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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線與方程綜合題專練 北師大版選修1-1 1．(xx湖南文，20)已知拋物線C1：x2＝4y的焦點F也是橢圓C2：＋＝1(a>b>0)的一個焦點，C1與C2的公共弦的長為2.過點F的直線l與C1相交于A，B兩點，與C2相交于C，D兩點，且A與B同向． (1)求C2的方程； (2)若|AC|＝|BD|，求直線l的斜率． [解析]　(1)由C1：x2＝4y知其焦點F的坐標(biāo)為(0,1)，因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2－b2＝1 ?、?； 又C1與C2的公共弦長為2，C1與C2都關(guān)于y軸對稱，且C1的方程為：x2＝4y，由此易知C1與C2的公共點的坐標(biāo)為(，)， ∴＋＝1②， 聯(lián)立①②得a2＝9，b2＝8，故C2的方程為 ＋＝1. (2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，D(x4，y4)， 因與同向，且|AC|＝|BD|， 所以＝，從而x3－x1＝x4－x2，即x3－x4＝x1－x2，于是 (x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2?、? 設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1，由得x2－4kx－4＝0， 由x1，x2是這個方程的兩根， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4?、? 由 得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0， 而x3，x4是這個方程的兩根， x3＋x4＝－，x3x4＝－ 　⑤ 將④、⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋. 即16(k2＋1)＝， 所以(9＋8k2)2＝169，解得k＝， 即直線l的斜率為. 2．(xx安徽文，20)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(a,0)，點B的坐標(biāo)為(0，b)，點M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為. (1)求E的離心率e； (2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(0，－b)，N為線段AC的中點，證明：MN⊥AB. [解析]　(1)∵|BM|＝2|MA|且A(a,0)，B(0，b)， ∴M(a，b)．又∵OM的斜率為， ∴＝?＝?＝ ?＝?e＝. (2)由題意可知N點的坐標(biāo)為(，－)， ∴kMN＝＝＝，kAB＝， ∴kMNkAB＝－＝－1.∴MN⊥AB. 3．(xx廣東文，20)已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo)； (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程； (3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由． [解析]　(1)圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0化為(x－3)2＋y2＝4，所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)． (2)設(shè)線段AB的中點M(x0，y0)，由圓的性質(zhì)可得C1M垂直于直線l. 設(shè)直線l的方程為y＝mx(易知直線l的斜率存在)，所以kC1Mm＝－1，y0＝mx0，所以＝－1，所以x－3x0＋y＝0，即2＋y＝. 因為動直線l與圓C1相交，所以＜2，所以m2＜， 所以y＝m2x＜x，所以3x0－x＜x，解得x0＞或x0＜0，又因為0＜x0≤3，所以＜x0≤3. 所以M(x0，y0)滿足2＋y＝， 即M的軌跡C的方程為2＋y2＝. (3)由題意知直線L表示過定點T(4,0)，斜率為k的直線． 結(jié)合圖形，2＋y＝表示的是一段關(guān)于x軸對稱，起點為按逆時針方向運動到的圓弧．根據(jù)對稱性，只需討論在x軸下方的圓弧．設(shè)P，則kPT＝＝，而當(dāng)直線L與軌跡C相切時，＝，解得k＝.在這里暫取k＝，因為＜，所以kPT＜k. 可得對于x軸下方的圓弧，當(dāng)0≤k≤或k＝時，直線L與x軸下方的圓弧有且只有一個交點，根據(jù)對稱性可知－≤k≤或k＝. 綜上所述：當(dāng)－≤k≤或k＝時，直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一交點． 4．(xx陜西文，20)如圖，橢圓E：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點A(0，－1)，且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)經(jīng)過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q(均異于點A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2. [解析]　(1)由題意知＝，b＝1，綜合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以，橢圓的方程為＋y2＝1. (2)由題設(shè)知，直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得 (1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0， 由已知Δ＞0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 從而直線AP與AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋ ＝＋ ＝2k＋(2－k)(＋) ＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k) ＝2k－2(k－1)＝2. 5．(xx天津文，19)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的上頂點為B，左焦點為F，離心率為. (1)求直線BF的斜率； (2)設(shè)直線BF與橢圓交于點P(P異于點B)，過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q(Q異于點B)，直線PQ與y軸交于點M，|PM|＝λ|MQ|. (i)求λ的值； (ii)若|PM|sin∠BQP＝，求橢圓的方程． [解析]　(1)F(－c,0)，由已知離心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c，又因為B(0，b)，F(xiàn)(－c,0) 故直線BF的斜率k＝＝＝2. (2)設(shè)點P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)． (i)由(1)可得橢圓方程為＋＝1， 直線BF的方程為y＝2x＋2c， 兩方程聯(lián)立消去y，得3x2＋5cx＝0， 解得xP＝－. 因為BQ⊥BP， 所以直線BQ的方程為y＝－x＋2c， 與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得21x2－40cx＝0， 解得xQ＝. 又因為λ＝，及xM＝0， 得λ＝＝＝. (ii)由(i)得＝， 所以＝＝， 即|PQ|＝|PM|， 又因為|PM|sin∠BQP＝， 所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝ |PM|sin∠BQP＝. 又因為yP＝2xP＋2c＝－c， 所以|BP|＝＝c， 因此c＝，c＝1， 所以橢圓方程為＋＝1. 6．(xx新課標(biāo)Ⅱ卷文，20)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(2，)在C上． (1)求C的方程； (2)直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值． [解析]　(1)由題意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，把y＝kx＋b代入＋＝1， 得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝，于是直線OM的斜率kOM＝＝－，即kOMk＝－，所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值．