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1、《兩條直線平行與垂直的判定》的教學(xué)設(shè)計(jì)、反思和重新設(shè)計(jì) 高中課堂教學(xué)研究中小學(xué)數(shù)學(xué)坤學(xué)版iIII 原始教學(xué)設(shè)計(jì) 一 ,內(nèi)容與內(nèi)容解析 直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關(guān)系, 本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用斜率來判斷兩條直線的這 兩種重要的位置關(guān)系.兩條直線平行與垂直的判定這 節(jié)內(nèi)容,安排在學(xué)習(xí)了傾斜角與斜率之后,是直線的 斜率這個(gè)工具的一個(gè)具體應(yīng)用. 在初中數(shù)學(xué)平面幾何中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過判斷兩 條直線是否平行的方法,如同位角相等兩直線平行等 等,也學(xué)習(xí)過如何判斷兩條直線是否垂直的方法.在 高中《數(shù)學(xué)0》中的第二章立體幾何中,我們從宏觀 上知道兩條直線有三種位置關(guān)系:

2、相交,平行和異面, 其中垂直也是兩條直線的位置關(guān)系的一種特殊情況. 那么,在第三章《直線與方程》中,我們是通過建立直 角坐標(biāo)系,計(jì)算兩條直線的斜率(如果存在)的關(guān)系, 來判斷兩條直線的位置關(guān)系.這是從微觀的角度來考 慮,是通過代數(shù)關(guān)系得到幾何結(jié)論,體現(xiàn)了用代數(shù)方 法研究幾何問題的笛卡爾坐標(biāo)法思想. 當(dāng)兩條不重合直線平行時(shí),它們的斜率相等,或 者它們的斜率都不存在,這時(shí)這兩條直線都與軸垂 直.反之,若兩條不重合直線的斜率k=k或斜率同 時(shí)不存在,那么我們可以得到這兩條直線平行.由k = k:,可得到Z與z的傾斜角相等,這樣就把代數(shù)關(guān) 系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系,根據(jù)幾何知識(shí),兩條

3、直線被第三 條直線所截,同位角相等,兩直線平行,從而判定直 線I與f:平行. 類比,教材提出思考題”2上f:時(shí),k.與k:滿足什 么關(guān)系?”實(shí)際上,如果兩條直線都有斜率,且它們互 相垂直,那么它們的斜率之積等于一1;反之,如果它 們的斜率之積等于一1,那么它們互相垂直,即l.上 12k:=一1.這個(gè)結(jié)論成立的條件是兩條直線都有 斜率,并且都不等于零.當(dāng)2.上1:時(shí),還有一種特殊情 況是,l.與z中一條直線的斜率不存在,另一條直線的 斜率為零.具體證明結(jié)論時(shí),教材利用”三角形任一 外角等于其不相鄰兩內(nèi)角之和”得到Ot:=90.+O/, 并利用tana:=tan(90.+)

4、=一,得到一= 一 1.反過來時(shí),這個(gè)結(jié)論也成立.這里再次體現(xiàn)了解 . 15. l中小學(xué)數(shù)學(xué)?中學(xué)版I__…………………?-課堂教學(xué)研究 析幾何的思想,即通過代數(shù)關(guān)系獲得幾何結(jié)論 二,目標(biāo)與目標(biāo)解析 根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中的要 求:能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.根據(jù)《浙 江省普通高中新課程試驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見 (2009版)》,本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是:①掌握用斜率判 定兩條直線平行和垂直的方法;②能利用斜率解決具 體問題,關(guān)鍵是掌握這種數(shù)學(xué)思想方法,即用代數(shù)方 法研究幾何問題的笛卡爾坐標(biāo)法思想.在本節(jié)課中, 始終滲透要這種解析幾何思想方法

5、,培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化 和化歸的能力. 三,教學(xué)問題診斷分析 本課時(shí)要求學(xué)生掌握用斜率判定兩條直線平行 和垂直的方法,能利用斜率解決具體問題.判定兩條 直線的位置關(guān)系的方法,學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)過程中已 經(jīng)有一定的基礎(chǔ),而且傾斜角的概念和斜率的公式也 剛剛學(xué)習(xí)完,這是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).所以教師的任 務(wù)之一是引導(dǎo)學(xué)生觀察兩條直線的兩種特殊位置關(guān) 系——平行和垂直,得出它們的斜率之間的代數(shù)關(guān) 系,通過觀察和猜想,再進(jìn)行證明,最后利用這個(gè)特 殊的代數(shù)關(guān)系,進(jìn)而判定兩條直線的位置關(guān)系. 綜上所述,教學(xué)重點(diǎn)是掌握用斜率判定兩條直線 平行和垂直的方法,教學(xué)難點(diǎn)是當(dāng)兩條直線垂直時(shí), 如何歸

6、納出它們之間斜率的代數(shù)關(guān)系. 四,教學(xué)支持條件分析 本課時(shí)充分借助信息技術(shù)手段,如幾何畫板, Powerpoint等.借助幾何畫板工具,形象直觀地展示, 當(dāng)兩條直線垂直時(shí),它們斜率之間的代數(shù)關(guān)系,幫助 學(xué)生直觀上認(rèn)識(shí)和猜想f上12甘:=一1.這樣也更 . 16一 好解決教學(xué)的難點(diǎn) 高中 五,教學(xué)過程設(shè)計(jì) (一)復(fù)習(xí)練習(xí) 1.已知直線CD的傾斜角為45.,點(diǎn)E(一1,0), F(0,1),求.,Jj}E,及直線EF的傾斜角0 2.已知c(3,0),H(3,一1),K(一2,0),S(一2,1),求 直線GH與KS的傾斜角分別為多少度? 3.已知A’(2,0),B(

7、O,2),P(一1,0),Q(0,一1), 求直線AB的斜率k與直線PQ的斜率 設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容:直線的傾斜角和斜 率公式,并引出本節(jié)課研究的內(nèi)容,即兩條直線平行 與直線的斜率之間的代數(shù)關(guān)系. (二)探究新知和結(jié)論應(yīng)用 問:請(qǐng)你分別畫出每小題中的直線,并且判斷兩 條直線的位置關(guān)系.你能猜想到什么結(jié)論?請(qǐng)說明理 由. 設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生觀察,猜想和證明,兩條直 線平行和它們的斜率之間的代數(shù)關(guān)系,并結(jié)合具體的 兩條直線平行的實(shí)例,進(jìn)一步引導(dǎo)和歸納完善結(jié)論, 即當(dāng)兩條不重合的直線l,f:的斜率分別為,時(shí),l ∥12甘l=2. 師生歸納:若兩條不重合的直線平行,則它

8、們的 斜率相等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立. 練習(xí)題組一 已知點(diǎn)A(2,3),(一4,0),P(一3,1),Q(一1,2), c(o,2),D(一尋,一3),E(7,0). (1)試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系. (2)試判斷A,B,C三點(diǎn)是否在同一條直線上? 高中…………-…………?一課堂教學(xué)研究? (3)試判斷四邊形ABDE的形狀. 設(shè)計(jì)意圖:本題組是對(duì)歸納的結(jié)論進(jìn)行簡單的應(yīng) 用,引導(dǎo)學(xué)生掌握用斜率判定兩條直線平行的方法. 第1小題是通過代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系,第2小題 是為了讓學(xué)生掌握,通過斜率來判斷三點(diǎn)是否共線的 方法.第3小題是課本例題的改編,安排的

9、意圖是引 導(dǎo)學(xué)生并根據(jù)圖形進(jìn)行進(jìn)一步猜想,兩條直線垂直 時(shí),它們之間的斜率有什么代數(shù)關(guān)系,即z上 12甘j}lJ}2=一1. 問:當(dāng)A曰上AE時(shí),直線日的斜率Jj}與直線AE 的斜率滿足什么關(guān)系?并說明理由.(用幾何畫板 演示過程)Jhy /日OEi 幽l 思考:當(dāng)直線AB旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過點(diǎn)A(2,3), 口(一5,3),AE經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),E(2,一1)時(shí),則直線 AB與AE的位置關(guān)系如何?剛才歸納的結(jié)論還成立嗎? 請(qǐng)畫出圖形. 設(shè)計(jì)意圖:利用幾何畫板,轉(zhuǎn)動(dòng)直線AB且保持 AB上AE,讓學(xué)生進(jìn)一步觀察和猜想與的代數(shù) 關(guān)系,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明fl上12甘J}=一1.

10、在觀 察,猜想和證明的基礎(chǔ)上,結(jié)合思考題給出的實(shí)例,進(jìn) 一 步歸納和改進(jìn)完善剛才的結(jié)論. 師生歸納:Z1上12|j}:=一1或者Z.與f中一條 直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零. 練習(xí)題組二 1.判斷下列各小題中的每對(duì)直線是否垂直: ……………-- I中小學(xué)數(shù)學(xué)坤學(xué)版fl■ (1)l1的斜率為一了2, 經(jīng)過A(1,1),B(o,一); (2)Z.的傾斜角為45.,Z經(jīng)過點(diǎn)P(一2,一1), Q(3,一6). 2.已知直線f1經(jīng)過點(diǎn)A(m,1),B(3,4),z:經(jīng)過點(diǎn) c(1,m),D(一1,m+1),根據(jù)下列條件求m的值: (1)ZlJ_Z2; (2)

11、AD上BC. 設(shè)計(jì)意圖:對(duì)上述歸納的結(jié)論進(jìn)行簡單的應(yīng)用. 第1小題要求學(xué)生利用斜率的關(guān)系,即代數(shù)關(guān)系來判 斷兩條直線的幾何位置關(guān)系;第2小題中,要求學(xué)生 能根據(jù)兩條直線的幾何位置關(guān)系,得出代數(shù)關(guān)系,引 導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用方程的思想進(jìn)行解決. 練習(xí)題組三 1.過點(diǎn)(一1,1)且斜率為的直線z.與過點(diǎn) (一—2,0)且斜率為的直線z平行,求m,并畫 出圖形. (答案:m=一9,”-3m=1時(shí),Zl與Z重合,舍去) 2.在AABC中,已知頂點(diǎn)A(一10,2),B(6,4),垂 心為H(5,2),求點(diǎn)c的坐標(biāo). (答案:C(6,一6)) - B6,4) 一 :2一一一1 \

12、日.2) \/C 圖2 設(shè)計(jì)意圖:對(duì)本節(jié)課歸納的結(jié)論進(jìn)行簡單的綜合 應(yīng)用. (三)歸納小結(jié) - l7一 一-I中小學(xué)數(shù)學(xué)坤學(xué)版I___………………-- 1.若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率相 等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立. 2.21J-12甘1k2m---一1或者ll與12中一條直線的 斜率不存在,另一條直線的斜率為零. (四)目標(biāo)檢測設(shè)計(jì) 作業(yè)本 敦學(xué)后的反思 在我們區(qū)上完《兩條直線平行與垂直的判定》公 開課后,老師各抒己見,對(duì)本課的一些教學(xué)細(xì)節(jié)進(jìn)行 了批評(píng).筆者在教學(xué)完這節(jié)課后,也進(jìn)行了對(duì)本節(jié)課 的反思,綜合起來,有以下幾點(diǎn). 第一,這

13、節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)突出的核心數(shù)學(xué)思想 方法是什么?我們知道,在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中,應(yīng)該突 出核心的數(shù)學(xué)思想方法.那么本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)思想 方法是什么呢?我們討論的結(jié)果是,坐標(biāo)法思想.通 過求兩條直線的斜率的代數(shù)關(guān)系,判斷它們之間的位 置關(guān)系.這是這節(jié)課的核心內(nèi)容.在前面所學(xué)習(xí)過的 內(nèi)容中,我們已經(jīng)能夠判斷兩條直線的平行和垂直的 位置關(guān)系.比如,同位角相等,兩直線平行;我們?cè)? 向量的學(xué)習(xí)過程中,通過向量也能判斷兩條直線平行 和垂直;通過解三角形求角,也能判斷兩條直線是否 垂直.那么本節(jié)課是利用坐標(biāo)法思想,通過建立兩條 直線的斜率的代數(shù)關(guān)系,來判斷兩條直線是否平行或 垂直.在這一

14、章中,我們始終要體現(xiàn)的是坐標(biāo)法的思 想,這是我們的根本大法.在課堂中,我們受到了向 量法的干擾,這里是否需要展開呢?還是就此打住? 我們教師也各抒己見.有的認(rèn)為可以復(fù)習(xí)以前向量的 內(nèi)容,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,課堂也顯得更加豐富. 有的認(rèn)為本節(jié)課的核心是坐標(biāo)法,所以其它方法不必 一 18一 課堂教學(xué)研究…………………………高中 要進(jìn)行拓展,點(diǎn)到為止.筆者贊同的是后一種意見. 一 節(jié)課的展開必須圍繞著核心的思想方法進(jìn)行展開, 削支強(qiáng)干. 第二,關(guān)于課題的引入問題.本節(jié)課,筆者利用 三個(gè)小題,復(fù)習(xí)前一節(jié)課的內(nèi)容,傾斜角的概念和斜 率的公式.同時(shí)利用這三個(gè)小題作為引入,歸納

15、出兩 條不重合直線平行的條件是它們的斜率相等或者它 們的斜率同時(shí)不存在.這樣引入既能復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi) 容,又能導(dǎo)出本節(jié)課的主要內(nèi)容,筆者上完本節(jié)課之 后,也覺得過渡比較自然.評(píng)課的老師提出了寶貴的 意見,本節(jié)課為什么要用斜率來判斷兩條直線的位置 關(guān)系呢?我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:”數(shù)缺形時(shí)少 直觀,形少數(shù)時(shí)難人微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家事 萬休.”那么本節(jié)課的引入是否觸及到本節(jié)課的核心 思想方法——坐標(biāo)法呢?答案是否定的.因此我們?cè)? 引入時(shí),用計(jì)算機(jī)畫出兩條看似平行的直線,但實(shí)際 上不平行,作為研究的對(duì)象進(jìn)行深入研究,這樣可能 更好地體現(xiàn)本節(jié)課的內(nèi)容,也能回答為什么要用

16、斜率 來判斷兩條直線的位置關(guān)系了.這樣修改之后,本節(jié) 課也更加緊湊了,留給學(xué)生的自主思考的時(shí)間也更加 充裕.在修改后的教學(xué)設(shè)計(jì)中,筆者采用了這樣的想 法.至于課堂的教學(xué)效果,還看具體的實(shí)踐,也希望 各位專家提出寶貴的意見. 修改后的教學(xué)過程設(shè)計(jì) (一)新課引入 問:請(qǐng)同學(xué)們觀察圖3,你能判斷直線AB與直線 CD的位置關(guān)系嗎? 設(shè)計(jì)意圖:激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)可以復(fù)習(xí) 上節(jié)課內(nèi)容直線的傾斜角和斜率公式,并引出本節(jié)課 高中………………………課堂教學(xué)研究- 研究的內(nèi)容,用代數(shù)的方法來研究兩條直線的位置關(guān) 系,即兩條直線平行與直線的斜率之間的代數(shù)關(guān)系. 由 J ●

17、 / / l 圖3 (二)探究新知和結(jié)論應(yīng)用 問:如何判斷這兩條直線的位置關(guān)系?請(qǐng)說明理 設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生思考和證明,兩條直線平行 和它們的斜率之間的代數(shù)關(guān)系,并結(jié)合具體的兩條直 線平行的實(shí)例,進(jìn)一步引導(dǎo)和歸納完善結(jié)論,即當(dāng)兩 條不重合的直線z,1:的斜率分別為k.,k:時(shí),z∥ 12~Ok1=k2. 歸納:若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率 相等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立. 練習(xí)題組一 已知點(diǎn)A(2,3),B(一4,0),P(一3,1),Q(一1,2), C(0,2),D(一5,一3),E(,0). (1)試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系.問:直線

18、 AB與JPQ是否重合? (2)試判斷A,B,C三點(diǎn)是否在同一條直線上? (3)試判斷四邊形ABDE的形狀. 設(shè)計(jì)意圖:本題組是對(duì)歸納的結(jié)論進(jìn)行簡單的應(yīng) 用,引導(dǎo)學(xué)生掌握用斜率判定兩條直線平行的方法. 第1小題是通過代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系,第2小題 是為了讓學(xué)生掌握,通過斜率來判斷三點(diǎn)是否共線的 中小學(xué)數(shù)學(xué)坤學(xué)版}羹 方法.歸納完判斷三點(diǎn)是否共線的方法之后,再追問, 直線A日與PQ是否重合呢?追問的目的是讓學(xué)生進(jìn)行 數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎?第3小題是課本例題的改編, 安排的意圖是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形進(jìn)行進(jìn)一步猜想,兩 條直線垂直時(shí),它們之間的斜率有什么代數(shù)關(guān)系,即 Zl上Z

19、21k2=一1. 問:當(dāng)AB上AE時(shí),直線AB的斜率k與直線AE 的斜率k滿足什么關(guān)系?并說明理由.(用幾何畫板 演示過程) 思考:當(dāng)直線AB旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過點(diǎn)A(2,3), 曰(一5,3),AE經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),E(2,一1)時(shí),直線AB 與AE的位置關(guān)系如何?剛才歸納的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng) 畫出圖形 J /一B0E 幽4 設(shè)計(jì)意圖:使用幾何畫板作為教學(xué)輔助工具,旋 轉(zhuǎn)直線AB和AE,并且保持AB上AE,讓學(xué)生進(jìn)一步 觀察和猜想k與k的代數(shù)關(guān)系,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行 證明2.上12甘.k2=一1.在觀察,猜想和證明的基礎(chǔ) 上,結(jié)合思考題給出的實(shí)例,進(jìn)一步歸納和改進(jìn)完善 剛才

20、的結(jié)論. 師生歸納:Z1上12錚Jj}l|j}2=一1或者f.與f2中一條 直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零. 練習(xí)題組二 1.判斷下列各小題中的每對(duì)直線是否垂直: (1)z的斜率為一了2, f2纈A(1,1),(0,一); . 19. 一lf中小學(xué)數(shù)學(xué).中學(xué)版I課堂教學(xué)研究 一 20. 高中 另一條直線的斜率不存在的情況,進(jìn)行鞏固練習(xí). (三)歸納小結(jié) 1?若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率相 等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立. 2?zt上f2舒七一k2=一1或者l與f2中一條直線的 斜率不存在,另一條直線的斜率為零. (四)目標(biāo)檢測設(shè)計(jì) 參考文獻(xiàn): [1]中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數(shù)學(xué) 課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京:人民教育出版社 ,2003年 版. [2]浙江省普通高中新課程實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué) 指導(dǎo)意見.浙江教育出版社. 2009版 [3]章建躍.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究. 數(shù)學(xué)通報(bào) J],2006年第6期. [4]數(shù)學(xué)教學(xué)反思的內(nèi)容與方法, 中國數(shù)學(xué)教育 高中版),2008年第4期.