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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 理 含解析（含解析）新人教A版 【試卷綜析】這套試題基本符合高考復(fù)習(xí)的特點(diǎn),穩(wěn)中有變,變中求新,適當(dāng)調(diào)整了試卷難度,體現(xiàn)了穩(wěn)中求進(jìn)的精神.,重視學(xué)科基礎(chǔ)知識和基本技能的考察,同時側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察,有相當(dāng)一部分的題目靈活新穎,知識點(diǎn)綜合與遷移.以它的知識性、思 辨性、靈活性,基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì),考基礎(chǔ),考方法,考潛能的檢測功能. 一. 選擇題: 本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】1. 已知復(fù)數(shù)滿足, 則=( ) A. 　 　B. 　 　C. 　　 D. 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．L4 【答案解析】A 解析：由，得． 故選：A． 【思路點(diǎn)撥】把已知的等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求值． 【題文】2. 設(shè), , , 則（ ） A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較．B7 【答案解析】A 解析：∵a=30.5＞1，0＜b=log32＜1，c=log0.53＜0， ∴三個數(shù)字的大小根據(jù)三個數(shù)字的范圍得到c＜b＜a，故選A． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到三個數(shù)字與0，1之間的大小關(guān)系，利用兩個中間數(shù)字得到結(jié)果． 【題文】3. 函數(shù)() 的值域是（ ） A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域．菁優(yōu)B6 【答案解析】C 解析：∵函數(shù)v==， 當(dāng)0≤x＜3時，﹣3＜﹣（x﹣1）2+1≤1，∴e﹣3＜≤e1，即e﹣3＜v≤e； ∴函數(shù)v的值域是（e﹣3，e]．故選：C． 【思路點(diǎn)撥】先求出時﹣x2+2x的取值范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出值域. 【題文】4. 把的圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的三倍，再向右移動一個單位，得到的函數(shù)解析式是（ ） A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．B9 【答案解析】C 解析：把y=ln（x+1）的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的三倍，得到函數(shù)y=ln（），再向右移動一個單位，得到y(tǒng)=ln（）=ln，故選：C 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系即可得到結(jié)論． 【題文】5. 函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【知識點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．菁B9 【答案解析】A 解析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且函數(shù)f（x）單調(diào)遞增， ∵f（1）=2ln1+2﹣5=﹣3＜0，f（3）=2ln3+1＞0， ∴在（1，3）內(nèi)函數(shù)存在唯一的一個零點(diǎn)， 故函數(shù)f（x）=2lnx+2x﹣5的零點(diǎn)個數(shù)為1個，故選：A 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件即可得到結(jié)論． 【題文】6．若定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)滿足, , 對任意恒成立, 則（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．B4 【答案解析】D 解析：∵f（x）＞0，f（x+2）=，∴f（x+4）==f（x）， ∴函數(shù)f（x）的周期是4．∴f（xx）=f（5044﹣1）=f（﹣1）， ∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣1）=f（1）， 當(dāng)x=﹣1時，f（﹣1+2）=f（1）==， ∴f2（1）=1，即f（1）=1，∴f（xx）=f（1）=1．故選：D． 【思路點(diǎn)撥】由f（x）＞0，f（x+2）=，對可得函數(shù)的周期是4，然后利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可求值． 【題文】7. 若某程序框圖如右圖所示, 當(dāng)輸入50時, 則該程序運(yùn)算后輸出的結(jié)果是( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【知識點(diǎn)】程序框圖．L1 【答案解析】B 解析：由程序框圖知， n=50，S=0，i=1 S=1，i=2，S＜n，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)； S=4，i=3，S＜n，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)； S=11，i=4，S＜n，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)； S=26，i=5，S＜n，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)； S=57，i=6，此時S＞n，退出循環(huán)，輸出i的值為6； 故答案為：B． 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閚=50，由程序框圖寫出每次循環(huán)S，i的值，判斷當(dāng)S≥n時，退出循環(huán)，即可求得輸出i的值． 【題文】8. 如圖所示, 醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個圓柱的組合體. 開始輸液時, 滴管內(nèi)勻速滴下液體(滴管內(nèi)液體忽略不計), 設(shè)輸液開始后分鐘, 瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為厘米, 已知當(dāng)時, . 如果瓶內(nèi)的藥液恰好156分鐘滴完. 則函數(shù)的圖像為（ ） A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．B10 【答案解析】A 解析：由題意知，每分鐘滴下πcm3藥液， 當(dāng)4≤h≤13時，xπ=π?42?（13﹣h），即h=13﹣，此時0≤x≤144； 當(dāng)1≤h＜4時，xπ=π?42?9+π?22?（4﹣h），即，此時144＜x≤156． ∴函數(shù)單調(diào)遞減，且144＜x≤156時，遞減速度變快． 故選：A． 【思路點(diǎn)撥】每分鐘滴下πcm3藥液，當(dāng)液面高度離進(jìn)氣管4至13cm時，x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的底面積乘以（13﹣h），當(dāng)液面高度離進(jìn)氣管1至4cm時，x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的體積與小圓柱底面積乘以（4﹣h）的和，由此即可得到瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為h與輸液時間x的函數(shù)關(guān)系． 【題文】9. 函數(shù), 若關(guān)于的方程有五個不同的實(shí)數(shù)解, 則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷；分段函數(shù)的應(yīng)用．B9 B10 【答案解析】A 解析：由方程2f2（x）﹣（2a+5）f（x）+5a=0解得， f（x）=或f（x）=a， 則x=1時，方程2f2（x）﹣（2a+5）f（x）+5a=0的一個解， 則2|x﹣1|=﹣1與2|x﹣1|=a﹣1還要在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上有四個不同的解， 則a﹣1=2|x﹣1|＞1且a﹣1≠﹣1，即a＞2且a．故選A． 【思路點(diǎn)撥】先化簡方程，從而簡化問題，轉(zhuǎn)化為2|x﹣1|=﹣1與2|x﹣1|=a﹣1在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上有四個不同的解． 【題文】10. 若定義域在的函數(shù)滿足： ① 對于任意，當(dāng)時，都有; ②; ③; ④, 則（ ） A. B． C． D． 【知識點(diǎn)】函數(shù)的值．B1 【答案解析】B 解析：∵f（1﹣x）+f（x）=﹣1，令x=0； ∴f（1）+f（0）=﹣1，又∵f（0）=0；∴f（1）=﹣1； 令x=可得，2f（）=﹣1，∴f（）=﹣； 在f（x）中令x=1，則f（）=f（1）=﹣， 又∵對于任意x1，x2∈[0，1]，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）≥f（x2）； ∴在[，]上，f（x）≡﹣． f（）=?f（）=f（） =（）3?f（）=（）4?f（）， =﹣．故=﹣﹣=﹣；故選B． 【思路點(diǎn)撥】由題意給出的四個性質(zhì)可推出在[，]上，f（x）≡﹣；從而求出的值． 二. 填空題: 本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上。 【題文】11. 設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集, , , 則＝____. 【知識點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．A1 【答案解析】{x|1＜x≤2} 解析：由M中不等式解得：x＜﹣2或x＞2，即M={x|x＜﹣2或x＞2}，∴?RM={x|﹣2≤x≤2}， 由N中不等式變形得：≥0，即≤0，解得：1＜x≤3，即N={x|1＜x≤3}， 則（?RM）∩N={x|1＜x≤2}．故答案為：{x|1＜x≤2} 【思路點(diǎn)撥】求出M中不等式的解集確定出M，求出N中不等式的解集確定出N，找出M補(bǔ)集與N的交集即可． 【題文】12. 已知函數(shù), 則的值為__________. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的值．B1 【答案解析】 解析：∵函數(shù)f（x）=， ∴f（2）=f（3）=f（4）==． 故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解． 【題文】13. 若函數(shù)(為常數(shù))在區(qū)間上是減函數(shù), 則的取值范圍是______. 【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．B3 【答案解析】 解析：設(shè)，則函數(shù) 在定義域上單調(diào)遞減，要使f（x）在區(qū)間（2，4）上是減函數(shù)，則設(shè)在（2，4）上為增函數(shù)． 因?yàn)?=a+， 所以要使函數(shù)t=a+，在（2，4）上為增函數(shù)，則a﹣2＜0，即a＜2， 要使函數(shù)有意義，則t＞0，則t=a+＞0在（2，4）成立， 所以只要當(dāng)x=2時，==2a﹣2≥0，即可，解得a≥1， 綜上1≤a＜2，故a的取值范圍是[1，2）．故答案為：[1，2）． 【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解． 考生注意：14, 15, 16三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分. 【題文】14. 如圖, 為外一點(diǎn), 過點(diǎn)作的兩條切線, 切點(diǎn)分別為, , 過的中點(diǎn)作割線交于, 兩點(diǎn), 若, , 則 ______． 【知識點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．N1 【答案解析】4 解析：∵QA是⊙O的切線，∴QA2=QC?QD， ∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4， ∵PA，PB是⊙O的切線，∴PB=PA=4．故答案為：4． 【思路點(diǎn)撥】利用切割線定理可得QA2=QC?QD，可求QA，可得PA，利用圓的切線長定理，可得PB． 【題文】15. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi), 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為, 曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)), 則點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值為 ． 【知識點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；圓的參數(shù)方程．菁N3 【答案解析】 解析：由曲線C的參數(shù)方程（α為參數(shù)）， 化成普通方程為：（x﹣1）2+y2=2，圓心為A（1，0），半徑為r=， 由于點(diǎn)M在曲線C外，故點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為|MA|． 故答案為：5﹣． 【思路點(diǎn)撥】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把點(diǎn)M的坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出直線OM的方程；再把曲線C的參數(shù)方程化為化為普通方程，再利用|MA|﹣r即可求出最小值． 【題文】16. 若關(guān)于的不等式在實(shí)數(shù)集上的解集為, 則的取值范圍為_______. 【知識點(diǎn)】絕對值不等式的解法．菁優(yōu)N4 【答案解析】 解析：根據(jù)絕對值的意義可得|x﹣1|+|x+2a|的最小值為|1+2a|，結(jié)合所給的條件可得|1+2a|＞1 由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）；故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對值的意義可得|x﹣1|+|x+2a|的最小值為|1+2a|，結(jié)合所給的條件可得|1﹣2a|＞1，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍． 三. 解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算過程. 【題文】17. (本小題滿分13分) 已知 實(shí)數(shù)滿足, 其中; 實(shí)數(shù)滿足. (1) 若 且為真, 求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2) 若是的必要不充分條件, 求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【知識點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復(fù)合命題的真假．A2 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）對：由得， 因?yàn)? 所以 ..……...……..2分 當(dāng)時，解得1<,即為真時，實(shí)數(shù)的取值范圍是1<. 又為真時實(shí)數(shù)的取值范圍是…………………..4分 若為真，則真且真， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. …………………..7分 (2) p是q的必要不充分條件，即qp,且pq， 設(shè)A=, B =, 則AB, …………………..10分 又，A=； 所以有解得 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. …………………..13分 【思路點(diǎn)撥】(1) 利用一元二次不等式的解法可化簡命題p，若p∧q為真，則p真且q真，即可得出；(2)￢p是￢q的充分不必要條件，即￢p?￢q，且￢q?￢p，即可得出． 【題文】18. (本小題滿分13分) 函數(shù)(且)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)． (1) 若, 試求不等式的解集； (2) 若且在上的最小值為, 求的值． 【知識點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．B3 B4 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）是定義在R上的奇函數(shù)， ………………….2分 ，又且 …………4分 易知在R上單調(diào)遞增，原不等式化為： ，即 不等式的解集為. …………………..7分 （2），即（舍去） ……9分 令 當(dāng)時，當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時，，…………………..12分 解得，舍去. 綜上可知． ………………….13分 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可得k=1，從而（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，從而可證f（x）在R上單調(diào)遞增，故原不等式化為，從而可求不等式的解集； （2）根據(jù)確定a=2的值，從而可得函數(shù),令，由（1）可知為增函數(shù)，可得t≥f（1）=，分類討論，利用最小值為﹣2，可求m的值． 【題文】19. (本小題滿分13分) 如下圖1, 在中, , , . , 分別是, 上的點(diǎn), 且//, 將沿折起到的位置, 使(如下圖2). (1) 求證: 平面; (2) 若, 求與平面所成角的正弦值. 圖1 圖2 【知識點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．G4 G5 【答案解析】(1)見解析 (2) 解析：(1) 證明： 在△中， ………………2分 又 . 由 ……………...4分 . ……………...7分 (2) 如圖, 以為原點(diǎn)，, , 分別為軸, 軸, 軸, 建立空間直角坐標(biāo)系. 因?yàn)? 所以, 又//, 所以, 所以. 則. . 設(shè)為平面的一個法向量， ………..8分 因?yàn)? 所以, 即，令，得. 所以為平面的一個法向量． ………..11分 設(shè)與平面所成角為, 則． 所以與平面所成角的正弦值為． …………13分 【思路點(diǎn)撥】（1）由中，且//,，證出A1D⊥DE．結(jié)合A1D⊥CD，可得A1D⊥面BCDE，從而得到．最后根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合BC⊥CD可證出BC⊥面A1DC；（2）以C為原點(diǎn)，CD、CB所在直線分別為x、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．可得D、E、B、A1各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而算出，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出為平面A1BC的一個法向量．根據(jù)空間向量的夾角公式和直線與平面所成角的性質(zhì)，即可算出與平面所成角的正弦值。 【題文】20. (本小題滿分12分) 已知函數(shù)(). (1) 若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行, 求的單調(diào)區(qū)間和極值; (2) 討論在上的單調(diào)性; (3) 若在上是單調(diào)函數(shù), 求的取值范圍. 【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．B12 【答案解析】(1) 的增區(qū)間為，減區(qū)間為，, 無極小值. (2) 當(dāng)時, 在，當(dāng)時, 在，在在（3） 解析：(1) ，有 得，故. ……………….……….………..2分 令得，故在 令得，故在 故的增區(qū)間為，減區(qū)間為， , 無極小值. .…...4分 (2) ①當(dāng)時，，故在 ②當(dāng)時，令得， 令得 所以在，在在 綜上: 當(dāng)時, 在 當(dāng)時, 在，在在………..8分 (3)由題意可知：在上是單調(diào)函數(shù) 　　當(dāng)時，在上恒大于零，即，符合要求； 當(dāng)時，令，則由題意可知 　　或，解得: . 　　∴的取值范圍是 ……………..12分 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．再列出一個等式，最后解方程組即可求得a．，再利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，最后求出極值即可． （2）先求導(dǎo)，再根據(jù)a的值進(jìn)行分類討論即可． （3）先求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，再分a≥0，a＜0，進(jìn)行討論，當(dāng)a＜0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=ax2+x﹣1，求得a的范圍． 【題文】21. (本小題滿分12分) 以橢圓的中心為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”. 已知橢圓的離心率為, 且過點(diǎn)． (1) 求橢圓及其“伴隨”的方程; (2) 過點(diǎn)作“伴隨”的切線交橢圓于, 兩點(diǎn), 記為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為, 將表示為的函數(shù), 并求的最大值. 【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．H8 【答案解析】(1) (2) ，的最大值為1. 解析：(1) 橢圓的離心率為, 則, 設(shè)橢圓的方程為 ……………2分 ∵橢圓過點(diǎn)，∴， ∴， …………….………..4分 ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 橢圓的“伴隨”方程為. ………..6分 (2) 由題意知，. 易知切線的斜率存在,設(shè)切線的方程為 由得 ………..8分 設(shè), 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, , 則 , . 又由與圓相切, 所以, . 所以 ……10分 , . (當(dāng)且僅當(dāng)時取等號) 所以當(dāng)時，的最大值為1. ………..12分 【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓C的離心率，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，得到a=2b，設(shè)橢圓方程，再代入點(diǎn)，即可得到橢圓方程和“伴隨”的方程； （2）設(shè)切線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，即可得到AB的長，由l與圓x2+y2=1相切，得到k，m的關(guān)系式，求出三角形ABC的面積，運(yùn)用基本不等式即可得到最大值． 【題文】22．（本小題滿分12分）已知定義在上的函數(shù), 其中表示不小于的最小整數(shù),如, , . (1) 求的值, 其中為圓周率; (2) 若在區(qū)間上存在, 使得成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍; (3) 求函數(shù)的值域. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的值域．B3 【答案解析】(1) (2) （3） 解析：(1) 因?yàn)? , 所以 …..3分 (2) 因?yàn)? 所以, . …. …. …. ….…..4分 則. 求導(dǎo)得, 當(dāng)時,顯然有, 所以在區(qū)間上遞增, 即可得在區(qū)間上的值域?yàn)? …. …. …. ….….6分 在區(qū)間上存在, 使得成立,所以. …. ….…..7分 (3) 由于恒成立, 且, 不妨設(shè). 易知, 下面討論的情況. …. ….…..8分 當(dāng)時, , . 所以, 當(dāng), , 時, , . 設(shè), 所以在上是增函數(shù), 故當(dāng)時，，, 因此的值域?yàn)? …. ….…..10分 記, . 當(dāng)時, , 即 當(dāng)時, , 即 而, 所以. 故的值域?yàn)? …. ….…..12分 【思路點(diǎn)撥】（1）分開化簡求值，（2）化簡函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，將恒成立問題化為最值問題；（3）分類討論函數(shù)的取值，再求并集．