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【教材習題及解答】 4-1 【答】所謂根軌跡，是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參量從零變化到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化而形成的軌跡。 根軌跡反映了閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的位置以及變化情況，所以應用根軌跡可以直觀地分析參數(shù)變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，以及要滿足系統(tǒng)動態(tài)要求，應如何配置系統(tǒng)的開環(huán)零極點，獲得期望的根軌跡走向與分布。 4-2【答】運用相角條件可以確定s平面上的點是否在根軌跡上；運用幅值條件可以確定根軌跡上的點所對應的參數(shù)值。 4-3【答】考察開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化時得到的閉環(huán)特征根移動軌跡稱為常規(guī)根軌跡。除開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化之外的根軌跡稱為廣義根軌跡，如系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡、正反饋系統(tǒng)根軌跡和零度根軌跡等。 繪制參數(shù)根軌跡須通過閉環(huán)特征方程式的等效變換，將要考察的參數(shù)變換到開環(huán)傳遞函數(shù)中開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益的位置上，才可應用根軌跡繪制規(guī)則繪制參數(shù)變化時的根軌跡圖。 正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1－G(s)H(s)=0與負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0存在一個符號差別。因此，正反饋系統(tǒng)的幅值條件與負反饋系統(tǒng)的幅值條件一致，而正反饋系統(tǒng)的相角條件與負反饋系統(tǒng)的相角條件反向。負反饋系統(tǒng)的相角條件（p+2kp）是180根軌跡，正反饋系統(tǒng)的相角條件（0+2kp）是0根軌跡。因此，繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡時，凡是與相角有關(guān)的繪制法則，如實軸上的根軌跡，根軌跡漸近線與實軸的夾角，根軌跡出射角與入射角等，都要變p+2kp角度為0+2kp。 4-4【答】由于開環(huán)零極點的分布直接影響閉環(huán)根軌跡的形狀和走向，所以增加開環(huán)零極點將使根軌跡的形狀和走向發(fā)生改變，從而使系統(tǒng)性能也隨之發(fā)生變化。 一般來說，增加合適的開環(huán)零點，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向左變化的趨勢，從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。增加開環(huán)極點時，增加了根軌跡的條數(shù)，改變了根軌跡漸近線的方向，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向右變化的趨勢，削弱系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。 增加開環(huán)零極點，都將改變根軌跡漸近線與實軸的交點與夾角，可能改變根軌跡在實軸上的分布。 4-5 【解】(1) 將代入系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有：，滿足根軌跡的相角條件，故是該根軌跡上的點。 當點在根軌跡上時，有。即 于是，可得。 (2) 系統(tǒng)的特征方程為，由勞斯表 易得使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*值的范圍為-8 < K* < 90。 4-6【答案】 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 圖4-10 開環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡圖 4-7 【解】(1) ，繪制步驟如下： 1) 該系統(tǒng)有3個開環(huán)極點，無開環(huán)零點，分別為p1＝-0.2，p2＝-0.5，p3＝-1。 2) 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，均趨向于無窮遠處。 3) 實軸上(-∞,-1]和[-0.5,-0.2]區(qū)域為根軌跡。 4) 由于n-m＝3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其傾角和起點坐標分別為： 5) 確定根軌跡的分離點。 根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，有，，代入方程，整理得到 求解上述方程，得到 ， 由于s2在根軌跡[-0.5, -0.2]上，故取分離點坐標為。 6) 確定根軌跡與虛軸的交點。 由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得對應的閉環(huán)特征方程為 將s＝j(luò)ω代入上式，整理得到 分別令上式中的實部和虛部為零，即 解得ω＝0.89，K*＝1.26。 系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-11所示。 圖4-11 題4-7(1)系統(tǒng)的根軌跡圖 (2) ，繪制步驟如下： 1) 該系統(tǒng)有2個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點，分別為p1,2＝-1j3，z1＝-2。 2) 系統(tǒng)有2條根軌跡分支，一條終止于有限開環(huán)零點z1＝-2，另一條趨向于無窮遠處。 3) 實軸上(-∞,-2]區(qū)域為根軌跡。 4) 由于n-m＝1，故系統(tǒng)只有1條根軌跡漸近線，其傾角和起點坐標分別為： 5) 確定根軌跡的分離點或會合點。 根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，有，，代入方程，整理得到 求解上述方程，得到 ， 由于s1在根軌跡(-∞,-2]上，故取分離點坐標為。 6) 確定根軌跡的出射角。 由零、極點分布位置及出射角計算公式，得到點p1處的出射角為 根據(jù)對稱性，點p2處的出射角為-161.57。 系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-12所示。 圖4-12 題4-7(2)系統(tǒng)的根軌跡圖 (3) ，繪制步驟如下： 1) 該系統(tǒng)有3個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點，分別為p1＝0，p2＝-2，p3＝-3，z1＝-5。 2) 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，其中一條終止于有限開環(huán)零點z1＝-5處，另兩條則趨向于無窮遠處。 3) 實軸上[-5,-3]和[-2,0]區(qū)域為根軌跡。 4) 由于n-m＝2，故系統(tǒng)有2條根軌跡漸近線，其與實軸的交角和交點分別為： 5) 確定根軌跡的分離點。 根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，有，，代入方程，整理得到 求解上述方程，得到 ，， 由于s3在根軌跡[-2,0]上，故取分離點坐標為。 系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-13所示。 圖4-13 題4-7(3)系統(tǒng)的根軌跡圖 4-8【證】設(shè)s為系統(tǒng)根軌跡上的一點，則根據(jù)相角條件有 然后，將s＝σ＋jω代入上式，得到 即 移項，得 對上式兩邊取正切，可得 整理可得 可見，這是一個以（-6,0）為圓心，以為半徑的圓方程。即證明該系統(tǒng)的復數(shù)根軌跡部分為一圓，其圓心坐標為（-6,0），半徑為。 4-9【解】K*＝1時，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 即 則以T為參變量時的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 以下繪制以T為參變量時的系統(tǒng)根軌跡： 1) 等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個開環(huán)極點，無開環(huán)零點，即p1＝0，p2,3＝-1。 2) 新系統(tǒng)具有3條根軌跡，均終止于無窮遠處。 3) 實軸上的(-∞,-1]和[-1,0]均為根軌跡區(qū)域。 4) 新系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，與實軸正方向的夾角分別為和，交點為 5) 根軌跡的分離點 根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式，有，，于是 解得s1＝-1，s2＝-1/3。顯然，分離點坐標為d＝-1/3。 6) 根軌跡與虛軸的交點 以T為參變量時，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 將s＝j(luò)ω代入上式，并令實部和虛部分別為零，得到 求解上述方程組，得到解為 根據(jù)以上信息，繪制的根軌跡如圖4-14所示。 圖4-14 題4-9的參數(shù)根軌跡 4-10 圖4-15 題4-10的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 【解】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 則以τ為參變量時的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 以下繪制以τ為參變量時的系統(tǒng)根軌跡： 1) 等效開環(huán)傳遞函數(shù)有2個開環(huán)極點和1個開環(huán)零點，即p1,2＝-1j3，z1＝0。 2) 新系統(tǒng)具有2條根軌跡，一條終止于z1＝0，另一條終止于無窮遠處。 3) 實軸上的(-∞,0]為根軌跡區(qū)域。 4) 新系統(tǒng)有2條根軌跡漸近線，與實軸正方向的夾角分別為和，交點為 5) 根軌跡的匯合點 根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式，有，，于是 解得。顯然，匯合點坐標為d＝-3.16。 6) 根軌跡的出射角 ， 根據(jù)以上信息，繪制的參數(shù)根軌跡如圖4-16所示。 圖4-16 題4-10的系統(tǒng)根軌跡 4-11【解】（1）確定滿足條件的極點容許區(qū)域。 由題意，及關(guān)系式，可得。根據(jù)，可得阻尼角。 又由，及（為極點實部），可知。 因此，極點容許區(qū)域如圖4-17中的陰影區(qū)所示。 圖4-17 極點容許區(qū)域 （2）確定根軌跡與容許區(qū)域邊界交點處的K*值。 用幅值條件不難確定實軸根軌跡與垂線s=-0.4375交點處的K*值為0.684；復平面上根軌跡與扇形區(qū)邊界交點－1j1.046處的K*值為2.094，故滿足條件的K*值范圍為 0.684 < K* < 2.094 4-12 【解】（1）由于已知開環(huán)傳遞函數(shù)是由兩個有限極點和一個有限零點組成的，故該系統(tǒng)根軌跡的復數(shù)部分為一圓，其中圓心在有限零點z1＝-6處，半徑為有限零點到分離點（會合點）的距離。 由開環(huán)傳遞函數(shù)知：，。代入方程，整理得到：。解得s1＝-1.76，s2＝-10.24。由圖可知，s1為分離點坐標，s2為會合點坐標。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-18所示。 圖4-18 題4-12系統(tǒng)增加開環(huán)零點后的根軌跡圖 （2）根據(jù)幅值條件，可知： 分離點s1＝-1.76對應的開環(huán)根軌跡增益為 會合點s2＝-10.24對應的開環(huán)根軌跡增益為 由根軌跡圖可知，當0＜K*＜0.515時，系統(tǒng)有兩個相異的負實根，此時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，單位階躍響應為非周期過程；當0.515＜K*＜17.485時，系統(tǒng)有一對負實部的共軛復根，此時系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，單位階躍響應為衰減振蕩過程；當K*＞17.485時，系統(tǒng)又具有兩個相異的負實根，系統(tǒng)回到過阻尼狀態(tài)；當K*＝0.515或17.485時，系統(tǒng)有兩個相等的負實根，此時系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，單位階躍響應為非周期過程，響應速度較過阻尼狀態(tài)快。 （3）過坐標原點作根軌跡圓的切線，切點為A，如圖4-18所示。由關(guān)系式可知，該切線與負實軸夾角的余弦就是所要求的系統(tǒng)最小阻尼比，此時 相應的A點坐標為-3+3j。根據(jù)對稱性，系統(tǒng)最小阻尼比所對應的閉環(huán)極點為-33j。 由幅值條件易知，A點處的開環(huán)根軌跡增益為 因此，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 單位階躍輸入時，有，因此，系統(tǒng)階躍響應的拉氏變換為 對上式求拉氏反變換，得到 圖4-19為該系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。由圖可見，在系統(tǒng)最小阻尼比時，系統(tǒng)的單位階躍響應具有較好的平穩(wěn)性和快速性。 圖4-19 題4-12系統(tǒng)的單位階躍響應曲線 4-13 【解】（1）具體繪制步驟省略，得到的根軌跡如圖4-20所示。 圖4-20 題4-13系統(tǒng)的根軌跡圖 （2）經(jīng)計算根軌跡在實軸上的分離點坐標為d＝-0.423，根軌跡與虛軸的交點為，對應的臨界開環(huán)根軌跡增益為K*＝6。 當系統(tǒng)動態(tài)過程為衰減振蕩形式時，說明系統(tǒng)處于欠阻尼工作狀態(tài)，此時系統(tǒng)有一對負實部的共軛復數(shù)極點。從根軌跡圖4-20可以看出，當閉環(huán)極點位于從分離點到虛軸交點之間的根軌跡時，系統(tǒng)處于欠阻尼工作狀態(tài)。因此，只要求出分離點及虛軸交點處對應的開環(huán)根軌跡增益，就能得到滿足題意的K*值范圍。 由幅值條件，可得分離點d處對應的開環(huán)根軌跡增益為 因此，當0.385< K*<6時，系統(tǒng)動態(tài)過程為衰減振蕩形式。 （3）顯然，當K*＝6時，系統(tǒng)響應呈等幅振蕩形式，對應的振蕩頻率為。 （4）由題意，時，阻尼角。過坐標原點作兩條與負實軸成60的射線，與根軌跡交于A、B兩點，這兩點即為系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點。于是，A、B兩點的坐標為。 由于系統(tǒng)的n－m≥2，因此閉環(huán)極點之和應等于開環(huán)極點之和，即 由此可得第三個閉環(huán)極點為 根據(jù)幅值條件，這三個閉環(huán)極點對應的開環(huán)根軌跡增益為 由此可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由于離虛軸的距離是離虛軸距離的7倍多，所以是系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點。于是，可將此時的三階系統(tǒng)，即時的閉環(huán)系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)來處理。簡化后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由此可得，。單位階躍信號作用下的性能指標為 由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，故其靜態(tài)速度誤差系數(shù)為 因此，系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為 4-14【解】（1）正反饋系統(tǒng)的根軌跡（此時應按零度根軌跡規(guī)則繪制） 1) 該系統(tǒng)有4個開環(huán)極點和1個開環(huán)零點，即p1,2＝0，p3＝-2和p4＝-4，z1＝-1。 2) 該系統(tǒng)有4條根軌跡分支，一條趨向于z1＝-1，其余三條均趨向于無窮遠處。 3) 實軸上[-4,-2]、[-1,0]和[0,+∞)為根軌跡區(qū)域。 4) 由于n－m＝3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其與實軸的交角和交點分別為： 5) 根軌跡的分離點。 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式，可知，。代入方程，整理得到 求解上述方程，得到方程的根為 s1＝0，s2＝－3.0837，s3,4＝－1.1248j0.6814 根據(jù)實軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，所以分離點坐標應取d＝-3.0837。 正反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21(a)所示。 （2）負反饋系統(tǒng)的根軌跡（此時應按常規(guī)根軌跡規(guī)則繪制） 1) 該系統(tǒng)有4個開環(huán)極點和1個開環(huán)零點，即p1,2＝0，p3＝-2和p4＝-4，z1＝-1。 2) 該系統(tǒng)有4條根軌跡分支，一條趨向于z1＝-1，其余三條均趨向于無窮遠處。 3) 實軸上(-∞,-4]和[-2,-1]為根軌跡區(qū)域。 4) 由于n-m＝3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其與實軸的交角和交點分別為： 5) 根軌跡的分離點。 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式，可知，。代入方程，整理得到 求解上述方程，得到方程的根為 s1＝0，s2＝-3.0837，s3,4＝-1.1248j0.6814 根據(jù)實軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，所以分離點坐標應取d＝0。 6) 根軌跡與虛軸的交點 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 將s＝j(luò)ω代入上式，并令實部和虛部分別為零，得到 求解上述方程組，得到解為 負反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21(b)所示。 (a)正反饋系統(tǒng)根軌跡 (b)負反饋系統(tǒng)根軌跡 圖4-21 題4-14的系統(tǒng)根軌跡 4-15 【解】(1) 當時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 于是，以Kt為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制以Kt為參變量的根軌跡，如圖4-23所示。 圖4-23當時的參數(shù)根軌跡圖 根據(jù)參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，可知，。代入方程，整理得到分離點方程如下： 求解得到 根據(jù)實軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，取分離點坐標為d＝-6.28。此時，對應的根軌跡增益為 在這種情況下，可以在0< Kt <0.7886范圍內(nèi)，通過改變Kt的值使系統(tǒng)的主導極點具有的最佳阻尼比。 (2) 當時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 于是，以Ka為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制以Ka為參變量的根軌跡，如圖4-24所示。 圖4-24當時的參數(shù)根軌跡圖 這種情況下，由于Ka的值越大，系統(tǒng)的閉環(huán)極點就越靠近虛軸，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差，因此不能通過改變Ka的值來使系統(tǒng)的性能達到最佳。 (3) 當時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 于是，以Ka為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制以Ka為參變量的根軌跡，如圖4-25所示。 圖4-25當時的參數(shù)根軌跡圖 這種情況下，也不能通過改變Ka的值來使系統(tǒng)的性能達到最佳。 綜上所述，應選取第一種傳遞函數(shù)，即。 5-1 解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 則，閉環(huán)頻率特性為 由線性系統(tǒng)頻率特性的特點和已知的輸入信號可得，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出分別為： (3) 根據(jù)線性系統(tǒng)疊加性有： 5-2 解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 對應的幅頻和相頻特性表達式分別為 由題設(shè)條件知，，。則： 解之得：。 5-3 解： 奈氏曲線起點坐標為(∞，-90)，終點坐標為(0，-180)，可知圖形位于第Ⅲ象限。如圖5-10(a)所示。 由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為典型Ⅰ型系統(tǒng)，當時的對數(shù)幅頻特性曲線分別如圖5-10(b)中的①和②所示。 圖5-10 題5-3（1）解答圖 奈氏曲線起點坐標為(∞，-180)，終點坐標為(0，-180) 系統(tǒng)相位 可見，時奈氏曲線位于第Ⅱ象限，時時奈氏曲線位于第Ⅲ象限。如圖5-11(a)(b)所示。由傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為典型Ⅱ型系統(tǒng)，兩種情況下的對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-11(c)(d)所示。 圖5-11 題5-3（2）解答圖 。奈氏曲線起點為(1,0)，終點為(,0) 系統(tǒng)相位為 可見，時奈氏曲線位于第Ⅰ象限，如圖5-12(a)中的①所示；時奈氏曲線位于第Ⅳ象限，如圖5-12(a)中的②所示。 時的對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-12 (b) 中的①所示；時的對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-12 (b) 中的②所示。 圖5-12 題5-3（3）解答圖 (4) 則， 奈氏曲線起點坐標為(1，0)，終點坐標為(1/T，-180) 系統(tǒng)相位為 可見，奈氏曲線位于第Ⅳ、Ⅲ象限，如圖5-13(a)所示。 由傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，Bode圖與第（3）題相同。 和時的對數(shù)幅頻特性曲線分別如圖5-13 (b) 中的①和②所示。 圖5-13 題5-3（4）解答圖 奈氏曲線起點坐標為(∞，-90)，終點坐標為(0，-270) 因此，奈氏曲線位于第Ⅲ、Ⅱ象限，與負實軸有交點。 令： 則， 由此概略繪制奈氏圖如圖5-14(a)所示。 對數(shù)幅頻特性圖如圖5-14 (b)所示。 圖5-14 題5-3（5）解答圖 奈氏曲線起點坐標為(∞，-180)，終點坐標為(0，-360) 因此，奈氏曲線位于第Ⅲ、Ⅱ象限，與負實軸有交點。 令 則， 由此概略繪制奈氏圖如圖5-15(a)圖所示。 由此概略繪制對數(shù)幅頻特性圖如圖5-15 (b)圖所示。 圖5-15 題5-3（6）解答圖 5-4 解： 令 則， 由此概略繪制對數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(a)圖所示。 令 則， 由此概略繪制對數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(b)圖所示。 令 則， 令 則， 再設(shè) 則有， 由此概略繪制對數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(c)圖所示。 圖5-17 題5-4解答圖 5-5 解： 則， ，則 且有兩個慣性環(huán)節(jié) 則， 且在處有兩個慣性環(huán)節(jié) 則， 則， 在處為振蕩環(huán)節(jié)，；在處為二階微分環(huán)節(jié)， 則， 由，在處有一振蕩環(huán)節(jié) 由 則， 在有兩個慣性環(huán)節(jié)，在處有一個慣性環(huán)節(jié) 則， 5-6解：由 奈氏曲線起點坐標為(∞，-180)，終點坐標為(0，-270) 令， 可知，在時，奈氏曲線與負實軸有交點，位于第Ⅲ、Ⅱ象限。 且此時，可判斷，奈氏圖如圖5-19(a)所示，作增補線，由奈氏判據(jù)可知系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 在時，奈氏圖與負實軸無交點，位于Ⅱ象限，如圖5-19(b)所示，作增補線，由奈氏判據(jù)可知系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 圖5-19 習題5-6解答圖 5-7 解：奈氏判據(jù)的內(nèi)容是：如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有P個不穩(wěn)定的極點（即[s]右半平面的極點），則當ω=0→∞變化時，開環(huán)奈氏曲線逆時針方向包圍（-1, j0）點的圈數(shù)為N = P/2（即Z = 0）時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。 對于(a)圖，P =1，N =1/2 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對于(b)圖，P =1，N = -1/2≠ P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對于(c)圖，P =1，N = -1/2≠ P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對于(d)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21(d)， 則N = 0 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對于(e)圖，P =2，需做輔助線如圖5-21 (e)， 則 N = 1= P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對于(f)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21 (f )， 則N = -1 ≠ P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對于(g)圖，P =1， 則N = 0.5 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對于(h)圖， P =2， 則N = 1= P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對于(i)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21 (i)， 則N+ = N-=1，N = N+ =N- =0 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對于(j)圖，P =1，需做輔助線如圖5-21(j)， 則N = -1≠P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對于(k)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21(k)， 則N = -1≠P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對于(l)圖，P =2， 則N = 0≠ P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 圖5-21 習題5-7解答圖 5-8 解： 奈氏曲線起點坐標為(∞，-90)，終點坐標為(0，-270)，曲線位于第Ⅲ、Ⅱ象限，與負實軸有交點，如圖5-22所示。 令 (1)T=2時，, 根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應不包圍(-1, j0)點，即有： （2）時, 根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應不包圍(-1, j0)點，即有： （3）同（2）方法可求出：, 根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應不包圍(-1, j0)點，即有： 或者 圖5-22 習題5-8解答圖 5-9 解：由圖知，開環(huán)奈氏曲線與負實軸有三個交點，設(shè)從左到右交點處相位截止頻率頻率分別為，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為 由題設(shè)條件知： 當取時， 若令，可得對應的K值分別為 分別畫出時的奈氏圖，并作對應的增補輔助線，如圖5-24所示。由奈氏判據(jù)可判斷： ，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可得，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K的取值范圍是。 圖5-24 習題5-9解答圖 5-10 解：（1）對于(a)圖有，， 則 對于(b)圖有，且低頻段延長線與軸的交點頻率為，則有 對于(c)圖有，且低頻段與軸的交點頻率為 則， （2）對于(a)圖，由對應傳遞函數(shù)知，相頻特性為 可見，時，。 由此可大致畫出相頻特性如圖5-26(a)所示。 再由得， 奈氏曲線起點坐標（100,0），終點坐標為(0,-180)，由此可大致畫出系統(tǒng)奈氏圖如圖5-26(b)所示。 圖5-26 習題5-10（a）解答圖 對于(b)圖，由對應傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為典型Ⅱ型系統(tǒng)，相頻特性為 ，且 時，，由此可大致畫出其相頻特性如圖5-27(a)所示。 再由，奈氏曲線起點坐標為（∞,-180），終點坐標為(0,-180)，且由相頻特性可知奈氏曲線位于第Ⅲ象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-27(b)所示。 圖5-27 習題5-10(b)解答圖 對于(c)圖，有對應傳遞函數(shù)知，相頻特性為 且，即從的幾何中心穿過軸。由此可大致畫出其相頻特性如圖5-28(a)所示。 再由知 時， 奈氏曲線起點坐標為（0,90），終點坐標為(0,-90)，且由相頻特性可知奈氏曲線位于第Ⅱ、Ⅴ象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-28(b)所示。 圖5-28 習題5-10(c)解答圖 5-11 解：（1）由相位裕量定義得 由 （2）由相位裕量定義得 由。 （3）由 令 由和得 5-12 解：（1）由低頻段延長線 由圖有， （2）該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，且 則，系統(tǒng)相位裕量為 ，可知系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 （3）令 則， 系統(tǒng)幅值裕量為，。 5-13解：由結(jié)構(gòu)圖得，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 第一種方法，用勞斯判據(jù)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為： 因方程中，，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第二種方法，用奈氏判據(jù)。 由 奈氏曲線起點坐標為（∞,-90），終點坐標為(0,-270)，曲線位于第Ⅲ、Ⅱ象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-31所示。 令 則，。 可見，奈氏曲線包圍（-1,j0）點，而中不含[s]有半平面極點，即P =0，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 圖5-31 習題5-13解答圖 5-14解：由教材5.3節(jié)圖5-29可知，延遲系統(tǒng)的奈氏曲線是一條繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則螺旋線應不包圍(-1, j0)點，即對應于最小的相位穿越頻率 (離原點最遠的穿越頻率) ωx處應有。 即 又由 可見，的減函數(shù)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定時有。 5-15解：本系統(tǒng)含有延遲環(huán)節(jié)，奈氏曲線為螺旋線。 由可得 由可知，隨的增大幅值遞減，因此在系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，對應最小穿越頻率處 K 值最大。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，在最小的處應有 則，。 5-16 解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 對應的相位為 在穿越頻率ωx處，令 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，其奈氏曲線必經(jīng)過(-1, j0)點，可令 將代入上式，可求得系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時Kh=1。 5-17 解：（1）根據(jù)開環(huán)對數(shù)幅頻特性圖可知：K=10，ν=1。則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 （2）根據(jù)開環(huán)對數(shù)幅頻特性圖有： 則系統(tǒng)相位裕量為： 所以，系統(tǒng)穩(wěn)定。但由于相位裕量太小，系統(tǒng)仍不能穩(wěn)定工作。 將其對數(shù)幅頻特性向右平移10倍頻程后，各段斜率不變，幅值抬高，穩(wěn)態(tài)精度提高，抗干擾能力降低。中頻段ωc增大，快速性提高，但其斜率和中頻寬度都沒有改變，因此穩(wěn)定性沒有得到改善。 5-18 解：（1）根據(jù)已知的開環(huán)對數(shù)幅頻特性圖可知： 圖a為Ⅱ型系統(tǒng)，低頻段延長線與ω軸交點頻率值為，則有： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的相位裕量為： 圖b為Ⅰ型系統(tǒng)，低頻段延長線與ω軸交點頻率值為K，則有： 。 則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的相位裕量為： （2）根據(jù)求得的開環(huán)傳遞函數(shù)可知 對(a)圖： 則，在作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 對(b)圖： 則，在作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 5-19 解：（1）根據(jù)的要求有： 由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知：該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，且其幅頻Bode圖第一個轉(zhuǎn)折頻率 ，所以有：。 （2）該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，。 5-20 解：（1）時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 根據(jù)穿越頻率的定義有 則，幅值裕量 （2）時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，按照各轉(zhuǎn)折頻率其幅值可近似表示為 根據(jù)幅值截止頻率的定義有 則，系統(tǒng)相位裕量為 5-21 解：由題意得： 由Bode圖得： 所以，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 本系統(tǒng)為典型Ⅱ型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)位置、速度、加速度誤差系數(shù)分別為： 所以，系統(tǒng)對階躍信號、斜坡信號的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零；對單位加速度信號輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為： 本系統(tǒng)為三階型系統(tǒng)，時閉環(huán)極點為。不存在閉環(huán)主導極點，故按高階系統(tǒng)估算超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。 時系統(tǒng)的相位裕量為： 閉環(huán)諧振峰值為 對應的超調(diào)量為 調(diào)節(jié)時間為 則， 6-1 解：（1）由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。 令，可得，原系統(tǒng)的相位裕量為 因此，可用串聯(lián)超前校正比較合適。 （2）設(shè)，并取 此時，近似有 或者由校正原理圖6-14可知 圖6-14 習題6-1圖 則：， 故，校正裝置傳遞函數(shù)為。 （3）校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為 滿足要求。 6-2 解：（1）由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。則由穩(wěn)態(tài)指標要求有： 故，滿足穩(wěn)態(tài)性能的未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。 令，可得，原系統(tǒng)的相位裕量為 因此，選用串聯(lián)超前校正比較合適。 （2）設(shè)，并取。 根據(jù)，則有：，取α=5 按超前校正原理，應有，此時，近似有 或者根據(jù)超前校正原理圖6-15 圖6-15 習題6-2解答圖 有： 則：， 故，校正裝置傳遞函數(shù)為。 （3）校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為 滿足要求。 6-3 解：(1) 滿足的原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。 其對數(shù)幅頻特性如圖6-16中所示。 圖6-16 習題6-3解答圖 由圖可見，，則 則校正前系統(tǒng)相位裕量為 可見原系統(tǒng)不穩(wěn)定，故選用串聯(lián)滯后校正。 (2) 設(shè)，并取 則校正后系統(tǒng)的相位裕量應為： 。 令 解之得：（即通過計算法求得）。 原系統(tǒng)在處的幅值近似為： 則其對數(shù)幅值近似為： 或者由圖得： 選擇校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率，則。 則，校正裝置的傳遞函數(shù)為 繪制對應的對數(shù)頻率特性圖如圖6-16中所示。 (4) 指標驗算 校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 繪制對應的對數(shù)頻率特性圖如圖6-16中所示。 由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為 由圖可知，，滿足系統(tǒng)性能指標的要求。 6-4 解：(1) ，滿足穩(wěn)態(tài)要求的原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。 其對數(shù)幅頻特性如圖6-17中所示。 圖6-17 習題6-4解答圖 由圖可見，，則 則校正前系統(tǒng)相位裕量為 可見原系統(tǒng)不穩(wěn)定，故選用串聯(lián)滯后校正。 (2) 設(shè)，取校正后系統(tǒng)截止頻率s-1 原系統(tǒng)在處的幅值近似為： 則，其對數(shù)幅值近似為： 或由圖得： 選取校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率，則。 則，校正裝置的傳遞函數(shù)為 繪制對應的對數(shù)頻率特性圖如圖6-17中所示。 (4) 指標驗算 校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 繪制對應的對數(shù)頻率特性圖如圖6-17中所示。 由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為 滿足要求。 6-5 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 若要求校正后系統(tǒng)的開環(huán)增益不小于12，超調(diào)量小于，調(diào)節(jié)時間小于3s，試確定串聯(lián)滯后校正裝置。 參考答案：（方法同6-4） 6-6 參考答案：（采用期望頻率特性法，方法同例6-5） 6-7 解：（1）系統(tǒng)為標準Ⅰ型，，取K=256，則 用分段線性化法分析得， 原系統(tǒng)相位裕量為 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 （2）用期望頻率特性法設(shè)計校正裝置 做原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-18中的所示。 根據(jù)題意取，過做-20dB/dec直線段作為的中頻段，為使校正后系統(tǒng)保持K=256，使預期開環(huán)對數(shù)幅頻特性與原系統(tǒng)在低頻段重合；為使校正裝置及校正后系統(tǒng)簡單，可使此在后的高頻段與平行或重合。 再由題意選取，則，期望特性中頻段兩端轉(zhuǎn)折頻率為 則，中頻寬度滿足一般設(shè)計要求。 從開始向左做-40dB/dec直線段與相交于；從開始向右做-40dB/dec直線段到，從處向右做-60dB/dec的直線。從而得到預期開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-18中所示。對應開環(huán)傳遞函數(shù)為 圖6-18 題6-7解答圖 由可得對應開環(huán)傳遞函數(shù)為 由可得到，校正裝置對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-18中的所示。 則，校正裝置傳遞函數(shù)為 （3）指標校驗 由和表達式得，校正后系統(tǒng)相位裕量為 滿足設(shè)計要求。 6-8 解：(1) 原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，Kv=K=200滿足穩(wěn)態(tài)要求。 其開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-20中所示，由圖得。 圖6-20 題6-8解答圖 (2) 期望開環(huán)對數(shù)幅頻特性的設(shè)計 把性能指標，，代入公式 求校正后系統(tǒng)的動態(tài)指標，并?。?。 為滿足指標要求，必須使校正后系統(tǒng)中頻段以穿過0dB線?？烧J為期望頻率特性的規(guī)律為：→→→。 為使校正裝置簡單，過作直線，交于，并取，使校正后系統(tǒng)中頻寬度。相應的相位裕量為。 過做的直線，交于。為使校正后系統(tǒng)簡單，且不影響原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度和抗干擾能力，使校正后系統(tǒng)的低、高頻段均與原系統(tǒng)重合。 至此期望特性繪制完成，如圖6-20中所示。 由圖可得校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (3) 確定校正環(huán)的開環(huán)對數(shù)頻率特性 由圖可見，反饋校正裝置只在的頻段內(nèi)起作用，此時由可得到此頻段內(nèi)校正環(huán)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖；而在的頻段內(nèi)不起作用，因此，為了使校正裝置盡可能簡單，一般要求曲線在這兩個頻段內(nèi)，保持穿越斜率不變。由此可得到校正環(huán)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線，如圖6-20中所示。 由可得到校正環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (4) 檢驗校正環(huán)的穩(wěn)定性 檢驗校正環(huán)的穩(wěn)定性主要就是檢驗在處的相位裕量。 可見校正環(huán)穩(wěn)定。 在處的對數(shù)幅值 基本滿足的要求，說明誤差在允許的范圍之內(nèi)。 (5) 確定校正裝置傳遞函數(shù) 由圖6-19得 則， (5) 驗算 有上述計算過程有 則 全部滿足系統(tǒng)性能指標要求。 6-9 解：①比例控制器，②比例-微分（PD）控制器，③比例-積分（PI）控制器，④比例-積分-微分（PID）控制器，⑤比例校正裝置，⑥微分校正裝置，⑦檢測裝置，⑧按擾動補償?shù)那梆佈b置，⑨按輸入補償?shù)那梆佈b置。 6-10 解：比較可知： （1）校正后低頻段斜率沒變但高度下降，所以K減小，穩(wěn)態(tài)精度降低。 （2）校正后中頻段斜率在之前由原來的，變?yōu)?，所以增大，減小，穩(wěn)定性提高；但，快速性變差。 （3）校正后高頻段衰減值增大，抗干擾能力提高。 6-11 解：（1）由 由 （2），如圖所示。 （3）由圖得， （4）比較可知： ① 低頻段斜率增大（系統(tǒng)由0型變?yōu)棰裥停?，且高度提高，K增大，使穩(wěn)態(tài)精度提高。 ② 中頻段斜率由-40dB/dec變成-20dB/dec，所以穩(wěn)定性提高（相位裕量由43.5提高到59），但減小使增大，快速性變差。 ③ 高頻段衰減值增大，抗干擾能提高。 6-12解：（1）由 由 （2） （3）由圖得 （4）校正前后系統(tǒng)的相位裕量為 （5）比較可知，校正前后： ① 低頻段高度和斜率都不變，因此穩(wěn)態(tài)精度不變。 ② 中頻段斜率由-40dB/dec變成-20dB/dec，所以穩(wěn)定性提高（相位裕量由負變正），但減小，使得增大，快速性變差。 ③ 高頻段不變，抗干擾性不變。 6-13 解： （1）由(a)圖由 由(b)圖由 （2）(a)圖為滯后校正，可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時可以提高系統(tǒng)的抗干擾性，但要以犧牲快速性為代價；(b)圖為超前校正，可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，包括快速性和穩(wěn)定性，但會使系統(tǒng)抗擾性下降。 6-14 解：（1）設(shè)PD控制器傳遞函數(shù)為 則，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，當是時，有 相位裕量為： (2) 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 當，可以得到： 相位裕量為： 6-15 解：（1）有兩種方法可以解答 方法一 用Bode圖定性分析。具體如下： 先根據(jù)繪制校正前系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線，再根據(jù)串聯(lián)校正原理，分別將將曲線與圖6-27所示三種校正裝置的對數(shù)幅頻特性曲線在同一對數(shù)坐標系中分段疊加，得到校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線。如圖6-28所示。 圖6-28 習題6-15解答圖 由圖2-28可知，(a)圖校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線中頻段斜率為-40db/dec，而且之前的頻段較短，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；(b)(c)圖校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線中頻段斜率都為-20db/dec，因此兩種校正都能使系統(tǒng)穩(wěn)定。但(c)圖中頻寬度為H=40/2=20倍，而(b)圖中頻寬度只有H=100/10=10倍，因此(c)圖的校正裝置會使校正后系統(tǒng)的穩(wěn)定程度最好。 方法二 用計算相位裕量來定量分析。具體如下： 對(a)圖 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由 則， (b)圖 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 同理可求得， (c)圖 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 同理可求得 可見，以圖(c)為校正網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的相位裕量最大，穩(wěn)定性最好。 （2），將12Hz的正弦噪聲削弱10倍左右，也就是使處的幅值（增益）為0.1左右，或者使處的對數(shù)幅值為-20dB左右，應該采用(c)圖的PID校正裝置。 原因分析如下： 以(a)圖做校正裝置時， 以(b)圖做校正裝置時， 以(c)圖做校正裝置時， 故采用(c)圖校正網(wǎng)絡(luò)可達到將12Hz的正弦噪聲削弱10倍左右的要求。 7-1 解：（1）令=0，即 得系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為0，-1，1。 （2）設(shè)時，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為，由微分方程可得 兩端積分后可得 相軌跡如圖7-22所示。當初始條件時，，并且隨著的增大，顯然上式分子的衰減速率大于分母的衰減速率，使得遞減，并收斂至平衡原點；而當時，，若，且隨著增大，顯然上式分母的衰減速率大于分子的衰減速率，因此遞增；尤其當時，上式分母，為無窮大，系統(tǒng)發(fā)散不穩(wěn)定。 圖7-22 系統(tǒng)相軌跡 7-2 解：（1）由于 因此令，可得奇點為（0，0）。又由于，因此 ， 可知特征根為，故奇點（0，0）為中心點。根據(jù)奇點的位置和奇點類型，利用MATLAB程序可繪制出系統(tǒng)在奇點附近的相軌跡如圖7-23所示。 圖7-23 系統(tǒng)相軌跡 （2）由于，因此系統(tǒng)方程 同理可得 令，得奇點為（0，0）。根據(jù)系統(tǒng)的特征方程，可得相應的特征根為鞍點，，。 另由于，令，得等傾線方程為 其中為等傾線的斜率。由于相軌跡的漸近線是特殊的等傾線，滿足，則由上式不難得到，。相軌跡在這兩條特殊的等傾線附近將沿著漸近線收斂或發(fā)散。根據(jù)不同值下等傾線的斜率，并利用MATLAB程序可作出系統(tǒng)的相軌跡如圖7-24所示。 圖7-24 系統(tǒng)相軌跡 （3）令，則，可知系統(tǒng)的奇點為 ，，， 當，，，時，令，原方程變?yōu)? 在奇點（即）處的線性化方程為 根據(jù)特征方程可得系統(tǒng)的特征根為，奇點為中心點。 當，，，時，令，原方程變?yōu)? 在奇點（即）處的線性化方程為 根據(jù)特征方程可得系統(tǒng)的特征根為，奇點為鞍點。 令，得等傾線方程為 根據(jù)不同值下等傾線的斜率和奇點類型，可繪制出系統(tǒng)的相軌跡如圖7-25所示。 圖7-25 系統(tǒng)相軌跡 7-3 解：（1）非線性系統(tǒng)的微分方程可改寫為 ， 其中，表示非線性函數(shù)。令 聯(lián)立可得系統(tǒng)的奇點為。 奇點處一階偏導數(shù)及增量線性化方程為 ， ， 則 根據(jù)特征方程可得系統(tǒng)的特征根為 可知此時由于系統(tǒng)特征根為一對具有正實部的共軛復根，因此奇點為不穩(wěn)定焦點。 （2）極限環(huán)討論 令，，并代入原方程后可得 經(jīng)整理可知以極坐標變量和所描述的運動方程為 因此可知，當和時，即和時，相軌跡為封閉圓。當時，，此時相軌跡向封閉單位圓發(fā)散逼近。當時，，此時的相軌跡向封閉單位圓收斂逼近。而當時，，此時的相軌跡發(fā)散至無窮遠處?？芍到y(tǒng)的封閉單位圓即為該非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)。系統(tǒng)的相軌跡圖如圖7-26所示。 圖7-26 系統(tǒng)相軌跡 7-4 解：由于，所以當幅值大小一致時，則越小，就越小，所以周期。而當幅值大小一致時，則越小，就越大，所以周期。 7-5 解：（1）圖7-28的左圖經(jīng)過如下結(jié)構(gòu)圖簡化 圖7-29 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化 得線性部分的傳遞函數(shù) （2）圖7-28右圖經(jīng)過如下結(jié)構(gòu)圖簡化 圖7-30 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化 得線性部分的傳遞函數(shù) 7-6 解：圖a）為帶死區(qū)的飽和特性，根據(jù)表7-1可知，其描述函數(shù)為： , 圖b)中的非線性環(huán)節(jié)相當于下列死區(qū)繼電非線性和死區(qū)非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián) 圖7-32 非線性環(huán)節(jié) 并聯(lián)等效非線性特性的描述函數(shù)為各非線性特性描述函數(shù)的代數(shù)和。因此 圖c)中的非線性環(huán)節(jié)相當于下列兩個死區(qū)繼電非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)，因此 圖7-33 非線性環(huán)節(jié) ， 7-7 解：設(shè)當輸入為時有 ； 因為是的奇函數(shù)，所以；同時是的奇函數(shù)，故。因此具有半周期對稱特性，所以 由定積分公式 可得 則該非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)為 7-8 判斷圖7-35所示各系統(tǒng)是否穩(wěn)定； 圖7-35 題7-8的自振分析 與的交點是否為自振點。 解：（a）由于曲線與曲線有交點，在該點處產(chǎn)生穩(wěn)定自激振蕩。 （b）由于曲線與曲線存在三個交點，由于在和點處，曲線沿著振幅增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域，因此在和點處產(chǎn)生穩(wěn)定自激振蕩。在點處，曲線由穩(wěn)定區(qū)域進入不穩(wěn)定區(qū)域，產(chǎn)生不穩(wěn)定的周期運動。 （c）由于曲線與曲線有交點，在該點處產(chǎn)生穩(wěn)定自激振蕩。 （d）由于曲線與曲線沒有交點，而且位于穩(wěn)定區(qū)域，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。 7-9 解：曲線逆時針補畫半徑為的圓。 （1）時，由奈氏判據(jù)可知，其中為包圍負倒描述函數(shù)的個數(shù)：當，時，由奈氏判據(jù)可知初始振幅位于不穩(wěn)定區(qū)域，因此的值不斷增大。同理可知，當，時，初始振幅位于穩(wěn)定區(qū)域，的值會不斷減小。 （2）時，由奈氏判據(jù)可知，當，時，由奈氏判據(jù)可知初始振幅位于不穩(wěn)定區(qū)域，因此的值不斷增大。同時可知，當，時，初始振幅位于穩(wěn)定區(qū)域，的值不斷減小。 7-10 解：（1）非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為 ， 其負倒描述函數(shù)為 為單調(diào)減函數(shù)，作曲線如圖7-38所示。 圖7-38 穩(wěn)定性分析 線性部分的曲線如圖7-38所示，其穿越頻率 曲線與負實軸的交點為 當時，曲線不包圍曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定。 當時，曲線和曲線存在交點（，0），曲線由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)存在穩(wěn)定的自振。 當時，曲線完全包圍曲線，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由以上討論可知，隨著的增大，系統(tǒng)由穩(wěn)定變成自振，最終不穩(wěn)定。 （2）當系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的周期運動時，確定自振參數(shù) 由描述函數(shù)分析法可知 得系統(tǒng)振幅為 ， 另外由（1）分析可知，系統(tǒng)的振蕩頻率為。 7-11 解：根據(jù)串聯(lián)合并關(guān)系，描述函數(shù)： ， 令，則： 令=0，解得。由極值條件知，當時，負倒描述函數(shù)曲線有一個極大值，為。大致曲線如圖7-40所示。 圖7-40 穩(wěn)定性分析 在同一平面內(nèi)繪制曲線，其穿越負實軸的頻率為 與負實軸的交點為： 根據(jù)，可以求出 即 。 求解可得： ，。 根據(jù)周期運動穩(wěn)定性判定辦法可知，對應不穩(wěn)定的運動，對應于穩(wěn)定的周期運動，因此，當擾動使得時，存在自激震蕩。 7-12 解：由圖7-41可得 開關(guān)線為。求解可以得到 這兩個方程分別對應平面上開口向右、向左頂點在軸上的兩條拋物線。位置與初始條件或另一個區(qū)域的想軌跡與開關(guān)線的交點有關(guān)。開關(guān)線是過坐標原點的直線，斜率與值有關(guān)。 1）當時，開關(guān)線為軸，相軌跡由兩個拋物線封閉組成，對應的運動是周期運動，如圖7-42所示。 圖7-42 系統(tǒng)相軌跡 2）當時，開關(guān)線向右傾斜，位于Ⅰ，Ⅲ象限，相軌跡仍由拋物線組成，但每次轉(zhuǎn)換時，，均增加，對應的運動為震蕩發(fā)散，如圖7-43所示。 圖7-43 系統(tǒng)相軌跡 當時，開關(guān)線向左傾斜，位于Ⅱ，Ⅳ象限，相軌跡還是由拋物線組成，但每次轉(zhuǎn)換時，，均減小，對應的運動是震蕩收斂，相軌跡如圖7-44所示。 圖7-44 系統(tǒng)相軌跡 7-13 解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知 另由于，因此進而可得： 根據(jù)線性系統(tǒng)特征根的分布，來判定奇點的類型。在區(qū)，奇點，為平衡點。在區(qū)，奇點，為平衡點。根據(jù)MATLAB可得系統(tǒng)的相軌跡如圖7-46所示?？梢娤到y(tǒng)振蕩收斂于平衡點。 圖7-46 系統(tǒng)相軌跡 7-14 解：根據(jù)圖7-47，有系統(tǒng)的分段微分方程： 其相軌跡如圖7-48所示?？梢?，在開關(guān)線上相軌跡跳至另一條相軌跡。 圖7-48 系統(tǒng)相軌跡 在升溫時，相軌跡沿著AB運動，且AB的相軌跡方程為： 結(jié)合相平面圖可見，保溫精度為。 7-15 解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知，其中為非線性環(huán)節(jié)的輸出 在比較點處，，，綜合各式并整理可得 在Ⅰ區(qū)（），奇點為，其特征方程的特征根為兩純虛根，因此奇點為中心點。在Ⅱ區(qū)（），奇點為，其特征方程的特征根為兩純虛根，因此奇點為中心點。在Ⅲ區(qū)（），奇點為，其特征方程的特征根為兩純虛根，因此奇點為中心點。下面利用積分法來求解系統(tǒng)相軌跡。 在Ⅰ區(qū)（） ， 積分可得，為一橢圓。 在Ⅱ區(qū)（） ， 積分可得，為一中心在的圓。 在Ⅲ區(qū)（） ， 積分可得，為一中心在的圓。 該非線性系統(tǒng)的相軌跡和輸出曲線分別如圖7-50和圖7-51所示。由圖7-50可知，相軌跡從Ⅰ區(qū)的點處出發(fā)，在點切換至Ⅱ區(qū)，運動到點又切換至Ⅰ區(qū)，運動到點處后再次進入Ⅱ區(qū)，然后運動到點處后最終又切換回Ⅰ區(qū)，并回到點，形成一個循環(huán)。由圖7-51可見系統(tǒng)的輸出是一個周期運動。 圖7-50 系統(tǒng)相軌跡 圖7-51 系統(tǒng)輸出曲線 7-16 解:在simulink中搭建系統(tǒng)框圖，運行得到仿真結(jié)果如圖7-52所示。 （1）由飽和特性的數(shù)學表達式和系統(tǒng)運動過程的微分方程，可以寫出以誤差為輸出變量的系統(tǒng)運動方程，。由于階躍響應時，有，因此系統(tǒng)運動方程可寫成：。當非線性系統(tǒng)工作在Ⅰ區(qū)，即線性區(qū)時的運動方程為 。不難求出，原點(0，0)為I區(qū)相軌跡的奇點，該奇點因位于I區(qū)內(nèi)，故為實奇點。若，則系統(tǒng)在I區(qū)工作于欠阻尼狀態(tài)，會有超調(diào)，且此時的奇點(0，0)為穩(wěn)定焦點。 圖7-52 系統(tǒng)輸出曲線 （2）結(jié)合simulink仿真如可以看出，飽和特性的存在，使等效增益隨輸入的增大而減小，使穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，超調(diào)量減小，因此有利于動態(tài)響應的平穩(wěn)性，但同時會降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 （3）系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)由于飽和限幅環(huán)節(jié)的存在而變小，阻尼比變大，無阻尼自振頻率變小，慣性時間常數(shù)變大。 7-17 解：將3個串聯(lián)非線性環(huán)節(jié)進行等效合并。由于反饋通道飽和特性與前向通道飽和特性同時進入飽和狀態(tài)，所以反饋通道的非線性環(huán)節(jié)相當于不起作用。將前向通道的另兩個非線性環(huán)節(jié)合并可得如圖7-54所示，即非線性環(huán)節(jié)的輸出為 圖7-54 非線性系統(tǒng)簡化 因此可得非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為 其負倒描述函數(shù)為 式中，，。因?qū)υ撠摰姑枋龊瘮?shù)求導后，可知在取得極值，即 同時該系統(tǒng)線性環(huán)節(jié)的頻率特性為 令，有，則，。 繪制與的曲線于圖7-55中?？芍c曲線相交，系統(tǒng)存在自激振蕩。另由可知，自振頻率，自振振幅。最后，利用下列MATLAB程序可得系統(tǒng)的相平面圖和系統(tǒng)狀態(tài)曲線分別如圖7-56和圖7-57所示。 圖7-55 穩(wěn)定性分析 圖7-56 系統(tǒng)相軌跡 圖7-57 系統(tǒng)狀態(tài)曲線 8-1 解：（1） 該函數(shù)采樣后所得的脈沖序列為 代入變換的定義式可得 兩邊同時乘以，得 兩式相減，若，該級數(shù)收斂，同樣利用等比級數(shù)求和公式，可得 最后該變換的閉合形式為 （2） 對取拉普拉斯變換，得 展開為部分分式，即 可以得到 化簡后得 （3） 解：將上式展開為部分分式，得 查表可得 （4） 解： 對上式兩邊進行變換可得 查表可得 8-2 解：（1） 由于 所以 查表可得 ， 所以可得的反變換為 （2） 由于 所以 查表可得 所以的反變換為 （3） 由長除法可得 所以其反變換為 （4） 解法1：由反演積分法，得 解法2：