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2016-2017學(xué)年河南省洛陽市地礦雙語學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（每小題3分，滿分24分） 1．點(diǎn)A（﹣3，4）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。? A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4） 2．下列運(yùn)算正確的是（　?。? A．a(chǎn)2?a3=a6 B．（a2）3=a5 C．2a+3a=5a D．a(chǎn)3﹣a=a2 3．等腰三角形中有一個(gè)角是40，則另外兩個(gè)角的度數(shù)是（　　） A．70，70 B．40，100 C．70，40 D．70，70或40，100 4．如圖，O是△ABC的兩條垂直平分線的交點(diǎn)，∠BAC=70，則∠BOC=（　?。? A．120 B．125 C．130 D．140 5．若m=36，n=43，則1224的值（用含m、n的式子表示）為（　?。? A．mn B．m18n21 C．m2n4 D．m4n8 6．如圖：直線a，b，c表示三條相互交叉而建的公路，現(xiàn)在要建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)P在x軸上，若以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有（　?。? A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 8．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP； ⑤∠AOB=60．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 　 二、填空題（每小題3分，滿分21分） 9．計(jì)算：（﹣）2013?（）2014． 10．如圖所示，一個(gè)角60的三角形紙片，剪去這個(gè)60角后，得到一個(gè)四邊形，則∠1+∠2=　?。? 11．已知如圖，AD=BC，要得到△ABD≌△CDB，可以添加角的條件：∠　　=∠　?。? 12．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和2倍，則這個(gè)多邊形的對(duì)角線有　　條． 13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠A=30，CD⊥AB于D點(diǎn)，若BD=1，則AD=　?。? 14．如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且點(diǎn)A′在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為　　cm． 15．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)．有下列結(jié)論： ①∠AMD=90； ②M為BC的中點(diǎn)； ③AB+CD=AD； ④S△ADM=S梯形ABCD； ⑤M到AD的距離等于BC的一半． 其中正確的結(jié)論是　?。? 　 三、解答題（共75分） 16．如圖：線段AB與直線EF不相交，在直線EF上求作一點(diǎn)C，使△ABC周長最短．（不要求寫作法，但請保留作圖痕跡） 17．已知5m=a，25n=b，求：53m+6n的值 （用a，b表示）． 18．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC的延長線上，且∠CDE=30．若AD=5，求DE的長． 19．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）． （1）將△ABC沿y軸翻折，則翻折后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是　?。? （2）若△DBC與△ABC全等，請畫出符合條件的△DBC（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外），并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)． 20．已知：如圖，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求證：∠DEB=∠1． 21．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E． （1）求證：△ABD是等腰三角形； （2）若∠A=40，求∠DBC的度數(shù)； （3）若AE=6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長． 22．如圖，∠AOB=30，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于E OE=20cm，求CD的長． 23．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=CB，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且始終保持AD=CE．連接DE、DF、EF． （1）求證：△ADF≌△CEF； （2）試證明△DFE是等腰直角三角形． 24．△ABC是等邊三角形，D是三角形外一動(dòng)點(diǎn)，滿足∠ADB=60． （1）如圖①，當(dāng)D點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí)，求證：DA+DC=DB； （2）如圖②，當(dāng)D點(diǎn)不在AC的垂直平分線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由． 　  2016-2017學(xué)年河南省洛陽市地礦雙語學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，滿分24分） 1．點(diǎn)A（﹣3，4）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。? A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4） 【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)． 【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣3，4）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3， 縱坐標(biāo)為4， ∴點(diǎn)A（﹣3，4）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）， 故選B． 　 2．下列運(yùn)算正確的是（　?。? A．a(chǎn)2?a3=a6 B．（a2）3=a5 C．2a+3a=5a D．a(chǎn)3﹣a=a2 【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方及合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算． 【解答】解：A、應(yīng)為a2?a3=a2+3=a5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、應(yīng)為（a2）3=a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、2a+3a=5a，正確； D、a3與a不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選C． 　 3．等腰三角形中有一個(gè)角是40，則另外兩個(gè)角的度數(shù)是（　　） A．70，70 B．40，100 C．70，40 D．70，70或40，100 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】由等腰三角形的一個(gè)角是40度，可以分為若40的角是頂角與若40的角是底角去分析求解，小心別漏解． 【解答】解：若40的角是頂角，則底角為： =70， ∴此時(shí)另外兩個(gè)角的度數(shù)是70，70； 若40的角是底角，則另一底角為40， ∴頂角為：180﹣40﹣40=100， ∴此時(shí)另外兩個(gè)角的度數(shù)是100，40． ∴另外兩個(gè)角的度數(shù)是：70、70或40、100． 故選D． 　 4．如圖，O是△ABC的兩條垂直平分線的交點(diǎn)，∠BAC=70，則∠BOC=（　　） A．120 B．125 C．130 D．140 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)，OA=OB=OC．根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，先求出∠OBC+∠OCB，再求∠BOC． 【解答】解：∵O是△ABC的兩條垂直平分線的交點(diǎn)， ∴OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB． ∵∠BAC=70， ∴∠OBA+∠OCA=70，∠OBC+∠OCB=40． ∴∠BOC=180﹣40=140． 故選D． 　 5．若m=36，n=43，則1224的值（用含m、n的式子表示）為（　?。? A．mn B．m18n21 C．m2n4 D．m4n8 【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方． 【分析】利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則變形，即可得到結(jié)果． 【解答】解：∵m=36，n=43， ∴m4=（36）4=324，n8=（43）8=424， 則1224=（34）24=324424=m4n8． 故選D． 　 6．如圖：直線a，b，c表示三條相互交叉而建的公路，現(xiàn)在要建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】由三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個(gè)，可得可供選擇的地址有4個(gè)． 【解答】解：∵△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等， ∴△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件； 如圖：點(diǎn)P是△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)， 過點(diǎn)P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE=PF，PF=PD， ∴PE=PF=PD， ∴點(diǎn)P到△ABC的三邊的距離相等， ∴△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點(diǎn)有3個(gè)； 綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)， ∴可供選擇的地址有4個(gè)． 故選D． 　 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)P在x軸上，若以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有（　?。? A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】分為三種情況：①OA=OP，②AP=OP，③OA=OA，分別畫出即可． 【解答】解：以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)P和P′，此時(shí)三角形是等腰三角形，即2個(gè)； 以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)P″（O除外），此時(shí)三角形是等腰三角形，即1個(gè)； 作OA的垂直平分線交x軸于一點(diǎn)P1， 則AP=OP， 此時(shí)三角形是等腰三角形，即1個(gè)； 2+1+1=4， 故答案為4． 　 8．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP； ⑤∠AOB=60．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。? A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)一一求證，判定正確選項(xiàng)．（根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證∠DCB=60，由三角形內(nèi)角和外角定理可證∠DPC＞60，所以DP≠DE） 【解答】解：①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上， ∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120 ∴△ACD≌△ECB ∴AD=BE，故本選項(xiàng)正確； ②∵△ACD≌△ECB ∴∠CBQ=∠CAP， 又∵∠PCQ=∠ACB=60，CB=AC， ∴△BCQ≌△ACP， ∴CQ=CP，又∠PCQ=60， ∴△PCQ為等邊三角形， ∴∠QPC=60=∠ACB， ∴PQ∥AE，故本選項(xiàng)正確； ③∵∠ACB=∠DCE=60， ∴∠BCD=60， ∴∠ACP=∠BCQ， ∵AC=BC，∠DAC=∠QBC， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴CP=CQ，AP=BQ，故本選項(xiàng)正確； ④已知△ABC、△DCE為正三角形， 故∠DCE=∠BCA=60?∠DCB=60， 又因?yàn)椤螪PC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60?∠DPC＞60， 故DP不等于DE，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； ⑤∵△ABC、△DCE為正三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60，AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB， ∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60， ∴∠AOB=60， 故本選項(xiàng)正確． 綜上所述，正確的結(jié)論是①②③⑤． 故選C． 　 二、填空題（每小題3分，滿分21分） 9．計(jì)算：（﹣）2013?（）2014． 【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算公式即可求出答案． 【解答】解：原式=（﹣）2013（）2013=（﹣）2013=﹣1=﹣， 　 10．如圖所示，一個(gè)角60的三角形紙片，剪去這個(gè)60角后，得到一個(gè)四邊形，則∠1+∠2=　240?。? 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】三角形紙片中，剪去其中一個(gè)60的角后變成四邊形，則根據(jù)多邊形的內(nèi)角和等于360度即可求得∠1+∠2的度數(shù)． 【解答】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得： 四邊形除去∠1，∠2后的兩角的度數(shù)為180﹣60=120， 則根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得： ∠1+∠2=360﹣120=240． 故答案為：240． 　 11．已知如圖，AD=BC，要得到△ABD≌△CDB，可以添加角的條件：∠　ADB　=∠　CBD?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【分析】可以添加條件：∠ADB=∠CBD，再根據(jù)題目條件AD=BC，再加上公共邊BD=DB，可利用SAS證明△ABD≌△CDB． 【解答】解：可添加：∠ADB=∠CBD， ∵在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SAS）． 　 12．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和2倍，則這個(gè)多邊形的對(duì)角線有　9　條． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；多邊形的對(duì)角線． 【分析】先根據(jù)該多邊形的內(nèi)角和是外角和2倍，可得出：（n﹣2）?180=3602，求出多邊形的邊數(shù)n，再根據(jù)n邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：，求解即可． 【解答】解：∵該多邊形的內(nèi)角和是外角和2倍， ∴（n﹣2）?180=3602， 解得：n=6， ∴這個(gè)多邊形的對(duì)角線的總條數(shù)為： ==9． 故答案為：9． 　 13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠A=30，CD⊥AB于D點(diǎn)，若BD=1，則AD=　3?。? 【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30，再根據(jù)30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BC、AB的長，然后根據(jù)AD=AB﹣BD計(jì)算即可得解． 【解答】解：∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴∠BCD+∠ACD=90，∠A+∠ACD=90， ∴∠BCD=∠A=30， ∵BD=1， ∴BC=2BD=2，AB=2BC=22=4， ∴AD=AB﹣BD=4﹣1=3． 故答案為：3． 　 14．如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且點(diǎn)A′在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為　3　cm． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【分析】由題意得AE=A′E，AD=A′D，故陰影部分的周長可以轉(zhuǎn)化為三角形ABC的周長． 【解答】解：將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處， 所以AD=A′D，AE=A′E． 則陰影部分圖形的周長等于BC+BD+CE+A′D+A′E， =BC+BD+CE+AD+AE， =BC+AB+AC， =3cm． 故答案為：3． 　 15．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)．有下列結(jié)論： ①∠AMD=90； ②M為BC的中點(diǎn)； ③AB+CD=AD； ④S△ADM=S梯形ABCD； ⑤M到AD的距離等于BC的一半． 其中正確的結(jié)論是?、佗冖邰荨。? 【考點(diǎn)】梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)． 【分析】作MN⊥AD于N，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得MB=MN，MN=MC，則根據(jù)“HL”可證明Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，則∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定義可得∠AMD=90，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；同時(shí)利用MB=MN=MC可對(duì)②⑤進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，利用Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA得到CD=ND，AB=AN，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形性質(zhì)得S△MCD=S△MND，S△MBA=S△MNA，所以S△ADM=S梯形ABCD，則可對(duì)④進(jìn)行判斷． 【解答】解：作MN⊥AD于N，如圖， ∵AM和DM分別為∠DAB與∠ADC的平分線， 而MN⊥AD，MC⊥CD，MB⊥AB， ∴MB=MN，MN=MC， 在Rt△MCD和Rt△MND中 ， ∴Rt△MCD≌Rt△MND， ∴∠1=∠2， 同理可得Rt△MBA≌Rt△MNA， ∴∠3=∠4， ∴∠2+∠4=CMN+BMN=90， 即∠AMD=90，所以①正確； ∴MB=MN=MC， ∴MB=MC，所以②⑤正確； ∵Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA， ∴CD=ND，AB=AN， ∴AD=AN+ND=AB+CD，所以③正確； ∵Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA， ∴S△MCD=S△MND，S△MBA=S△MNA， ∴S△ADM=S梯形ABCD，所以④錯(cuò)誤． 故答案為①②③⑤． 　 三、解答題（共75分） 16．如圖：線段AB與直線EF不相交，在直線EF上求作一點(diǎn)C，使△ABC周長最短．（不要求寫作法，但請保留作圖痕跡） 【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖． 【分析】作出A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而連接A′B與EF交于點(diǎn)C，C點(diǎn)既是所求點(diǎn)． 【解答】解：如圖所示： 　 17．已知5m=a，25n=b，求：53m+6n的值 （用a，b表示）． 【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的乘法． 【分析】先將條件中的等式化同底，然后利用同底指數(shù)冪公式進(jìn)行運(yùn)算即可 【解答】解：由題意可知：25n=（52）n， ∴52n=b， ∴原式=53m56n=（5m）3（52n）3=a3b3， 　 18．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC的延長線上，且∠CDE=30．若AD=5，求DE的長． 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)三線合一，即可得出∠BAD=∠DAC=30，進(jìn)而得出AD=DE，求出答案即可． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=30， ∵點(diǎn)E在AC的延長線上，且∠CDE=30， ∴AD=DE， ∵AD=5， ∴DE的長為：5． 　 19．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）． （1）將△ABC沿y軸翻折，則翻折后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是?。?，3）?。? （2）若△DBC與△ABC全等，請畫出符合條件的△DBC（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外），并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換． 【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)畫出翻折后的△A′B′C′，寫出A′點(diǎn)的坐標(biāo)即可； （2）畫出△DBC，并寫出D點(diǎn)坐標(biāo)即可． 【解答】解：（1）如圖所示：（2，3）； （2）如圖所示；D1（﹣5，3），D2（﹣2，﹣3），D3（﹣5，﹣3）． 　 20．已知：如圖，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求證：∠DEB=∠1． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)條件可證明△ADE≌△ABC，所以∠ADE=∠ABC，利用對(duì)頂角相等可知：∠ADE+∠1=∠ABC+∠DEB． 【解答】解：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE， ∴∠DAE=∠BAC， 在△ADE與△ABC中， ， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴∠ADE=∠ABC， ∵∠ADE+∠1=∠ABC+∠DEB， ∴∠1=∠DEB， 　 21．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E． （1）求證：△ABD是等腰三角形； （2）若∠A=40，求∠DBC的度數(shù)； （3）若AE=6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線到線段兩端點(diǎn)的距離相等即可得證； （2）首先利用三角形內(nèi)角和求得∠ABC的度數(shù)，然后減去∠ABD的度數(shù)即可得到答案； （3）將△ABC的周長轉(zhuǎn)化為AB+AC+BC的長即可求得． 【解答】解：（1）證明：∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D， ∴DB=DA， ∴△ABD是等腰三角形； （2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40， ∴∠ABD=∠A=40，∠ABC=∠C=2=70 ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70﹣40=30； （3）∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，AE=6， ∴AB=2AE=12， ∵△CBD的周長為20， ∴AC+BC=20， ∴△ABC的周長=AB+AC+BC=12+20=32． 　 22．如圖，∠AOB=30，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于E OE=20cm，求CD的長． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】過C作CF⊥OB，垂足為F．由平行線的性質(zhì)易求得∠ECO=∠AOC=15∴OE=CE，∴∠FEC=∠EOC+∠ECO=30，根據(jù)直角三角形中30的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和角平分線的性質(zhì)解可求解． 【解答】解： 過C作CF⊥OB，垂足為F ∵OC平分∠AOB，CD⊥OA， ∴CF=CD， ∵CE∥AO，∠EOC=∠AOC=15， ∴∠ECO=∠AOC=15 ∴OE=CE， ∵∠FEC=∠EOC+∠ECO=30 ∴CF=CE==10cm， ∴CD=10cm． 　 23．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=CB，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且始終保持AD=CE．連接DE、DF、EF． （1）求證：△ADF≌△CEF； （2）試證明△DFE是等腰直角三角形． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】（1）根據(jù)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，利用F是AB中點(diǎn)，∠A=∠FCE=∠ACF=45，即可證明：△ADF≌△CEF． （2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90即可證明△DFE是等腰直角三角形． 【解答】證明：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90，AC=BC， ∴∠A=∠B=45， 又∵F是AB中點(diǎn)， ∴∠ACF=∠FCB=45， 即，∠A=∠FCE=∠ACF=45，且AF=CF， 在△ADF與△CEF中，， ∴△ADF≌△CEF（SAS）； （2）由（1）可知△ADF≌△CEF， ∴DF=FE， ∴△DFE是等腰三角形， 又∵∠AFD=∠CFE， ∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC， ∴∠AFC=∠DFE， ∵∠AFC=90， ∴∠DFE=90， ∴△DFE是等腰直角三角形． 　 24．△ABC是等邊三角形，D是三角形外一動(dòng)點(diǎn)，滿足∠ADB=60． （1）如圖①，當(dāng)D點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí)，求證：DA+DC=DB； （2）如圖②，當(dāng)D點(diǎn)不在AC的垂直平分線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】（1）由D點(diǎn)在AC的垂直平分線上，可得AD=CD，又由∠ADB=60，△ABC是等邊三角形，可得△ABD是含30角的直角三角形，繼而證得結(jié)論； （2）首先在DB上截取DE=AD，可證得△ADE是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，易證得△BAE≌△CAD（SAS），繼而證得結(jié)論． 【解答】證明：（1）∵D點(diǎn)在AC的垂直平分線上， ∴AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA，∠ADB=∠CDB=60， ∴∠DAC=30， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60， ∴∠BAD=90， ∴∠ABD=90﹣∠ADB=30， ∴BD=2AD=AD+CD； （2）成立． 理由：在DB上截取DE=AD， ∵∠ADB=60， ∴△ADE是等邊三角形， ∴AE=AD，∠EAD=60， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60， ∴∠BAE=∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE=CD， ∴BD=DE+BE=AD+CD． 　  2016年12月1日 第20頁（共20頁）