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第一章 變量與函數(shù),1.1 常用符號(hào) 1.2 函 數(shù),一、充分條件、必要條件、充要條件,1、定義：設(shè)A為條件，B為結(jié)論,,,若有A就有B，則稱A是B的充分條件，記作：A B,,若有B必有A，則稱A是B的必要條件，記作：A B 若有A就有B，且有B必有A，則稱A是B的充要條件, 記作：A B,,,1.1 常用符號(hào),A B A是B的什么條件 符號(hào) θ= θ=1 A是B的充分條件 A B a = 3 a =3 A是B的必要條件 A B 三條邊相等 全等 A是B的充要條件 A B,,,,例如：,2、 幾點(diǎn)說(shuō)明,,（1）根據(jù)命題中的條件與結(jié)論是相對(duì)的，而不是絕 對(duì)的，因此充分與必要條件也是相對(duì)的，而不 是絕對(duì)的。,如：A B 表示A為條件, B為結(jié)論, A是B的充分條件,,B A 表示B為條件, A為結(jié)論, B是A的必要條件,,（2）若A B,則B A，且稱A與B等價(jià)，常用“當(dāng) 且僅當(dāng)，有且僅有”表示,,,（3）各種條件的作用,充要條件:可以轉(zhuǎn)化矛盾,簡(jiǎn)化問(wèn)題,充分條件:可以討論相關(guān)的結(jié)論,必要條件:可以縮小討論范圍,二、實(shí)數(shù)與數(shù)軸,,1、,2、數(shù)軸：有方向，原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度的直線。,數(shù)軸上點(diǎn)A的坐標(biāo)是實(shí)數(shù)2，數(shù)軸上點(diǎn)B的坐標(biāo)是實(shí)數(shù)-1。,二者關(guān)系：全體實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的全體點(diǎn)之間有一一對(duì) 應(yīng)關(guān)系。因此，在今后的學(xué)習(xí)中，“數(shù)a”與“點(diǎn)a” 就有相同的含義。,,,3.區(qū)間:,是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,稱為開(kāi)區(qū)間,,稱為閉區(qū)間,,,,,,,,,,,,稱為半開(kāi)區(qū)間,,稱為半開(kāi)區(qū)間,,,,,,,,,,,,有限區(qū)間,無(wú)限區(qū)間,區(qū)間長(zhǎng)度的定義:,兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.,,,,4.鄰域:,,,,,例：求點(diǎn)- 的 鄰域。 解：a = - , δ= ∴a-δ= - - , a+δ=- + ∴(- - , - + )是所求的鄰域。,5.常量與變量:,在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,,注意,常量與變量是相對(duì)“過(guò)程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,,而數(shù)值變化的量稱為變量.,常量與變量的表示方法：,用字母x, y, t等表示變量.,運(yùn)算性質(zhì):,,,絕對(duì)值不等式:,三、 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,四 、 集合 1、定義 所謂集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的全體。一般用大寫(xiě)字母A，B， …，K， N，…表示。 構(gòu)成集合的事物稱為集合的元素，用小寫(xiě)字母 x ,a，……表示。 若事物a是集合A的元素，記作：a ∈A。 若事物a不是集合A的元素，記作：a A。,2、類(lèi)型 有限集：只含有有限個(gè)元素的集合。 無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。 空 集：不含有任何元素的集合，記作φ。,3、表示法 （1）列舉法：按某種順序列出集合中全部元素的方法。 一般形式 A=｛ , ,…， ｝ 或B=｛ ， ，…， ，… ｝ 例 如：A=｛2，4，6，8，10 ｝ B=｛1,3,5，7，…,2n+1,…｝,4、數(shù)集 如果集合里的元素全是數(shù)，則稱為數(shù)集（是特殊 的集合）。 幾個(gè)特殊的數(shù)集： 實(shí)數(shù)集R 、有理數(shù)集Q、正整數(shù)集N、整數(shù)集Z,5、集合間的關(guān)系：設(shè)A與B是兩個(gè)集合 （1）子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱 A是B的子集。記作A B或B A。 （2）相等：如果A B且B A，則稱A與B相等。 記作：A=B。 （3）并集：集合D=｛x x∈A或x∈B｝稱為A與B的 并集。記作：D=A ∪ B。,,A ∪ B,,,,（4） 交集：集合 E=｛x x∈A且x∈B｝稱為A與B 的交集，記作：E=A ∩ B。,,,A,B,A ∩ B,（5） 差集：集合F=｛x x∈A且x B｝稱為A 與B的差集。記作: F=A - B。,,五、幾種常用符號(hào)： n！—表示不超過(guò)n的所有自然數(shù)的連乘積， 記作n的階乘。 n!!—表示不超過(guò)n的并與n有相同奇偶性的 自然數(shù)的連乘積，記作n的雙階乘。,如：5！=12345 5!!=135 規(guī)定： 0!!=1,max——表示“最大”，是 maximum 的縮寫(xiě) min——表示“最小”，是 minimum 的縮寫(xiě) ——表示“任意”或“任意一個(gè)” ——表示“存在”或“能找到” 例如： 數(shù)集A有上界 b∈R， x∈A，有x≤b 數(shù)集A有下界 b∈R， x∈A，有x≥b,數(shù)集分類(lèi):,N----自然數(shù)集,Z----整數(shù)集,Q----有理數(shù)集,R----實(shí)數(shù)集,數(shù)集間的關(guān)系:,例如,不含任何元素的集合稱為空集.,例如,,規(guī)定,空集為任何集合的子集.,第一章 函數(shù),例 圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng),1.1 函 數(shù),一、函數(shù)概念,因變量,自變量,數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域,,,,,,,自變量,因變量,對(duì)應(yīng)法則f,函數(shù)的兩要素:,定義域與對(duì)應(yīng)法則.,約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.,,定義:,,,,,,,,,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．,(1) 符號(hào)函數(shù),幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例,(2) 取整函數(shù) y=[x] [x]表示不超過(guò) 的最大整數(shù),階梯曲線,(3) 狄利克雷函數(shù),(4) 取最值函數(shù),例1,脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫(xiě)出電壓U與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系式.,解,單三角脈沖信號(hào)的電壓,例2,解,故,二、函數(shù)的特性,有界,無(wú)界,1．函數(shù)的有界性:,2．函數(shù)的單調(diào)性:,3．函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),奇函數(shù),4．函數(shù)的周期性:,（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,,定義 設(shè)函數(shù) 定義在數(shù)集 上, 函數(shù) , 定義在數(shù)集 上, 是 中使 的 的非空子集,即 ,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,對(duì)應(yīng)唯一一個(gè) ,再按照對(duì)應(yīng)關(guān)系 對(duì)應(yīng)唯一一個(gè) ,于是 都對(duì)應(yīng)唯一一個(gè) .于是在 上定義了一個(gè)函數(shù),表為 ,稱為函數(shù) 與 的復(fù)合函數(shù),即 稱為中間變量.記為：,三、復(fù)合函數(shù),四、反函數(shù),,,,,,,,,,,直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱.,,定義 設(shè)函數(shù) 在數(shù)集 有定義. 若 ,有 (或 ), 則稱函數(shù) 在 一一對(duì)應(yīng). 函數(shù) 在 一一對(duì)應(yīng),就是 把不同的 對(duì)應(yīng)為不同的 , 即 只有唯一一個(gè) ,使 .,例3 設(shè)狄利克雷函數(shù),解,單值函數(shù),,有界函數(shù),,偶函數(shù),,周期函數(shù)(無(wú)最小正周期),不是單調(diào)函數(shù),,五 、初等函數(shù),定義: 常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)，這六類(lèi)元素稱為基本初等函數(shù). 定義: 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算以及有限次的復(fù)合所生成的函數(shù)稱為初等函數(shù),否則,稱為非初等函數(shù). 如: 等都是初等函數(shù).但是,狄利克雷函數(shù) ,符號(hào)函數(shù) 等都是非初等函數(shù).,小結(jié),基本概念 集合, 區(qū)間, 鄰域, 常量與變量, 絕對(duì)值.,函數(shù)的概念,函數(shù)的特性 有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.,反函數(shù),思考題,