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課時提升作業(yè)(三)
四種命題間的相互關系
(30分鐘 50分)
一、選擇題(每小題3分,共18分)
1.(2014杭州高二檢測)命題“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等價命題是( )
A.如果x
1,是真命題.
命題③是假命題.因此其逆否命題也是假命題.
故真命題為①②.
答案:①②
8.在空間中,①若四點不共面,則這四點中任何三點都不共線;②若兩條直線沒有公共點,則這兩條直線是異面直線.以上兩個命題中,逆命題為真命題的是 _________.
【解析】①中的逆命題是:若四點中任何三點都不共線,則這四點不共面.
我們用正方體AC1做模型來觀察:上底面A1B1C1D1的頂點中任何三點都不共線,但A1,B1,C1,D1四點共面,所以①的逆命題不是真命題.
②中的逆命題是:若兩條直線是異面直線,則兩條直線沒有公共點.
由異面直線的定義可知,成異面直線的兩條直線不會有公共點,
所以②的逆命題為真命題.
答案:②
【舉一反三】本題的兩個命題中逆否命題為假命題的是 .
【解析】命題②為假命題,因此它的逆否命題為假命題.
答案:②
9.命題“已知不共線向量e1,e2,若λe1+μe2=0,則λ=μ=0”的等價命題為 ,是 命題(填真、假).
【解題指南】求原命題的等價命題即為原命題的逆否命題,只需把原命題的條件與結論既交換又否定即可.
【解析】命題“已知不共線向量e1,e2,若λe1+μe2=0,則λ=μ=0”的等價命題為“已知不共線向量e1,e2,若λ,μ不全為0,則λe1+μe2≠0”,是真命題.
答案:已知不共線向量e1,e2,若λ,μ不全為0,則λe1+μe2≠0 真
三、解答題(每小題10分,共20分)
10.(2014周口高二檢測)寫出下面命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假.m>14時,mx2-x+1=0無實根.
【解析】將原命題改寫成“若p,則q”的形式為“若m>14,則mx2-x+1=0無實根”.
逆命題:“若mx2-x+1=0無實根,則m>14”,是真命題;
否命題:“若m≤14,則mx2-x+1=0有實根”,是真命題;
逆否命題:“若mx2-x+1=0有實根,則m≤14”,是真命題.
11.(2014大連高二檢測)已知命題p:方程x2+mx+1=0有實數根;
命題q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無實數根,
若命題p,q中有且僅有一個為真命題,求實數m的取值范圍.
【解題指南】解答本題可先根據命題p,q為真命題分別求出m的取值范圍,然后分p真q假與p假q真兩種情況分別求m的取值范圍.
【解析】方程x2+mx+1=0有實數根,
所以Δ1=m2-4≥0,
所以p:m≥2或m≤-2;
方程4x2+4(m-2)x+1=0無實數根,
所以Δ2=16(m-2)2-16<0,
所以q:12,則不等式x2-2x+m>0的解集為R”.其中真命題的個數為( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
【解析】選C.對①,逆命題正確.對②,否命題為:若一個四邊形不是正方形,則這個四邊形不是菱形,故不正確.對于③,Δ=4-4m,當m>2時,Δ<0,所以二次函數f(x)=x2-2x+m開口向上,與x軸無交點,所以x2-2x+m>0的解集為R,正確.
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.(2014新鄉(xiāng)高二檢測)給定下列命題:
①若k>0,則方程x2+2x-k=0有實數根;
②“若a>b,則a+c>b+c”的否命題;
③“菱形的對角線垂直”的逆命題.
其中真命題的序號是 .
【解析】①因為Δ=4-4(-k)=4+4k>0,
所以是真命題.
②否命題:“若a≤b,則a+c≤b+c”是真命題.
③逆命題:“對角線垂直的四邊形是菱形”是假命題.
答案:①②
6.設有兩個命題:
①關于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;
②函數f(x)=logmx是減函數(m>0且m≠1).
如果這兩個命題中有且只有一個真命題,則m的取值范圍是 .
【解析】若①真,②假,則m≥0,m>1,故m>1.
若①假,②真,則m<0,01.
答案:m>1
【舉一反三】本題中若兩命題均為真命題,則m的取值范圍是 .
【解析】若①②均真,則m≥0,0b>a,而它的逆否命題也為真.
即“甲不是最小,則乙最大”,為真,
即b>a>c,同理由命題q為真可得:a>c>b或b>a>c,
又命題p與q均為真,可得b>a>c.
故甲、乙、丙三人的年齡大小順序是:乙大,甲次之,丙最小.
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