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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．已知A(0，－5)、B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，當(dāng)a＝3或5時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為(　　) A．雙曲線或一條直線 B．雙曲線或兩條直線 C．雙曲線一支或一條直線 D．雙曲線一支或一條射線 [答案]　D [解析]　當(dāng)a＝3時(shí)，|PA|－|PB|＝6<|F1F2|， 所以P的軌跡為雙曲線一支； 當(dāng)a＝5時(shí)，|PA|－|PB|＝10＝|F1F2|，所以P的軌跡為一條射線． 2．若k>1，則關(guān)于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲線是(　　) A．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 C．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 D．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 [答案]　C [解析]　將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1， ∵k>1，∴1－k<0，k2－1>0， ∴該方程表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線． 3．過點(diǎn)(1,1)，且＝的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.－y2＝1 B.－x2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1 [答案]　D [解析]　∵＝，∴b＝a，b2＝2a2. 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為－＝1，將點(diǎn)(1,1)代入得，－＝1，＝1，a2＝，b2＝1，雙曲線方程為－y2＝1. 同理，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線方程為－x2＝1. 4．雙曲線3x2－4y2＝－12的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(5,0) B．(0，) C．(，0) D．(0，) [答案]　D [解析]　雙曲線3x2－4y2＝－12化為標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝，又∵焦點(diǎn)在y軸上，故選D. 5．若方程＋＝1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．25 C．k<2或k>5 D．以上答案都不對(duì) [答案]　C [解析]　由題意得(k－2)(5－k)<0，∴(k－2)(k－5)>0，∴k>5或k<2. 6．已知點(diǎn)F1(－4,0)和F2(4,0)，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到F1、F2距離之差為6，則曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1(y>0) C.－＝1或－＝1 D.－＝1(x>0) [答案]　D [解析]　由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，其方程為：－＝1(x>0) 二、填空題 7．(xx北京文，12)已知(2,0)是雙曲線x2－＝1(b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則b＝________. [答案]　 [解析]　由題意知c＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝3，所以b＝. 8．雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)M(3,2)、N(－2，－1)，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是________． [答案]　－＝1 [解析]　設(shè)雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0)， 又點(diǎn)M(3,2)、N(－2，－1)在雙曲線上， ∴，∴. 三、解答題 9．過雙曲線x2－y2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)F1作垂直于實(shí)軸的弦AB，若F2為另一個(gè)焦點(diǎn)，求△AF2B的周長． [解析]　設(shè)|AF1|＝m，|AF2|＝n，那么n－m＝2a，又△AF1F2中，∠AF1F2＝90，所以n2－m2＝4c2， 則有 ①②得n＋m＝8， 所以△AF2B的周長為2(n＋m)＝16. 10．已知雙曲線x2－＝1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且＝0，求點(diǎn)M到x軸的距離． [答案]　 [解析]　由條件知c＝，∴|F1F2|＝2， ∵＝0，∴|MO|＝|F1F2|＝， 設(shè)M(x0，y0)，則， ∴y＝，∴y0＝. 故所求距離為. 一、選擇題 1．(xx揭陽一中高二期中)已知橢圓＋＝1(a>0)與雙曲線－＝1有相同的焦點(diǎn)，則a的值為(　　) A. B． C．4 D．10 [答案]　C [解析]　由條件知a2－9＝4＋3，∴a2＝16， ∵a>0，∴a＝4. 2．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線－y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且＝0，則|PF1||PF2|的值等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 [答案]　A [解析]　∵＝0，∴⊥. 又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝20， ∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝20－2|PF1||PF2|＝16， ∴|PF1||PF2|＝2. 3．已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)，點(diǎn)P在該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線的方程是(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D．－＝1 [答案]　B [解析]　由條件知P(，4)在雙曲線－＝1上，∴－＝1， 又a2＋b2＝5，∴，故選B. 4．(xx重慶文，9)設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為(　　) A． B． C．1 D． [答案]　C [解析]　由已知得右焦點(diǎn)F(c,0)(其中c2＝a2＋b2，c>0)，A1(－a,0)，A2(a,0)；B(c，－)，C(c，)；從而A1B―→＝(c＋a，－)，＝(c－a，)，又因?yàn)锳1B⊥A2C，所以A1B―→A2C―→＝0，即(c－a)(c＋a)＋(－)()＝0；化簡得到＝1?＝1，即雙曲線的漸進(jìn)線的斜率為1；故選C. 二、填空題 5．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線－＝1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝8，則|PF2|＝________. [答案]　20 [解析]　由題意知，a＝6，c＝＝＝8， ∵|PF1|＝80，b>0)， 又點(diǎn)A(x0,4)在橢圓＋＝1上，∴x＝15， 又點(diǎn)A在雙曲線－＝1上，∴－＝1， 又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5， 所求的雙曲線方程為：－＝1. 8．當(dāng)0≤α≤180時(shí)，方程為x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲線怎樣變化？ [答案]　α＝0或90表示直線　0<α<45或45<α<90表示橢圓　α＝45表示圓　90<α<180表示雙曲線　α＝180不表示任何曲線 [解析]　(1)當(dāng)α＝0時(shí)，方程x2＝1，它表示兩條平行直線x＝1和x＝－1. (2)當(dāng)0<α<90時(shí)，方程為 ＋＝1. ①當(dāng)0<α<45時(shí)，0<<，它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓． ②當(dāng)α＝45時(shí)，它表示圓x2＋y2＝. ③當(dāng)45<α<90時(shí)，>>0，它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓． (3)當(dāng)α＝90時(shí)，方程為y2＝1，它表示兩條平行直線y＝1和y＝－1. (4)當(dāng)90<α<180時(shí)，方程為－＝1，它表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線． (5)當(dāng)α＝180時(shí)，方程為x2＝－1，它不表示任何曲線．