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第三章,,中值定理,應(yīng)用,研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài),利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三節(jié)),,,微分中值定理,與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,,一、羅爾( Rolle )定理,第一節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,,,中值定理,第三章,費馬(fermat)引理,,一、羅爾( Rolle )定理,且,存在,,,證: 設(shè),則,,,,費馬 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證畢,羅爾（ Rolle ）定理,滿足:,(1) 在區(qū)間 [a , b] 上連續(xù),(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo),(3) f ( a ) = f ( b ),使,,證:,故在[ a , b ]上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 則,因此,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個與端點值不等,,不妨設(shè),則至少存在一點,使,注意:,1) 定理條件不全具備, 結(jié)論不一定成立.,例如,,則由費馬引理得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,使,2) 定理條件只是充分的.,,本定理可推廣為,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且,在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點,證明提示: 設(shè),證 F(x) 在 [a , b] 上滿足羅爾定理 .,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 證明方程,有且僅有一個小于1 的,正實根 .,證: 1) 存在性 .,則,在 [0 , 1 ] 連續(xù) ,,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假設(shè)另有,為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,,至少存在一點,但,矛盾,,故假設(shè)不真!,設(shè),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、拉格朗日中值定理,,(1) 在區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù),滿足:,(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),至少存在一點,使,,,,,思路: 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù),作輔助函數(shù),顯然 ,,在 [ a , b ] 上連續(xù) ,,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),,且,,,證:,問題轉(zhuǎn)化為證,,,,,由羅爾定理知至少存在一點,即定理結(jié)論成立 .,拉氏 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證畢,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推論:,若函數(shù),在區(qū)間 I 上滿足,則,在 I 上必為常數(shù).,證: 在 I 上任取兩點,日中值公式 , 得,由 的任意性知,,在 I 上為常數(shù) .,令,則,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 證明等式,證: 設(shè),由推論可知,(常數(shù)),令 x = 0 , 得,又,故所證等式在定義域 上成立.,自證:,經(jīng)驗:,欲證,時,只需證在 I 上,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 證明不等式,證: 設(shè),中值定理條件,,即,因為,故,因此應(yīng)有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、柯西(Cauchy)中值定理,,分析:,及,(1) 在閉區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù),(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi),至少存在一點,使,滿足 :,要證,,,柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證: 作輔助函數(shù),且,使,即,由羅爾定理知, 至少存在一點,思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?,兩個 ? 不 一定相同,錯!,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,上面兩式相比即得結(jié)論.,柯西定理的幾何意義:,注意:,,,,,,,,,,弦的斜率,,切線斜率,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 設(shè),至少存在一點,使,證: 結(jié)論可變形為,設(shè),則,在 [0, 1] 上滿足柯西中值,定理條件,,因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點 ? ,,使,,,即,證明,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 試證至少存在一點,使,證:,,法1 用柯西中值定理 .,則 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上滿足柯西中值定理條件,,令,因此,,,,,即,,分析:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 試證至少存在一點,使,法2 令,則 f (x) 在 [ 1 , e ] 上滿足羅爾中值定理條件,,使,因此存在,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,,,,2. 微分中值定理的應(yīng)用,(1) 證明恒等式,(2) 證明不等式,(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,關(guān)鍵: 利用逆向思維 設(shè)輔助函數(shù),費馬引理,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,思考與練習(xí),1. 填空題,1) 函數(shù),在區(qū)間 [1, 2] 上滿足拉格朗日定理,條件, 則中值,2) 設(shè),有,,個根 , 它們分別在區(qū)間,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,上.,方程,2. 設(shè),且在,內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存,在一點,使,提示:,由結(jié)論可知, 只需證,即,驗證,在,上滿足羅爾定理條件.,設(shè),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 若,可導(dǎo), 試證在其兩個零點間一定有,的零點.,提示:,設(shè),欲證:,使,只要證,亦即,作輔助函數(shù),驗證,在,上滿足,羅爾定理條件.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 思考: 在,即,當(dāng),時,問是否可由此得出,不能 !,因為,是依賴于 x 的一個特殊的函數(shù).,因此由上式得,表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .,應(yīng)用拉格朗日中值定理得,上對函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15,提示:,題15.,題14. 考慮,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,費馬(1601 – 1665),法國數(shù)學(xué)家,,他是一位律師,,數(shù)學(xué),只是他的業(yè)余愛好.,他興趣廣泛,,博,覽群書并善于思考,,在數(shù)學(xué)上有許多,重大貢獻.,他特別愛好數(shù)論,,他提出,的費馬大定理:,至今尚未得到普遍的證明.,他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中,提煉出來的.,,拉格朗日 (1736 – 1813),法國數(shù)學(xué)家.,他在方程論, 解析函數(shù)論,,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,,近百,余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,,他是對分析數(shù)學(xué),產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.,,柯西(1789 – 1857),,法國數(shù)學(xué)家,,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中,在微積分學(xué),,《柯,西全集》共有 27 卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué),校編寫的《分析教程》,,《無窮小分析概論》, 《微積,分在幾何上的應(yīng)用》 等,,有思想有創(chuàng)建,,響廣泛而深遠 .,對數(shù)學(xué)的影,他是經(jīng)典分析的奠人之一,,他為微積分,所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.,復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 .,一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 ,,備用題,求證存在,使,1. 設(shè),可導(dǎo)，且,在,連續(xù)，,證：,因此至少存在,顯然,在 上滿足羅爾定理條件,,即,設(shè)輔助函數(shù),使得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),證明對任意,有,證：,2.,不妨設(shè),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,