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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 答疑解惑 回歸分析 北師大版選修2-3 一.回歸含義探究 “回歸”一詞是由英國(guó)生物學(xué)家F.Galton在研究人體身高的遺傳問(wèn)題時(shí)首先提出的。 如根據(jù)遺傳學(xué)的觀點(diǎn)，子輩的身高受父輩影響，以X記父輩身高，Y記子輩身高。雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此，X和Y之間存在一種相關(guān)關(guān)系。 一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高.依此推論祖祖輩輩遺傳下來(lái),身高必然向兩極分化，而事實(shí)上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩的身高有向中心回歸的特點(diǎn),“回歸”一詞即源于此。 不過(guò)，現(xiàn)代回歸分析雖然沿用了“回歸”一詞，但內(nèi)容已有很大變化，它是一種應(yīng)用于許多領(lǐng)域的廣泛的分析研究方法，在經(jīng)濟(jì)理論研究和實(shí)證研究中也發(fā)揮著重要作用。 二.如何認(rèn)識(shí)相關(guān)關(guān)系 研究?jī)蓚€(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系是學(xué)習(xí)本節(jié)的目的。對(duì)于相關(guān)關(guān)系我們可以從下三個(gè)方面加以認(rèn)識(shí)： （1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同。函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系。例如正方形面積S與邊長(zhǎng)x之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系。即對(duì)于邊長(zhǎng)x的每一個(gè)確定的值，都有面積S的惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系。例如人的身高與年齡；商品的銷售額與廣告費(fèi)等等都是相關(guān)關(guān)系. （2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。例如有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，身高與閱讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。然而學(xué)會(huì)新詞并不能使兒童馬上長(zhǎng)高，而是涉及到第三個(gè)因素——年齡，當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他們的閱讀能力會(huì)提高而且由于長(zhǎng)大身高也會(huì)高些。 （3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例如正方形面積S與其邊長(zhǎng)x間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測(cè)量邊長(zhǎng)時(shí)，由于測(cè)量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機(jī)性。而對(duì)于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量來(lái)說(shuō)，當(dāng)求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關(guān)系對(duì)這兩個(gè)變量間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì)。 相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況。因此研究相關(guān)關(guān)系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，還可使我們對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度。 三.認(rèn)識(shí)回歸分析應(yīng)注意的幾個(gè)方面 現(xiàn)階段所研究的回歸分析是回歸分析中最簡(jiǎn)單，也是最基本的一種類型——元線性回歸分析.回歸分析是通過(guò)一個(gè)變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化. 對(duì)于線性回歸分析，我們要注意以下幾個(gè)方面： （1）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。 （2）散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。 （3）求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大至呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義。 四．應(yīng)用回歸分析解決問(wèn)題的一般步驟 首先,根據(jù)理論和對(duì)問(wèn)題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量；其次，設(shè)法找出合適的數(shù)學(xué)方程式（即回歸模型）描述變量間的關(guān)系；由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)通過(guò)后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計(jì)、預(yù)測(cè)因變量.其具體步驟是：收集數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖求回歸直線方程利用方程進(jìn)行預(yù)報(bào). 五.析案例 探問(wèn)題 案例：女大學(xué)生的身高與體重 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表所示： 編　號(hào) 　1 　2 　3 　4 　5 　6 　7 　8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重. 解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖： 2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫(huà)它們之間的關(guān)系。 3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上如下圖，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。 我們可以用線性回歸模型來(lái)表示：y=bx+a+，其中a和b為模型的未知參數(shù)，稱為隨機(jī)誤差。 根據(jù)最小二乘法估計(jì)和就是未知參數(shù)a和b的最好估計(jì)， 于是有b= 所以回歸方程是 . 所以，對(duì)于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為 . 對(duì)以上案例提出問(wèn)題 問(wèn)題1.身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？ 答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重在60.316kg左右。 問(wèn)題2.產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)的原因是什么？ 隨機(jī)誤差的來(lái)源(可以推廣到一般）： (1)、其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素； (2)、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差； (3)、身高 y 的觀測(cè)誤差. 問(wèn)題3. 線性回歸模型與一次函數(shù)的不同： 事實(shí)上，觀察上述散點(diǎn)圖，我們可以發(fā)現(xiàn)女大學(xué)生的體重和身高之間的關(guān)系并不能用一次函數(shù)來(lái)嚴(yán)格刻畫(huà)（因?yàn)樗械臉颖军c(diǎn)不共線，所以線性模型只能近似地刻畫(huà)身高和體重的關(guān)系）. 在數(shù)據(jù)表中身高為165cm的3名女大學(xué)生的體重分別為48kg、57kg和61kg，如果能用一次函數(shù)來(lái)描述體重與身高的關(guān)系，那么身高為165cm的3名女在學(xué)生的體重應(yīng)相同. 這就說(shuō)明體重不僅受身高的影響還受其他因素的影響，把這種影響的結(jié)果（稱為隨機(jī)誤差或殘差變量）引入到線性函數(shù)模型中，得到線性回歸模型，其中變量中包含體重不能由身高的線性函數(shù)解釋的所有部分. 當(dāng)變量恒等于0時(shí)，線性回歸模型就變成一次函數(shù)模型. 因此，一次函數(shù)模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式.