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2019-2020年高三“臨門一腳”數(shù)學(xué)（理）試題 含答案 吳華棠、湯斌 、左克虎、 黃京城 統(tǒng)稿人：吳華棠 xx.5. 本試卷共4頁，21小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。 參考公式：一組數(shù)據(jù)的方差： 第Ⅰ卷 選擇題（共40分） 1． 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 設(shè)表示復(fù)數(shù)集，，則集合的子集個(gè)數(shù)是 A． 　　　　　　　 B．　　　　　 　C．　　　　　　　　D． 2. 已知雙曲線的中心在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，實(shí)軸長為，一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線的方程是 A． 　　　B．　　　　C．　　　D． 3. 已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件：，設(shè)，則 A．有最大值　　　　B．最大值　 　 C．最小值　　　　　　D．最小值 4. 如圖空間四邊形中，，，，且，則 A． 　　　　　 　 B．3　　　　　 C．　　　　　　　D． 5.某單位有名職工, 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法, 抽取42人做問卷調(diào)查, 將840人按1, 2,...... , 840隨機(jī)編號(hào), 則抽取的42人中, 編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481, 720]的人數(shù)為 A．11 B．12 C．13 D．14 6.已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖像不可能是 A. B．　　　　　　　　　　　C. D. 7. 已知棱長為1的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱、上，且(），設(shè)平面平面，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 A．平面 　　　　　　　　B． C．存在，使平面與平面垂直 D．當(dāng)變化時(shí)，是定直線 8. 如圖一個(gè)倒三角形數(shù)表： 它的排列規(guī)則是：第行的 第個(gè)數(shù)， 現(xiàn)設(shè)，其中，若，則 A．　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　D． 第Ⅱ卷 非選擇題（共110分） 2、 填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分． （一）必做題（9－13題） 9. 不等式的解集是____________________． 10.函數(shù)有大于的極值點(diǎn)，則的取值范圍是_____________． 11.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，，且，則公比． 12.在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng)，將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有________種(用數(shù)字作答)． 13.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度BC約等于 ． （用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位。參考數(shù)據(jù)：，，，，） （二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題。） 14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線（為參數(shù)）與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是________. 15.（幾何證明選講選做題）如圖，圓的半徑為是圓周上的三點(diǎn)，，過點(diǎn)做圓的切線與的延長線交于點(diǎn)，則． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，且． (1) 求的值； (2）若，求的最大值． 17.(本小題滿分12分)A,B兩名學(xué)生在5次英語口語測試中的成績統(tǒng)計(jì)如莖葉圖所示（十位作為莖)． （1) 現(xiàn)要從中選派一人參加英語口語競賽，從兩位同學(xué)的平均分 和方差分析，選派誰參加更合適？說明理由. （2) 若將頻率視為概率,對(1)中選派的學(xué)生在今后的三次英語口語競賽成績進(jìn)行預(yù)測，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為，求的概率. P O A B C D 第18題圖 18.（本小題滿分14分）如圖，在圓錐中，已知，的直徑，AB上的點(diǎn)C平分該?。? （1）證明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 19.在數(shù)列中，已知. （1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，，求的值． 20. （本小題滿分14分）如圖，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是定直線上的動(dòng)點(diǎn)，∠的角平分線交于． （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）若（1）中軌跡上 是否存在一點(diǎn)，直線與, 使得∠是直角？如果存在，求點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。 21.已知函數(shù) (1)若 求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程； (2)討論函數(shù)的單調(diào)性； (3)是否存在實(shí)數(shù)使在上恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a；若不存在，請說明理由． xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷.模擬３) 理科數(shù)學(xué)答案 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C B C C A 二、填空題： 9. 10. 11. 12.60 13. 60 14. 15. 三、解答題 16.解：(1)在中，，....................................1分 .............................................3分 ............................................................4分 ...................................................6分 (2） 由余弦定理....................................7分 及 得.......................................................8分 由..........................................................9分 ...........................................11分 當(dāng)時(shí)，的最大值為..........................................12分 17.解：(1）.................................1分 ..........................................2分 ，..................................3分 ....................................4分 因，所以選派A去更合適。..................................6分 (2） A高于80分的頻率是，從而每次成績高于80分的概率...............7分 可取值，由題知.........................................9分 .............................11分 所以的概率是.....................................................12分 18.解法一：(1)連結(jié)OD，因?yàn)镺A＝OC，D是AC的中點(diǎn)， AC⊥OD. ............................................................................................................................1分 又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，AC⊥PO. ..................................................................2分 OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線， AC⊥平面POD，.................................................................................................................3分 又AC?平面PAC， 平面POD⊥平面PAC. .......................................................................................4分 (2)在平面POD中，過O作OH⊥PD于H， 由(1)知，平面POD⊥平面PAC，所以O(shè)H⊥平面PAC......................................................6分 又PA?面PAC，所以PA⊥OH． 在平面PAO中，過O作OG⊥PA于G，連結(jié)HG，則有PA⊥平面OGH． 從而PA⊥HG，.......................................................................................................................8分 故∠OGH為二面角B－PA－C的平面角.............................................................................9分 在Rt△ODA中，. 在Rt△POD中，． 在Rt△POA中，............................................11分 在Rt△OHG中，．...................................12分 cos∠OGH＝＝. .....................................................13分 二面角B－PA－C的余弦值為. .......................................14分 解法二：(1)同解法一 (1) ． (2) 如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB， OP所在直線分別為x軸， z軸，過 O與AB垂直的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系． ------------------------------------------------------------------------------5分 則O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0, 1,0)，P(0,0，)，D. ---------6分 設(shè)m＝(x，y，z)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由m＝0，m＝0，得 取，得m＝． ---------8分 因?yàn)閥軸⊥平面PAB，所以平面PAB的一個(gè)法向量為n＝(0,1,0)．------10分 設(shè)向量n2和n3的夾角為θ，則cosθ＝＝， ---------13分 又二面角B－PA－C為銳二面角， 故二面角B－PA－C的余弦值為. ---------14分 由，得........................1分 即...................................................3分 ，所以是以1為首項(xiàng)公差為1的等差數(shù)列，............4分 ，...................................................5分 又，，即(）................6分 解法2：數(shù)學(xué)歸納法(略) (2） 由(1）當(dāng) ..........................................................................7分 ..........................................................................8分 .........................................................................10分 且 .........................................................................11分 而 所以.........................................................13分 ..................................................................14分 20.解：（1）設(shè)，直線和的方程分別為 ，直線的方程為：。 設(shè)，則，到直線和的距離相等。 ∴ ，① .......................................................………2分 又在直線上，所以： ，即，代入①得： ，整理得：…….................................…4分 若y≠0，則； .......................................………5分 若y＝0，則b=0，∠AOB＝π，點(diǎn)C為(0，0)，滿足上式．..............................…6分 綜上，點(diǎn)C的軌跡方程為：。…..............................................…….7分 （2設(shè)點(diǎn)，則直線的方程分別為： 令得，∴.............……….9分 ∴直線的斜率分別為： 若∠是直角，則 整理得 ③ ............................………..…11分 ∵，∴， ∴ ， ∴③式無解，從而∠不可能是直角，（1）中軌跡上不存在點(diǎn)滿足題設(shè) ． ………………...................................…………………………14分 21.解：(1)因?yàn)?，所? .....................................................…1分 ..........................................................................................................................…2分 又故函數(shù)在點(diǎn)A處的切線方程為即................…3分 (2) 且 .................................................................................................................................................…4分 ①當(dāng)時(shí)，則則在R上為增函數(shù)....................…5分 ②當(dāng)時(shí)，令解得 在或時(shí)， 在時(shí)，..............................................................................................................................…6分 ③當(dāng)時(shí)， 在或時(shí)， 在時(shí)，...........................................................................................................................…7分 綜上所述：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為R，無減區(qū)間； 當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和減區(qū)間為 當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為減區(qū)間為和...................................................................................................................…8分 (3)在上恒成立，即.................................................…9分 當(dāng)時(shí)， 由(2)知在上單減，在上單增 所以當(dāng)時(shí)，...........................…10分 ，即.............................................…11分 令 設(shè). 則所以在上單調(diào)遞減，..............................12分 于是即這與矛盾，...................13分 因此，符合條件的實(shí)數(shù)a不存在..........................................................................................14分