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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題10 圓錐曲線（含解析）
橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.橢圓的定義：
（1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.
（2）第二定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（0
0)
3. 幾何性質(zhì)：
（1）范圍
?。?）中心 坐標(biāo)原點(diǎn)
（3）頂點(diǎn)
?。?）對(duì)稱軸 軸，軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)
?。?）焦點(diǎn) 焦距 ，（）
?。?）離心率 ，（）
?。?）準(zhǔn)線
?。?）焦半徑
（9）通徑
?。?0）焦參數(shù)
【講一講提高技能】
1. 必備技能：
（1）要能夠靈活應(yīng)用圓錐曲線的兩個(gè)定義（及其“括號(hào)”內(nèi)的限制條件）解決有關(guān)問(wèn)題，如果涉及到其兩焦點(diǎn)(或兩相異定點(diǎn))，那么優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，也要重視第一定義和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用，尤其注意圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運(yùn)用。
（2）橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于|F1F2|時(shí)，其動(dòng)點(diǎn)軌跡就是線段F1F2；當(dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和小于|F1F2|時(shí)，其軌跡不存在．
（3）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
①定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程．
②待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（4）橢圓中有一個(gè)十分重要的△OF1B2(如圖)，它的三邊長(zhǎng)分別為.易見(jiàn)，且若記，則.
（5）在掌握橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能對(duì)橢圓性質(zhì)有更多的了解，如：
①與分別為橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小值；
②橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng)，過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)的最小值．
（6）共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.
2. 典型例題：
例1已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為（ ）
A. B. C. D.
分析：直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，因此可聯(lián)想橢圓的定義，確定長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距，進(jìn)一步確定橢圓方程.
例2設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
試題分析：根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，由得中利用三角函數(shù)的定義算出，利用勾股定理算出，進(jìn)而得到長(zhǎng)軸，即可算出該橢圓的離心率．
，
，
，故選D
【練一練提升能力】
1.設(shè)，是橢圓：=1（＞＞0）的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，△是底角為的 等腰三角形，則的離心率為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
2. 過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【解析】設(shè)，則由兩式相減變形得：即，從而
雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.雙曲線的定義：
（1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.
（2）第二定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（）.
2.圖形與方程（以一個(gè)為例）
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程：(a>0,b>0)
3. 幾何性質(zhì)：
?。?）范圍
?。?）中心 坐標(biāo)原點(diǎn)
?。?）頂點(diǎn)
?。?）對(duì)稱軸 軸，軸，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)
?。?）焦點(diǎn) 焦距 ，（）
?。?）離心率 ，（）
?。?）準(zhǔn)線
（8）漸近線：
?。?）焦半徑
?。?0）通徑
?。?1）焦參數(shù)
【講一講提高技能】
1.必備技能：
A．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義，若滿足，求出相應(yīng)的a、b、c即可求得方程．
(2)待定系數(shù)法，其步驟是：
①定位：確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；
②設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程；
③定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)．
B．幾種特殊情況的標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法
(1)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為．
(2)漸近線為的雙曲線方程為．
(3)與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線方程為．
(4)與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程為．
C．雙曲線漸近線的斜率與離心率的互化
漸近線的斜率為或，它與離心率可通過(guò)以下關(guān)系聯(lián)系起來(lái)：.
D．直線與雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，通常涉及雙曲線的性質(zhì)、最值、弦長(zhǎng)、垂直、中點(diǎn)等問(wèn)題．解決的方法通常是把雙曲線方程C：與直線方程l：y＝kx＋m(m≠0)聯(lián)立消去y，可整理成的形式，當(dāng)，即時(shí)，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線l與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，也就是說(shuō)“直線l與雙曲線C有一個(gè)交點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要而不充分條件．當(dāng)，即時(shí)，再通過(guò)研究整理出來(lái)的一元二次方程去解決有關(guān)弦長(zhǎng)、最值等問(wèn)題．
2.典型例題：
例1已知為雙曲線:的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為（ ）
A. B. 3 C. D.
分析：要求點(diǎn)到的一條漸近線的距離，一是要明確漸近線的方程；二是明確的坐標(biāo)，而這些當(dāng)轉(zhuǎn)化得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，不難得到．
例2雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)三等分焦距，則雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
試題分析：因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)三等分焦距，，，故選B
【練一練提升能力】
1. 已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為 （ ?。?
（A） （B） （C） ?。―）
【答案】A．
【解析】由已知得在方程中令，得所求雙曲線的方程為，故選A．
2.已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1. 拋物線的定義：
平面內(nèi)與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡. （e=1）
2.圖形與方程（以一個(gè)為例）
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程：
3. 幾何性質(zhì)：
?。?）范圍 經(jīng)，
?。?）中心 無(wú)
?。?）頂點(diǎn)
?。?）對(duì)稱軸 軸
?。?）焦點(diǎn) 焦距 無(wú)
（6）離心率
?。?）準(zhǔn)線
（8）焦半徑
?。?）通徑
?。?0）焦參數(shù)
【講一講提高技能】
1必備技能：
A．對(duì)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與，重點(diǎn)把握以下兩點(diǎn)：
(1)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，恒為正數(shù)；
(2)方程形式有四種，要搞清方程與圖形的對(duì)應(yīng)性，其規(guī)律是“對(duì)稱軸看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開(kāi)口方向”．
B．拋物線的幾何性質(zhì)以考查焦點(diǎn)與準(zhǔn)線為主．根據(jù)定義，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，可得以下規(guī)律：
(1)拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；
(2)拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離；
(3)拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離；
(4)拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離.
C．直線與拋物線的位置關(guān)系類似于前面所講直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系．
特別地，已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)．
則有以下結(jié)論：
(1)，或 (為所在直線的傾斜角)；
(2)；
(3).
過(guò)拋物線焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長(zhǎng)為.
2典型例題：
例1設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線交于,兩點(diǎn)，則 （ ）
（A） （B） （C） （D）
分析：要求，須將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，確定交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，以應(yīng)用焦半徑公式.
例2直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)是6，的中點(diǎn)到軸的距離是1，則此拋物線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
試題分析：直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，所以（為兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)），故．依題意中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，解得，所以此拋物線的方程為，故選B．
【練一練提升能力】
1. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
2. 已知點(diǎn)在拋物線C：的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，且過(guò)點(diǎn)，故，則，，則直線AF的斜率，選C．
（一） 選擇題（12*5=60分）
1. 已知橢圓的焦點(diǎn)是，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)到，使得，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線
【答案】A
【解析】
試題分析：根據(jù)橢圓的定義可知，，因?yàn)椋?，即，根?jù)圓的定義，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，故選A．
2. 雙曲線的頂點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于對(duì)稱性，我們不妨取頂點(diǎn)，取漸近線為，所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得.
3. 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
4.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
試題分析：設(shè)為橢圓的另一焦點(diǎn)，則由題易知軸，即為通徑的一半，所以＝，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故選A．
5. 若實(shí)數(shù)滿足，則曲線與曲線的（ ）
A.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 B.虛半軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等
【答案】D
6.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),則此雙曲線的方程為 （ ?。?
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，，∴，則①，由條件得，在上，即②，由①②得，∴雙曲線為.選C.
7.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】
8.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),若關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為,且有,則此雙曲線的離心率為 （ ?。?
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】
如圖，作出雙曲線的兩條漸近線，兩焦點(diǎn)為交漸近線于，則是的中點(diǎn)，而又是的中點(diǎn)，故有∥，從而，在中，，則，于是，所以，從而．
9. 已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）
A. B. C.3 D.2
【答案】A
10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,,若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),則的方程為（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【解析】
試題分析：因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)，設(shè)，由拋物線性質(zhì)，可得，因?yàn)閳A心是的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為，由已知圓半徑也為，據(jù)此可知該圓與軸相切于點(diǎn)，故圓心縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)縱坐標(biāo)為，即，代入拋物線的方程得，所以或．所以拋物線的方程為或．
11.已知斜率為2的直線雙曲線交兩點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的離心率等于（ ）
（A) (B) 2 (C) (D)
【答案】D
12. 已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
試題分析：如下圖所示，，，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足是，由對(duì)稱性，不妨令在第一象限，∴，∴問(wèn)題等價(jià)于求的最小值，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，∴，故選C．
（二） 填空題（4*5=20分）
13. 在中，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率 ．
【答案】
【解析】
14. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則此橢圓方程為 ．
【答案】
【解析】此橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)為，說(shuō)明橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，又頂點(diǎn)的坐標(biāo)為說(shuō)明，從而，故橢圓方程為．
15.已知橢圓：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．若，則＝________．
【答案】
【解析】
16.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn). 設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到的距離為. 若，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【解析】依題意，作于，則，又，解得，而橢圓準(zhǔn)線的方程為， ，設(shè)直線與軸交于，則點(diǎn)到直線的距離，
∵，∴，整理的，兩邊平方，，
∴，又，解得.
2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題10 圓錐曲線（含解析）.doc
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