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1、第二節(jié) 直線的交點坐標與距離公式1.1.兩條直線的交點兩條直線的交點唯一解唯一解無解無解有無數組解有無數組解2.2.三種距離三種距離點點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )之間之間的距離的距離 _ _點點P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直線到直線l:Ax+By+C:Ax+By+C=0=0的距離的距離 _ _兩條平行線兩條平行線Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0與與Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0間的距離間的距離 d=_d=_222121(xx )(yy )0022|AxByC|ABd 1222|CC |A

2、B12|PP |判斷下面結論是否正確判斷下面結論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交.( ).( )(2)(2)點點P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直線到直線y=kx+by=kx+b的距離為的距離為 ( )( )(3)(3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離距離.( ).( )(4)(4)若點若點A A，B B關于直線關于直線l :y=kx+b(k0) :y=kx+b(k0)對稱，則直線對稱，則

3、直線ABAB的斜率的斜率等于等于 且線段且線段ABAB的中點在直線的中點在直線l上上.( ).( )02|kxb|.1k1k，【解析】【解析】(1)(1)錯誤，當方程組有唯一解時兩條直線相交，若方錯誤，當方程組有唯一解時兩條直線相交，若方程組有無窮多個解，則兩條直線重合程組有無窮多個解，則兩條直線重合. .(2)(2)錯誤，應用點到直線的距離公式時必須將直線方程化為一錯誤，應用點到直線的距離公式時必須將直線方程化為一般式，即本問題的距離為般式，即本問題的距離為 (3)(3)正確，因為最小值就是由該點向直線所作的垂線段的長，正確，因為最小值就是由該點向直線所作的垂線段的長，即點到直線的距離即點到

4、直線的距離. .(4)(4)正確，因為線段正確，因為線段ABAB被直線被直線l垂直平分垂直平分. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (4) (3) (4)002|kxyb|.1k1.1.已知點已知點(a,2)(a(a,2)(a0)0)到直線到直線l：x-y+3=0 x-y+3=0的距離為的距離為1 1，則，則a a等等于于( )( )(A)(A) (B) (B)(C) (D) (C) (D) 【解析】【解析】選選C.C.由由 且且a a0 0，得，得2222121|a23|12a21.2.2.若三條直線若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0y=2x,x+y=3,

5、mx+ny+5=0相交于同一點，相交于同一點，則點則點(m,n)(m,n)可能是可能是( )( )(A)(1(A)(1，-3) (B)(3-3) (B)(3，-1)-1)(C)(-3(C)(-3，1) (D)(-11) (D)(-1，3)3)【解析】【解析】選選A.A.由由m+2n+5=0m+2n+5=0，點點(m,n)(m,n)可能是可能是(1(1，-3).-3).y2x,x1,xy3,y2,得3.3.點點(a,b)(a,b)關于直線關于直線x+y+1=0 x+y+1=0的對稱點是的對稱點是( )( )(A)(-a-1,-b-1) (B)(-b-1,-a-1)(A)(-a-1,-b-1) (

6、B)(-b-1,-a-1)(C)(-a,-b) (D)(-b,-a)(C)(-a,-b) (D)(-b,-a)【解析】【解析】選選B.B.設對稱點為設對稱點為(x,y)(x,y)，則，則 解得：解得：x=-b-1x=-b-1，y=-a-1.y=-a-1.yb( 1)1,xaxayb1022 ，4.4.已知已知A(a,-5)A(a,-5)，B(0,10)B(0,10)，|AB|=17|AB|=17，則，則a=_.a=_.【解析】【解析】依題設及兩點間的距離公式得：依題設及兩點間的距離公式得： 解得解得a=a=8.8.答案答案: :8 822(a0)( 5 10)17, 5.5.平行線平行線l1

7、1：3x-2y-5=03x-2y-5=0與與l2 2: : 之間的距離為之間的距離為_._.【解析】【解析】直線直線l2 2可化為：可化為：3x-2y+ =03x-2y+ =0，由平行線間的距離公式，由平行線間的距離公式得：得：答案答案: :33yx2432223| 5|132d.23( 2) 132考向考向 1 1 直線的交點直線的交點【典例【典例1 1】求經過直線求經過直線l1 1:3x+2y-1=0:3x+2y-1=0和和l2 2:5x+2y+1=0:5x+2y+1=0的交點，的交點，且垂直于直線且垂直于直線l3 3:3x-5y+6=0:3x-5y+6=0的直線的直線l的方程的方程. .

8、【思路點撥】【思路點撥】可先求出兩條直線的交點坐標，再用點斜式可先求出兩條直線的交點坐標，再用點斜式求解；也可用與直線垂直的直線系方程或過兩條直線交點求解；也可用與直線垂直的直線系方程或過兩條直線交點的直線系方程求解的直線系方程求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】方法一：先解方程組方法一：先解方程組得得l1 1，l2 2的交點坐標為的交點坐標為(-1(-1，2)2)，再由再由l3 3的斜率的斜率 求出求出l的斜率為的斜率為于是由直線的點斜式方程求出于是由直線的點斜式方程求出l： 即即5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.3x2y 105x2y10 ，3553 ，5y2(x1)3 ，方法二：由于

9、方法二：由于ll3 3，故，故l是直線系是直線系5x+3y+C=05x+3y+C=0中的一條，中的一條，而而l過過l1 1，l2 2的交點的交點(-1(-1，2)2)，故故5 5(-1)+3(-1)+32+C=02+C=0，由此求出，由此求出C=-1C=-1，故故l的方程為的方程為5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.方法三：由于方法三：由于l過過l1 1，l2 2的交點，故的交點，故l是直線系是直線系3x+2y-1+(5x+2y+1)=03x+2y-1+(5x+2y+1)=0中的一條，中的一條，將其整理，得將其整理，得(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0.(3+5)x+(2+2)y+

10、(-1+)=0.其斜率其斜率 解得解得代入直線系方程即得代入直線系方程即得l的方程為的方程為5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.355223 ，15 ，【拓展提升】【拓展提升】1.1.兩直線交點的求法兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交點方程組的解為坐標的點即為交點. .2.2.常見的三大直線系方程常見的三大直線系方程(1)(1)與直線與直線Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行的直線系方程是平行的直線系方程是Ax+By+m=0(mRAx+By+m=0(mR且且mC).mC)

11、.(2)(2)與直線與直線Ax+By+C=0Ax+By+C=0垂直的直線系方程是垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(mR).Bx-Ay+m=0(mR).(3)(3)過直線過直線l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0與與l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交點的直線系的交點的直線系方程為方程為A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(R)=0(R)，但不包括，但不包括l2 2. .【變式訓練】【變式訓練】(1)(1)已知直線方程為已知直線方程為(2a+1)x+(3a-

12、2)y-18a+5=0(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，求證：無論求證：無論a a為何實數值，直線必過定點，并求出該定點的坐為何實數值，直線必過定點，并求出該定點的坐標標. .【解析】【解析】原方程可化為原方程可化為x-2y+5+a(2x+3y-18)=0 x-2y+5+a(2x+3y-18)=0，它表示過直線它表示過直線x-2y+5=0 x-2y+5=0與直線與直線2x+3y-18=02x+3y-18=0交點的直線系方程，交點的直線系方程，無論無論a a取何值它都過兩直線的交點，由取何值它都過兩直線的交點，由所以直線過定點所以直線過定點(3(3，4).4).x2y50,x3,2

13、x3y 180,y4.解得(2)(2)當當m m為何值時，三條直線為何值時，三條直線l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0與與l2 2：x+y=0,x+y=0,l3 3：2x-3my-4=02x-3my-4=0能圍成一個三角形能圍成一個三角形? ?【解析】【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點. .當當m0m0時，有時，有24123mmm.26313m ，解得：且，又因為又因為l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0與與l2 2：x+y=0 x+y=0的交點為的交點為(1,-1)(1,-1)，所以所以2+3m-402+3m-4

14、0，解得，解得當當m=0m=0時，時，l3 3:2x-4=0,:2x-4=0,l1 1:4x+y-3=0,:4x+y-3=0,l2 2:x+y=0,:x+y=0,l1 1與與l3 3的交點為的交點為(2,-5)(2,-5)，l1 1與與l2 2的交點為的交點為(1,-1),(1,-1),l2 2與與l3 3的交點為的交點為(2,-2)(2,-2)，能構成三角形，符合題意能構成三角形，符合題意. .綜上可知：綜上可知：2m.3122m,mm.633 且且考向考向 2 2 三種距離公式的應用三種距離公式的應用【典例【典例2 2】(1)(2012(1)(2012北京模擬北京模擬) )在在OABOAB

15、中，中，O O為坐標原點，為坐標原點，A(1A(1，cos )cos )，B(sin B(sin ，1)1)，則，則OABOAB的面積的取值范圍的面積的取值范圍是是( )( ) 1 3A (01 B 2 21 31 3C D 4 24 4， ，(2)(2)圓圓C C：x x2 2+y+y2 2=4=4上的點到直線上的點到直線l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0距離的最大值為距離的最大值為_._.(3)(3)已知直線已知直線l1 1:mx+8y+n=0:mx+8y+n=0與與l2 2:2x+my-1=0:2x+my-1=0互相平行，且互相平行，且l1 1, ,l2 2之之間的距離為間的

16、距離為 求直線求直線l1 1的方程的方程. .5，【思路點撥】【思路點撥】(1)(1)利用兩點間距離公式求出利用兩點間距離公式求出|OA|OA|，再利用點到，再利用點到直線的距離公式求出點直線的距離公式求出點B B到直線到直線OAOA的距離的距離d.d.然后將然后將S SOABOAB表示成表示成的函數再求范圍的函數再求范圍. .(2)(2)利用幾何性質，只需先求圓心到直線利用幾何性質，只需先求圓心到直線l的距離，再加上半徑的距離，再加上半徑即得即得. .(3)(3)先由先由l1 1l2 2, ,求出求出m m的值，再根據的值，再根據l1 1, ,l2 2之間的距離為之間的距離為 求出求出n n

17、的值，即得的值，即得l1 1的方程的方程. .5，【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.由兩點間距離公式得由兩點間距離公式得又直線又直線OAOA的斜率的斜率直線直線OAOA的方程為的方程為y=xcos y=xcos ，即，即xcos -y=0 xcos -y=0，點點B(sin B(sin ，1)1)到直線到直線OAOA的距離的距離2|OA|cos1 ，OAcos 0kcos 1 0，2|sin cos 1|dcos 1211sin 221cos，2OAB2OAB11sin 2112S|OA| dcos1221cos11sin2 ,R2413S.44又，(2)(2)圓圓C C：x x

18、2 2+y+y2 2=4=4的圓心的圓心(0(0，0)0)到直線到直線l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0的距離的距離直線直線l與圓與圓C C相離相離, ,最大值為最大值為4+2=6.4+2=6.答案答案: :6 6223 04 020d4 234 ，(3)(3)l1 1l2 2，當當m=4m=4時，直線時，直線l1 1的方程為的方程為4x+8y+n=04x+8y+n=0，把，把l2 2的方程寫成的方程寫成4x+8y-2=04x+8y-2=0， 解得解得n=-22n=-22或或n=18.n=18.所以，所求直線的方程為所以，所求直線的方程為2x+4y-11=02x+4y-11=0或或

19、2x+4y+9=0.2x+4y+9=0.m8n2m1，m4,m4,n2n2. 或|n2|51664，當當m=-4m=-4時，直線時，直線l1 1的方程為的方程為4x-8y-n=04x-8y-n=0，l2 2的方程為的方程為4x-8y-2=04x-8y-2=0， 解得解得n=-18n=-18或或n=22.n=22.所以，所求直線的方程為所以，所求直線的方程為2x-4y+9=02x-4y+9=0或或2x-4y-11=0.2x-4y-11=0.| n2|5,1664 【互動探究】【互動探究】本例題本例題(2)(2)中圓中圓C C變?yōu)闄E圓變?yōu)闄E圓CC： 則最大則最大值如何？值如何？【解析】【解析】設與

20、設與l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0平行且與橢圓相切的直線平行且與橢圓相切的直線l的方的方程為：程為：3x+4y+c=0(c-20)3x+4y+c=0(c-20)，由由 消去消去y y得關于得關于x x的一元二次方程為的一元二次方程為18x18x2 2+6cx+c+6cx+c2 2-144=0,-144=0,=(6c)=(6c)2 2-4-41818(c(c2 2-144)=0-144)=0，解得解得22xy1169 ，223x4yc0 xy1169，c12 2. 數形結合得最大距離為數形結合得最大距離為l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0與與3x+4y+ =03x+4

21、y+ =0間的距間的距離，離，12 222|12 2( 20)|1242.534 【拓展提升】【拓展提升】 1.1.三種距離的求法三種距離的求法(1)(1)兩點間的距離兩點間的距離設點設點A(xA(xA A,y,yA A),B(x),B(xB B,y,yB B) )，特例：特例：ABxABx軸時，軸時，|AB|=|y|AB|=|yA A-y-yB B| |；AByABy軸時，軸時，|AB|=|x|AB|=|xA A-x-xB B|.|.22ABAB|AB|(xx )(yy ) .(2)(2)點到直線的距離點到直線的距離可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程可直接利用點到直線的距

22、離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式必須為一般式. .(3)(3)兩平行直線間的距離兩平行直線間的距離利用利用“化歸化歸”法將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任法將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；意一點到另一條直線的距離；利用兩平行線間的距離公式利用兩平行線間的距離公式. .【提醒】【提醒】應用兩平行線間的距離公式求距離時應用兩平行線間的距離公式求距離時, ,要注意兩平行要注意兩平行直線方程中直線方程中x x，y y的系數必須相等的系數必須相等. .2.2.解析幾何中最值問題的兩大求解思想解析幾何中最值問題的兩大求解思想(1)(1)函數思想：選變量構建目

23、標函數，轉化為求函數的最值函數思想：選變量構建目標函數，轉化為求函數的最值. .(2)(2)數形結合思想：利用待求量數形結合思想：利用待求量( (式式) )的幾何意義，數形結合求的幾何意義，數形結合求解解. .【變式備選】【變式備選】已知點已知點A(2A(2，-1)-1)，(1)(1)求過點求過點A A且與原點距離為且與原點距離為2 2的直線的直線l的方程的方程. .(2)(2)求過點求過點A A且與原點距離最大的直線且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多的方程，最大距離是多少？少？(3)(3)是否存在過點是否存在過點A A且與原點距離為且與原點距離為6 6的直線？若存在，求出方的直線？

24、若存在，求出方程；若不存在，請說明理由程；若不存在，請說明理由. .【解析】【解析】(1)(1)當斜率不存在時，直線當斜率不存在時，直線l的方程為的方程為x=2x=2，此時，此時，原點到直線原點到直線l的距離為的距離為2 2，符合題意；，符合題意；當斜率存在時，設直線當斜率存在時，設直線l的方程為的方程為y+1=k(x-2)y+1=k(x-2)，即，即kx-y-2k-1=0kx-y-2k-1=0，由已知得，由已知得解得解得 此時直線此時直線l的方程為的方程為3x-4y-10=0,3x-4y-10=0,綜上可知：直線綜上可知：直線l的方程為的方程為x=2x=2或或3x-4y-10=0.3x-4y

25、-10=0.2| 2k1|2,k13k4，(2)(2)過點過點A A且與原點且與原點O O距離最大的直線是過點距離最大的直線是過點A A與與AOAO垂直的直線，垂直的直線，由由lAOAO，得，得k klk kOAOA=-1=-1，所以，所以 由直線的點斜式得由直線的點斜式得y+1=2(x-2)y+1=2(x-2)，即，即2x-y-5=02x-y-5=0，即直線，即直線2x-y-5=02x-y-5=0是過點是過點A A且與原點且與原點距離最大的直線距離最大的直線l的方程，最大距離是的方程，最大距離是OA1k2k ，l| 5|5.5(3)(3)由由(2)(2)可知，過點可知，過點A A不存在到原點

26、距離超過不存在到原點距離超過 的直線，的直線，因此不存在過點因此不存在過點A A且與原點距離為且與原點距離為6 6的直線的直線. .5考向考向 3 3 對稱問題對稱問題【典例【典例3 3】已知直線已知直線l：2x-3y+1=02x-3y+1=0，點，點A(-1,-2).A(-1,-2).求：求：(1)(1)點點A A關于直線關于直線l的對稱點的對稱點AA的坐標的坐標. .(2)(2)直線直線m:3x-2y-6=0m:3x-2y-6=0關于直線關于直線l的對稱直線的對稱直線mm的方程的方程. .(3)(3)直線直線l關于點關于點A A的對稱直線的對稱直線l的方程的方程. .【思路點撥】【思路點撥

27、】(1)(1)設出對稱點設出對稱點AA的坐標，利用線段的坐標，利用線段AAAA被直線被直線l垂直平分，構建方程組求解垂直平分，構建方程組求解. .(2)(2)可設法找到可設法找到mm上兩個點的坐標，再由兩點式求出方程上兩個點的坐標，再由兩點式求出方程. .(3)(3)可設法找到兩個點的坐標，即可求出直線可設法找到兩個點的坐標，即可求出直線l的方程；或利的方程；或利用對稱性得用對稱性得ll，利用待定系數法求直線，利用待定系數法求直線l的方程；也可在的方程；也可在l上任取一點，利用該點關于點上任取一點，利用該點關于點A A的對稱點在直線的對稱點在直線l上得出方程上得出方程. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解

28、答】(1)(1)設對稱點設對稱點AA的坐標為的坐標為(m,n)(m,n)，由已知可得，由已知可得33n22m133 413m13A (,).4m 1n213 13n23101322 ，解得即，(2)(2)在直線在直線m m上取一點，如上取一點，如B(2B(2，0)0)，則，則B B關于關于l的對稱點必的對稱點必在在mm上上. .設對稱點為設對稱點為B(a,b),B(a,b),則由則由 得得a2b0231022b021a23 ，6 30B(,).13 13設設m m與與l的交點為的交點為N N，由由 得得N(4N(4，3).3).又又mm過過N N點，由兩點式得直線點，由兩點式得直線mm的方程為

29、的方程為 即即9x-46y+102=0.9x-46y+102=0.2x3y10,3x2y60, y3x4306341313，(3)(3)方法一：在方法一：在l：2x-3y+1=02x-3y+1=0上任取兩點，如上任取兩點，如M(1M(1，1)1)，N(4N(4，3).3).則則M M，N N關于點關于點A A的對稱點的對稱點MM，NN均在直線均在直線l上上. .易知易知M(-3M(-3，-5)-5)，N(-6N(-6，-7)-7)，由兩點式可得，由兩點式可得l的方程為的方程為2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.方法二：方法二：ll，可設可設l的方程為的方程為2x-3y+c=0(c1).2x

30、-3y+c=0(c1).點點A A到兩直線的距離相等，到兩直線的距離相等，由點到直線的距離公式得由點到直線的距離公式得 得得c=-9c=-9，l的方程為的方程為2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.2222| 26c| 26 1|2( 3)2( 3) ，方法三：設方法三：設P(x,y)P(x,y)是是l上任一點，則上任一點，則P(x,y)P(x,y)關于點關于點A(-1A(-1，-2)-2)的對稱點為的對稱點為P(-2-x,-4-y).P(-2-x,-4-y).點點PP在直線在直線l上，上，2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.整理得整理得2x-3y

31、-9=0.2x-3y-9=0.l的方程為的方程為2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.【拓展提升】【拓展提升】 1.1.中心對稱問題的兩個類型及求解方法中心對稱問題的兩個類型及求解方法(1)(1)點關于點對稱：若點點關于點對稱：若點M(xM(x1 1,y,y1 1) )及及N(xN(x，y)y)關于關于P(a,b)P(a,b)對稱，對稱，則由中點坐標公式得則由中點坐標公式得 進而求解進而求解. .11x2axy2by，(2)(2)直線關于點的對稱，主要求解方法是：直線關于點的對稱，主要求解方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于

32、已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；求出一個對稱點，再利用求出一個對稱點，再利用l1 1l2 2，由點斜式得到所求直線，由點斜式得到所求直線方程方程. .2.2.軸對稱問題的兩個類型及求解方法軸對稱問題的兩個類型及求解方法(1)(1)點關于直線的對稱：點關于直線的對稱：若兩點若兩點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )與與P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )關于直線關于直線l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0對稱，則線對稱，則線段段P P1 1P P2 2的中點在對稱軸的中點在對稱軸l上，而且連接上，而且連接P P

33、1 1P P2 2的直線垂直于對稱軸的直線垂直于對稱軸l，由方程組，由方程組可得到點可得到點P P1 1關于關于l對稱的點對稱的點P P2 2的坐標的坐標(x(x2 2,y,y2 2)()(其中其中B0B0，x x1 1xx2 2).).12122121xxyyA()B()C022yyA()1xxB ，(2)(2)直線關于直線的對稱：直線關于直線的對稱：一般轉化為點關于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知一般轉化為點關于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行. .【變式訓練】【變式訓練】在在ABCABC中，中

34、，BCBC邊上的高所在的直線方程為邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0,Ax-2y+1=0,A的平分線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為y=0y=0，若點，若點B B的坐的坐標為標為(1(1，2)2)，求點，求點A A和點和點C C的坐標的坐標. .【解析】【解析】如圖，如圖，由由得得A(-1,0).A(-1,0).y0,x2y10 ，x1,y0 ，y=0y=0是是AA的平分線，的平分線，點點B B關于關于y=0y=0的對稱點的對稱點B(1B(1，-2)-2)在直線在直線ACAC上，上，直線直線ACAC的方程為的方程為 即即y=-x-1.y=-x-1.又又BCBC的方程為的方程為y-

35、2=-2(x-1)y-2=-2(x-1)，即，即y=-2x+4.y=-2x+4.由由點點C(5C(5，-6).-6).綜上，點綜上，點A A的坐標為的坐標為(-1(-1，0)0)，點，點C C的坐標為的坐標為(5(5，-6).-6).y21x11 1 ，yx1,x5,y2x4y6. 解得，【創(chuàng)新體驗】【創(chuàng)新體驗】有關有關“距離距離”的創(chuàng)新問題的創(chuàng)新問題【典例】【典例】(2013(2013長沙模擬長沙模擬) )已知點已知點A(0A(0，2)2)，B(2B(2，0).0).若點若點C C在在函數函數y=xy=x2 2的圖象上，則使得的圖象上，則使得ABCABC的面積為的面積為2 2的點的點C C的

36、個數為的個數為( )( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【思路點撥】【思路點撥】 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】選選A.A.設點設點C(t,tC(t,t2 2) )，直線，直線ABAB的方程是的方程是x+y-2=0 x+y-2=0，|AB|= |AB|= 由于由于ABCABC的面積為的面積為2 2，則這個三角形中，則這個三角形中ABAB邊上的邊上的高高h h滿足方程滿足方程 即即 由點到直線的距離公式由點到直線的距離公式得得 即即|t|t2 2+t-2|=2+t-2|=2，即，即t t2 2+t-2=2+t-2=2或者或者t t2 2+t-2=-2.+t

37、-2=-2.因為這兩個方程各有兩個不相等的實數根，故這樣的點因為這兩個方程各有兩個不相等的實數根，故這樣的點C C有有4 4個個. .2 2.12 2h22 ，h2.2| tt2|22，【思考點評】【思考點評】1.1.方法感悟：本題充分體現了轉化與化歸思想和函數與方程思方法感悟：本題充分體現了轉化與化歸思想和函數與方程思想在解題中的應用，即通過轉化將點想在解題中的應用，即通過轉化將點C C的個數問題轉化為關于的個數問題轉化為關于點點C C的橫坐標方程解的個數問題求解，這種將的橫坐標方程解的個數問題求解，這種將“形形”轉化為轉化為“數數”的思想方法值得我們仔細體會的思想方法值得我們仔細體會. .

38、2.2.技巧提升：對于技巧提升：對于“距離距離”的創(chuàng)新問題，常見的類型有：求有的創(chuàng)新問題，常見的類型有：求有關長度或三角形面積的最值問題，或知長度、三角形面積情況關長度或三角形面積的最值問題，或知長度、三角形面積情況探究點的個數以及與圓位置有關的問題等，常用的思想方法有探究點的個數以及與圓位置有關的問題等，常用的思想方法有數形結合、轉化與化歸及函數與方程思想數形結合、轉化與化歸及函數與方程思想. . 有關有關“距離距離”的創(chuàng)新問題雖然問法新穎，但考查的還是距的創(chuàng)新問題雖然問法新穎，但考查的還是距離公式的應用，解題的關鍵是將所求問題轉化為熟悉的問題求離公式的應用，解題的關鍵是將所求問題轉化為熟悉

39、的問題求解解. .1.(20131.(2013鄭州模擬鄭州模擬) )若直線若直線l與直線與直線y=1y=1和和x-y-7=0 x-y-7=0分別交于點分別交于點M M，N N，且，且MNMN的中點為的中點為P(1P(1，-1)-1)，則直線，則直線l的斜率等于的斜率等于( )( )【解析】【解析】選選B.B.設設l與與y=1y=1交于點交于點M(m,1)M(m,1)，l與與x-y-7=0 x-y-7=0交于點交于點N(n+7N(n+7，n).n).由中點坐標公式得由中點坐標公式得m=-2,n=-3m=-2,n=-3，即，即M(-2M(-2，1)1)，kkPMPM= =2233(A) (B) (

40、C) (D)33222.32.(20132.(2013成都模擬成都模擬) )直線直線3x-4y+5=03x-4y+5=0關于關于x x軸對稱的直線方程軸對稱的直線方程為為( )( )(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0【解析】【解析】選選A.A.直線直線3x-4y+5=03x-4y+5=0關于關于x x軸對稱的直線方程是軸對稱的直線方程是3x-4(-y)+5=03x-4(-y)+5=0，即，即3x+4y+5=0.3x+4y+

41、5=0.3.(20133.(2013泉州模擬泉州模擬) )過點過點A(1A(1，2)2)且與原點距離最大的直線方且與原點距離最大的直線方程為程為( )( )(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0【解析】【解析】選選A.A.所求直線過點所求直線過點A A且與且與OAOA垂直時滿足條件，而垂直時滿足條件，而k kOAOA=2=2，故所求直線的斜率為，故所求直線的斜率為 所以所求直線方程為所以所求直線方程為y-2= y-2= 即即x+2y-5=0.x+2y

42、-5=0.12 ，1(x1),24.(20134.(2013青島模擬青島模擬) )如圖，已知如圖，已知A(4A(4，0)0)，B(0B(0，4)4)，從點，從點P(2P(2，0)0)射出的光線經直線射出的光線經直線ABAB反射后再射反射后再射到直線到直線OBOB上，最后經直線上，最后經直線OBOB反射反射后又回到后又回到P P點，則光線所經過的路程是點，則光線所經過的路程是( )( )(A) (B)6(A) (B)6(C) (D)(C) (D)2 103 32 5【解析】【解析】選選A.A.由題意知點由題意知點P P關于直線關于直線ABAB的對稱點為的對稱點為D(4D(4，2)2)，關于關于y

43、 y軸的對稱點為軸的對稱點為C(-2C(-2，0)0)，則光線所經過的路程的長為則光線所經過的路程的長為故選故選A.A.|CD| 2 10.5.(20135.(2013北京模擬北京模擬) )已知已知 (a(a0,b0,b0)0)，則點，則點(0,b)(0,b)到直線到直線x-2y-a=0 x-2y-a=0的距離的最小值為的距離的最小值為_._.111ab【解析】【解析】點點(0,b)(0,b)到直線到直線x-2y-a=0 x-2y-a=0的距離為的距離為 當當a a2 2=2b=2b2 2且且a+b=aba+b=ab，即，即 時時取等號取等號. .答案答案: :a2b11112ba1da2b

44、()(3)(32 2)abab55553 52 10,522a12,b2 3 52 1051.1.已知已知A A，B B兩點分別在兩條互相垂直的直線兩點分別在兩條互相垂直的直線2x-y=02x-y=0和和x+ay=0 x+ay=0上，上，且且ABAB線段的中點為線段的中點為 則線段則線段ABAB的長為的長為( )( )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11(A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】【解析】選選C.C.由已知兩直線互相垂直得由已知兩直線互相垂直得a=2a=2，線段線段ABAB中點為中點為P(0P(0，5)5)，且，且ABAB為直角三角形為直角三角形AOBAOB的斜邊的

45、斜邊(O(O為兩直線的交點為兩直線的交點) )，由直角三角形的性質得由直角三角形的性質得|AB|=2|PO|=10.|AB|=2|PO|=10.10P(0)a， ，2.2.設兩條直線的方程分別為設兩條直線的方程分別為x+y+a=0,x+y+b=0 x+y+a=0,x+y+b=0，已知，已知a,ba,b是方程是方程x x2 2+x+c=0+x+c=0的兩個實根，且的兩個實根，且0c 0c 求這兩條直線之間的距離求這兩條直線之間的距離的最大值和最小值的最大值和最小值. .18，【解析】【解析】a,ba,b是方程是方程x x2 2+x+c=0+x+c=0的兩個實根，的兩個實根，a+b=-1,ab=c,a+b=-1,ab=c,(a-b)(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab=1-4c.-4ab=1-4c.又又兩直線間的距離兩直線間的距離這兩條直線間的距離的最大值為這兩條直線間的距離的最大值為 最小值為最小值為|ab|14c1d(0c)282，12d22，2,21.2