∠1＝ . 17.如圖，線段 的長度表示點D到直線BC的距離，線段 的長度表示點B到直線CD的距離，線段 的長度表示點A、B之間的距離。 18.如圖, ∠1和∠2互為余角,EF⊥AB，則∠1= ；∠2= . 19.如圖，直線AB、CD、EF相交于O點，則∠AOC= ，∠COE= ，∠AOC的鄰補角是 . 20.直線AB、CD相交于點O， ⑴如果∠AOC+∠BOD=1000，那么∠AOD= ；⑵如果∠B0C比∠AOC的2倍大300，那么∠AOC= . 21.直線AB、CD、EF相交于點O，⑴∠BOE的鄰補角是___________；⑵∠DOA的對頂角是___________；⑶如果∠AOC=500，那么∠BOD= ，∠COB= . 22.如圖，∠AOB是直角，C、O、D三點共線，∠AOC=25，則∠AOC的余角的補角為 . 23.下列說法：①一條直線有且只有一條垂線；②畫出點P到直線l的距離；③兩條直線相交就是垂直；④線段和射線也有垂線，其中正確的有 . 24.三角形ABC中，∠C=900，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，那么點B到直線 AC的距離是___________， A、B兩點的距離是________. 25.如圖，已知，，試說明. 證明：∵，， ∴( ) ∴ ==________. 26.按要求畫圖： (1）如圖，過A點作CD⊥MN，過A點作PQ⊥EF于B． (圖a) (圖b) (圖c) (2)如圖，過A點作BC邊所在直線的垂線EF，垂足是D，并量出A點到BC邊的距離． (圖a) (圖b) (圖c) (3)如圖，已知∠AOB及點P，分別畫出點P到射線OA、OB的垂線段PM及PN． (圖a) (圖b) (圖c) (4)如圖，小明從A村到B村去取魚蟲，將魚蟲放到河里，請作出小明經過的最短路線． 27.如圖所示，如果OA⊥OC,O是垂足，OB是一條射線，且∠AOB:∠AOC=2:3,求∠BOC的度數。 28.如圖，MN⊥AB,垂足為M,MC平分∠AMD, ∠BMD=440,求∠CMN的度數。 29.如圖，已知直線AB、CD、EF相交于O，OG⊥AB，且∠FOG=32，∠COE=38，求∠BOD． 30.如圖，AB、CD相交于點O，，，OC平分． ⑴求的度數；⑵求的度數． 課后練習： 1.判斷下列語句是否正確?(正確的畫“√”，錯誤的畫“”) (1)兩條直線相交，若有一組鄰補角相等，則這兩條直線互相垂直． ( )． (2)若兩條直線相交所構成的四個角相等，則這兩條直線互相垂直． ( )． (3)一條直線的垂線只能畫一條． ( )． (4)平面內，過線段AB外一點有且只有一條直線與AB垂直． ( )． (5)度量直線l外一點到直線l的距離． ( )． (6)點到直線的距離，是過這點畫這條直線的垂線，這點與垂足的距離． ( )． (7)畫出點A到直線l的距離． ( )． (8)在三角形ABC中，若∠B=90，則AC＞AB． ( )． 2.若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC=α，則∠AOD等于( )． A.1800-2a B.1800-a C. D.2-90 3.下列說法，錯誤的是 .( ) A.垂線段最短 B.對頂角相等 C.同位角相等 D.一個銳角的補角大于這個銳角 4.直線a上一點A與a外一點B的距離為2，與a外一點C的距離為3，則點B到a的距離d1與點C到直線a的距離d2的關系是 . A.d1< d2 B.d1= d2 C.d1> d2 D.以上都有可能 5.如果∠AOB和∠BOC互補，則∠AOB和∠BOC的角平分線關系是 .( ) A.垂直 B.相交但不垂直 C.重合 D.以上三種情況都有可能 6.點P是直線l,點 A、B、C 為直線l上三點,PA=5cm,PB=4cm,PC=3cm,則點P到直線l的距離( ) A.等于4cm B.等于3cm C.小于3cm D.不大于3cm 7.如圖，直線a、b相交，∠1=120，則∠2＋∠3=（　 ?。? A.60 B.90 C.120 D.180 8.如圖，直線a、b、c兩兩相交，共構成 對對頂角. 9.如圖，直線a，b，c交于O，∠1=30，∠2=50，則∠3=________． 10.如圖，CB⊥AB，∠CBA與∠CBD的度數比是5:1，則∠DBA＝_____度，∠CBD的補角是______度 11.如圖，已知AB、CD相交于點O,OE⊥AB于O,∠EOC=280,則∠AOD= 度。 12.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，點A到BC邊的距離是線段_____的長，點B到CD邊的距離是線段_____的長，圖中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________。 13.已知點O直線AB上一點，OD平分， OE平分，試說明. 證明 ：點O在直線AB上， ( ) OD平分， OE平分， ____，( ) 即. ∴( ). 14.如圖，EOF為一條直線，∠AOB=∠COD=900，OE平分∠COB，∠EOB=15030′，求∠AOF. 15.已知：如圖，三條直線AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF,∠AOE=700，若OG平分∠BOF，求∠DOG． 能力提高： 1.如圖所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a, BC=b,則BD的范圍是( ) A.大于a B.小于b C.大于a或小于b D.大于b且小于a 2.如圖，BC⊥AC，AD⊥CD，AB=m，CD=n，則AC的長的取值范圍是( )． A.AC＜m B.AC＞n C.n≤AC≤m D.n＜AC＜m 3.如圖，AC⊥BC于點C，CD⊥AB于點D，DE⊥BC于點E，能表示點到直線(或線段)的距離的線段有( )條．A.3 B.4 C.7 D.8 4.若直線a與直線b相交于點A，則直線b上到直線a距離等于2cm的點的個數是( )． A.0 B.1 C.2 D.3 5.OC把∠AOB分成兩部分：①∠AOC=直角＋∠BOC;②∠BOC=平角-∠AOC. 問：（1）OA與OB的位置關系怎樣？（2）OC是否為∠AOB的平分線？并寫出判斷的理由。 6.回答下列問題： (1)三條直線AB、CD、EF兩兩相交，圖形中共有幾對對頂角(平角除外)?幾對鄰補角? (2)四條直線AB、CD、EF、GH兩兩相交，圖形中共有幾對對頂角(平角除外)?幾對鄰補角? (3)m條直線a1、a2、a3，……，am－1，am相交于點O，則圖中一共有幾對對頂角(平角除外)?幾對鄰補角? 7.從點O引出四條射線OA、OB、OC、OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，試探索∠AOC與∠BOD的數量關系． 8.一個銳角與一個鈍角互為鄰角，過頂點作公共邊的垂線，若此垂線與銳角的另一邊構成直角，與鈍角的另一邊構成直角，則此銳角與鈍角的和等于直角的多少倍? 第2課 同位角、內錯角、同旁內角 “三線八角” 兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖所示。 （1）同位角：可以發(fā)現∠1與∠5都處于直線的同一側， 直線a,b的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角 還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。 （2）內錯角：可以發(fā)現∠3與∠5都處于直線的兩旁， 直線a,b的兩方，這樣位置的一對角就是內錯角。圖中的內錯角 還有∠4與∠6。 （3）同旁內角：可以發(fā)現∠4與∠5都處于直線的同一側， 直線a,b的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內角。圖中的同旁內角還有∠3與∠6。 平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。 注意： （1）在平行線的定義中，“在同一平面內”是個重要前提； （2）必須是兩條直線； （3）同一平面內兩條直線的位置關系是：相交或平行，兩條互相重合的直線視為同一條直線。 兩條直線的位置關系是以這兩條直線是否在同一平面內以及它們的公共點個數進行分類的。 平行線的表示方法： 平行用“∥”表示，直線AB與直線CD平行，記作AB∥CD，讀作AB 平行于CD。 平行線的畫法：（平移法） 平行線的基本性質： （1）平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。 （2）平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。 (3)行線間的距離，即平行線間的距離處處相等. 例1.如下圖所示，直線DE、BC被直線AB所截，問∠1與∠4，∠2與∠4，∠3與∠4各是什么角？ 例2.如圖，判斷下列角之間的關系： （1）∠1與∠2是兩條直線______與_____被第三條直線_____所截構成的________角。 （2）∠1與∠3是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構成的________角。 （3）∠3與∠4是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構成的________角。 （4）∠5與∠6是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構成的________角。 課堂練習： 1.圖中，∠1和∠2是同位角的是( ) 2.如圖，判斷錯誤的是 （ ） A.∠1和∠7是同旁內角 B.∠3和∠4是同位角 C.∠5和∠6是對頂角 D.∠8和∠1是內錯角 3.如圖，下列說法中錯誤的是( ) A.是同位角 B.是同旁內角 C.是同位角 D.是內錯角 4.如圖，下面結論正確的是（ ） A.是同位角 B.是內錯角 C.是同旁內角 D.是內錯角 5.如圖，圖中同旁內角的對數是（ ） A.2對 B.3對 C.4對 D.5對 6.如圖，能與構成同位角的有（ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 7.如圖，若直線a、b被直線c所截，在所構成的八個角中指出，下列各對角之間是屬于哪種特殊位置關系的角? (1)∠1與∠2是______；(2)∠5與∠7是______； (3)∠1與∠5是______；(4)∠5與∠3是______； (5)∠5與∠4是______；(6)∠8與∠4是______； (7)∠4與∠6是______；(8)∠6與∠3是______； (9)∠3與∠7是______；(10)∠6與∠2是______． 8.如圖：(1)∠D的同位角是 ;(2)∠D的內錯角是 ;(3)∠D的同旁內角是______． 9.已知如圖， 　①∠1與∠2是_______被_______所截成的_______角； ?、凇?與∠3是_______被_______截成的_______角； ?、邸?與∠A是_______被_______截成的_______角； ?、蹵B、AC被BE截成的同位角_______，內錯角_______，同旁內角_______； 　⑤DE、BC被AB截成的同位角是_______，內錯角_______，同旁內角_______． 10.如圖, ∠1和∠2是 角, ∠3和 是內錯角, ∠4和∠5是 角. 11.如圖,∠1的同位角是_______________,∠1的內錯角是_______________,∠1的同旁內角是_______________. 12.如圖,直線截直線所得的同位角有_______________對,它是_______________;內錯角有_______________對,它們是_______________;同旁內角有_______________對,它們是_______________;對頂角有_______________對,它們是_______________. 課后練習： 1.如圖，∠1和∠2是同位角的是 .（ ） 2.如圖，下列結論正確的是( ) (A)∠5與∠2是對頂角 (B)∠1與∠3是同位角 (C)∠2與∠3是同旁內角 (D)∠1與∠2是同旁內角 3.如圖，∠1和∠2是內錯角，可看成是由直線( ) (A)AD、BC被AC所截構成 (B)AB、CD被AC所截構成 (C)AB、CD被AD所截構成 (D)AB、CD被BC所截構成 4.如圖，圖中的內錯角的對數是（ ） A.2對 B.3對 C.4對 D.5對 5.如圖所示， (1)∠B和∠ECD可看成是直線AB、CE被直線______所截得的______角； (2)∠A和∠ACE可看成是直線______、______被直線______所截得的______角． 6.如圖所示， (1)∠AED和∠ABC可看成是直線______、______被直線______所截得的______角； (2)∠EDB和∠DBC可看成是直線______、______被直線______所截得的______角； (3)∠EDC和∠C可看成是直線______、______被直線______所截得的______角． 7.如圖，已知四條直線AB、AC、DE、FG （1）∠1與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. (2) ∠3與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. (3) ∠5與∠6是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. (4) ∠4與∠7是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. (5) ∠8與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角. 8.指出圖中， ① ∠ 2和∠ 5的關系是___________； ② ∠ 3和∠ 5的關系是___________； ③ ∠ 2和____是直線____、______被_____所截，形成的同位角； ④ ∠ 1和∠ 4呢?∠ 3和∠ 4呢?∠ 6和∠ 7是對頂角嗎? 9.如圖，∠BEF的同位角是 ，內錯角是 ，同旁內角是 . 10.如圖，∠1和∠C是直線 和直線 被直線 截成的 . 11.如圖，∠1和∠2是直線 和 被直線 所截成的 . 能力提高： 1.如圖，直線AB、CD與直線EF、GH分別相交，圖中的同旁內角共有( )對． (A)4對 (B)8對 (C)12對 (D)16對 2.如圖,與∠C是同旁內角的有( )個. A.2 B.3 C.4 D.5 3.如果∠1與∠2互為補角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是( ). A.(∠1+∠2) B.∠1 C.(∠1-∠2) D.∠2 第3課 平行線的判定 平行線的判定方法： （1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。 （2）兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。 （3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。 （4）兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。 （5）在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。 例1.已知：如圖，請分別依據所給出的條件，判定相應的哪兩條直線平行?并寫出推理的根據． (1)如果∠2=∠3，那么____________.(____________，____________) (2)如果∠2=∠5，那么____________.(____________，____________) (3)如果∠2+∠1=1800，那么____________.(____________，____________) (4)如果∠5=∠3，那么____________.(____________，____________) (5)如果∠4+∠6=1800，那么____________.(____________，____________) (6)如果∠6=∠3，那么____________.(____________，____________) 例2.如圖，已知：∠1+∠2=1800，∠3=78，求∠4的大小 例3.如圖，已知∠AMF=∠BNG=750，∠CMA=550，求∠MPN的大小。 例4.如圖，∠1與∠3為余角，∠2與∠3的余角互補，∠4=1150，CP平分∠ACM，求∠PCM 例5.如圖，DE，BE 分別為∠BDC，∠DBA的平分線，∠DEB=∠1+∠2。 （1）求證：AB∥CD；（2）求證：∠DEB=900。 課堂練習： 1.已知直線a與直線c的夾角等于直線b與直線c的夾角，則直線a和直線b的位置關系是( ). A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能確定 2.下列與垂直相交的洗法:①平面內,垂直于同一條直線的兩條直線互相平行; ②一條直線如果它與兩條平行線中的一條垂直,那么它與另一條也垂直;③平行內, 一條直線不可能與兩條相交直線都垂直,其中說法錯誤個數有( ) A.3個 B.2個 C.1個 D.0個 3.如圖，要得到a∥b，則需要條件（　?。? A.∠2=∠4 B. ∠1+∠3=180 C.∠1+∠2=180 D. ∠2=∠3 4.如圖，給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，其依據是（　　） A. 同位角相等，兩直線平行 B. 內錯角相等，兩直線平行 C. 同旁內角互補，兩直線平行　　 D. 兩直線平行，同位角相等 5.已知：如圖，請分別根據已知條件進行推理，得出結論，并在括號內注明理由． (1)∵∠B=∠3(已知)，∴______∥______.(______，______) (2)∵∠1=∠D(已知)，∴______∥______.(______，______) (3)∵∠2=∠A(已知)，∴______∥______.(______，______) (4)∵∠B＋∠BCE=180(已知)，∴______∥______.(______，______) 6.已知：如圖，∠1=∠2，求證：AB∥CD． (方法一)分析：如圖，欲證AB∥CD，只要證∠1=______． 證法1： ∵∠1=∠2，(已知) 又∠3=∠2，( ) ∴∠1=______．( ) ∴AB∥CD．( ， ) (方法二)分析：如圖，欲證AB∥CD，只要證∠3=∠4． 證法2： ∴∠4=∠1，∠3=∠2，( ) 又∠1=∠2，(已知) 從而∠3=______．( ) ∴AB∥CD．( ， ) 7.已知：如圖，∠1=∠2，∠3=110，求∠4的度數． 解題思路分析：欲求∠4，需先證明______//______. 解：∵∠1＝∠2，( ) ∴______//______.( ， ) ∴∠4＝______＝______.( ， ) 8.如圖，當∠1=∠_____時，AB∥CD；當∠D＋∠_____=180時，AB∥CD；當∠B=∠_____時，AB∥CD。 9.已知：如圖，。求證：。 證明：（ ） （ ） （ ） （ ） 10.如圖,AB⊥BD,CD⊥MN,垂足分別是B、D點,∠FDC=∠EBA. (1)判斷CD與AB的位置關系;(2)BE與DE平行嗎?為什么? 11.如圖,∠1+∠2=180,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF. (1)AE與FC會平行嗎?說明理由. (2)AD與BC的位置關系如何?為什么? (3)BC平分∠DBE嗎?為什么. 課后練習： 1. 已知：如圖，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，試確定射線DF與AE的位置關系，并說明你的理由． (1)問題的結論：DF______AE． (2)證明思路分析：欲證DF______AE，只要證∠3＝______． (3)證明過程： 證明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，( ) ∴∠CDA＝∠DAB＝______．(垂直定義) 又∠1＝∠2，( ) 從而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性質) 即∠3＝______. ∴DF______AE．(___________，___________) 2.已知：如圖，∠ABC=∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3．求證：AB∥DC． 證明∵∠ABC=∠ADC， ∴( ) 又∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC， ∴( ) ∵∠______＝∠______.( ) ∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝______．(等量代換) ∴______∥______.( ) 3.已知：如圖，∠1=∠2，∠3+∠4=180，試確定直線a與直線c的位置關系，并說明你的理由． (1)問題的結論：a______c． (2)證明思路分析：欲證a______c，只要證______∥______． (3)證明過程： 證明：∵∠1=∠2，( ) ∴a∥______，(_________，_________)① ∵∠3＋∠4=180 ∴c∥______，(_________，_________)② 由①、②，因為a∥______，c∥______， ∴a______c.(_________，_________) 4.如圖，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G, ∠1=∠2,試問ED∥BC嗎？說說你的理由。 5.如圖，CD∥AB,∠DCB=700，∠CBF=200，∠EFB=1300，問直線EF與CD有怎樣的位置關系，為什么？ 6.如圖，已知∠1+∠2=1800，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關系，并對結論進行說理． 能力提高： 1.將一副三角板如圖放置，使點A在DE上，BC∥DE，則∠AFC的度數為（ 　?。? A.45 B.50 C.60 D.75 2.學習了平行線后，小敏想出了過己知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖（1）～（4）），從圖中可知，小敏畫平行線的依據有（　 ?。? ①兩直線平行，同位角相等； ②兩直線平行，內錯角相等； ③同位角相等，兩直線平行； ④內錯角相等，兩直線平行。 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3.如圖，∠ADC=∠ABC， ∠1＋∠2=180，AD為∠FDB的平分線，說明：BC為∠DBE的平分線。 4.已知：如圖，∠1=∠2,∠3=∠B,AC∥DE,，且B、C、D在一條直線上。求證：AE∥BD. 5.已知：如圖，∠E=∠F,∠1=∠2.求證：∠BAP+∠APD=1800. 6.已知：如圖，。求證： 7.如圖，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=400，∠D=300，求∠NMP的度數。 第4課 平行線的性質 平行線的性質： （1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡記：兩直線平行，同位角相等。 （2）兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡記：兩直線平行，內錯角相等。 （3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡記：兩直線平行，同旁內角互補。 例1.已知：如圖，請分別根據已知條件進行推理，得出結論，并在括號內注明理由． (1)如果AB∥EF，那么∠2=______，理由是_____________________________________. (2)如果AB∥DC，那么∠3=______，理由是____________________________________. (3)如果AF∥BE，那么∠1+∠2=______，理由是_______________________________. (4)如果AF∥BE，∠4=120，那么∠5=______，理由是________________________. 例2.已知：如圖，DE∥AB．請根據已知條件進行推理，分別得出結論，并在括號內注明理由． (1)∵DE∥AB，( ) ∴∠2=______.( ， ) (2)∵DE∥AB，( ) ∴∠3=______.( ， ) (3)∵DE∥AB( )， ∴∠1＋______=180．( ， ) 例3.如圖所示，AB//CD，A=1350，E=800。求CDE的度數。 例4.如圖，已知：∠BAP與∠APD 互補，∠1=∠2，說明：∠E=∠F. 例5.如圖，已知AB∥CD，P為HD上任意一點，過P點的直線交HF于O點，試問：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎樣的關系？用式子表示并證明。 例6.如圖，已知AB∥CD，說明：∠B＋∠BED＋∠D=360. 例7.已知：如圖，E、F分別是AB和CD上的點，DE、AF分別交BC于G、H,A=D,1=2, 求證：B=C。 課堂練習： 1.下列語句:①三條直線只有兩個交點,則其中兩條直線互相平行; ②如果兩條平行線被第三條截,同旁內角相等,那么這兩條平行線都與第三條直線垂直; ③過一點有且只有一條直線與已知直線平行, 其中( ) A.①、②是正確的命題 B.②、③是正確命題 C.①、③是正確命題 D.以上結論皆錯 2.如圖,如果AB∥CD,那么圖中相等的內錯角是( ) A.∠1與∠5,∠2與∠6 B.∠3與∠7,∠4與∠8 C.∠5與∠1,∠4與∠8 D.∠2與∠6,∠7與∠3 3.如圖，AB∥ED，則∠A+∠C+∠D=（　?。? A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 4.如圖，AB∥CD，則結論：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠1+∠3=∠2+∠4中正確的是（ ） A.只有（1） B.只有（2） C.（1）和（2） C.（1）（2）（3） 5.如圖，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，則圖中與∠1相等的角（不包括∠1）的個數是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 6.如圖，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=1100，則∠ECD的度數為（ ） A.110 B.70 C.55 D.35 7.如圖，如果DE∥BC，那么圖中互補的角的對數是（ ） A. 2對 B. 3對 C. 4對 D. 5對 8.如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少300，那么這兩個角是（ ） A.420,1380 B. 都是100 C.420,1380 或420,100 D.以上都不對 9.已知：如圖，∠1+∠2=180，求證：∠3=∠4． 證明思路分析：欲證∠3=∠4，只要證______//______. 證明：∵∠1＋∠2=180，( ) ∴______//______.( ， ) ∴∠3=∠4．( ， ) 10.已知：如圖，∠A=∠C，求證：∠B=∠D． 證明思路分析：欲證∠B=∠D，只要證______//______. 證明：∵∠A=∠C，( ) ∴______//______.( ， ) ∴∠B＝∠D．( ， ) 11.已知：如圖，AB∥CD，∠1=∠B，求證：CD是∠BCE的平分線． 證明思路分析：欲證CD是∠BCE的平分線，只要證______//______. 證明：∵AB∥CD，( ) ∴∠2=______.( ， ) 但∠1=∠B，( ) ∴______=______.(等量代換) 即CD是_______________________. 12.已知：如圖，AB∥CD，∠B＝35，∠1＝75，求∠A的度數． 解題思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大?。? 解：∵CD∥AB，∠B=35，( ) ∴∠2＝∠______=______( ， ) 而∠1＝75， ∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______。 ∵CD∥AB，( ) ∴∠A＋______＝180．( ， ) ∴∠A＝______=______. 13.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B=50．求∠D的度數． 分析：可利用∠DCE作為中間量過渡． 解：∵AB∥CD，∠B=50，( ) ∴∠DCE=∠______=______(_________，_________) 又∵AD∥BC，( ) ∴∠D＝∠______=______(_________，_________) 想一想：如果以∠A作為中間量，如何求解? 解法2：∵AD∥BC，∠B=50，( ) ∴∠A＋∠B=______.(_________，_________) 即∠A＝______-______=______-______=______. ∵DC∥AB，( ) ∴∠D＋∠A=______.(_________，_________) 即∠D＝______-______=______-______=______. 14.已知：如圖，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數． 解：過P點作PM∥AB交AC于點M． ∵AB∥CD，( ) ∴∠BAC＋∠______=180( ) ∵PM∥AB， ∴∠1=∠______，( ) 且PM∥______。(平行于同一直線的兩直線也互相平行) ∴∠3=∠______。(兩直線平行，內錯角相等) ∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，( ) ( ) ( ) ∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90( ) 總結：兩直線平行時，同旁內角的角平分線______。 15.如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，你能發(fā)現BE和CF有怎樣的位置關系么？并證明你的結論。 16.如圖：（1）若AE平分∠CAD，AE∥BC，則∠B=∠C。（2）若∠B=∠C，AE∥BC，則AE平分∠CAD。 17.求證：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角的平分線互相平行． 課后練習： 1.如圖，AD∥BC，∠1=600，∠2=500，則∠A=（ ），∠CBD=（ ），∠ADB=（ ）， ∠A＋∠ADB＋∠2=（ ） 2.如圖，AB∥CD，直線l平分∠AOE，∠1=40，則∠2=________ 3.如圖，a∥b，AB⊥a垂足為O，BC與b相交于點E，若∠1=43，則∠2= 4.如圖,直線a、b被C所截,a⊥L于M,b⊥L于N,∠1=66,則∠2=_______ 5.在同一平面內有三條直線a、b、c，已知a∥b，且c⊥a，則b與c的位置關系是 。 6.如圖，由A測B的方向是 ，由B測A的方向是 7.某人在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛方向與原來相同，這兩次拐彎的角度可能是( ) A.第一次左拐30，第二次右拐30 B.第一次右拐50，第二次左拐130 C.第一次右拐50，第二次右拐130 D.第一次向左拐50，第二次向左拐130 8.如圖，∵∠1=∠2∴ ∥ （ ） ∴∠D= （ ） 又∵∠D=∠3（已知） ∴∠ =∠ （ ） ∴ ∥ （ ） 9.如圖所示，已知∠AOB=50，PC∥OB，PD平分∠OPC，則∠APC=___，∠PDO=______ 10.如圖,MN⊥AB,垂足為M點,MN交CD于N,過M點作MG⊥CD,垂足為G,EF 過點N點,且EF∥AB,交MG于H點,其中線段GM的長度是________到________的距離, 線段MN的長度是________到________的距離,又是_______的距離,點N到直線MG 的距離是___. 11.如圖,AD∥BC,EF∥BC,BD平分∠ABC,圖中與∠ADO相等的角有_______ 個,分別是___________. 12.已知：如圖，已知DE∥BC，∠D:∠DBC=2:1，∠1:∠2，求∠E的度數． 13.小張從家（圖中A處）出發(fā)，向南偏東40方向走到學校（圖中B處），再從學校出發(fā)，向北偏西75的方向走到小明家（圖中C處），試問∠ABC為多少度？說明你的理由。 14.如圖，AB∥CD，∠ABE=∠FCD，∠F=40，求∠E的度數。 15.已知，∠DBF：∠ABF：∠BFC=1：2：3，AB∥CD，說明：BA平分∠EBF. 能力提高： 1.如圖，AB∥CD，∠E=40，∠C=65，則∠EAB的度數為（ ） A．65 B．75