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1、【中考真題】遼寧省鞍山市2021年中考數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的每小題3分，共24分） 1．下列實數(shù)最小的是（　　） A．﹣2 B．﹣3.5 C．0 D．1 2．下列四幅圖片上呈現(xiàn)的是垃圾類型及標(biāo)識圖案，其中標(biāo)識圖案是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列運算正確的是（　?。? A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)3?a4＝a12 C．a(chǎn)3a2＝a D．（﹣3a3b）2＝6a6b2 4．不等式3﹣2x≤x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　） A． B． C． D． 5．如圖，直線a∥b，將一個含30角的三角尺按如

2、圖所示的位置放置，若∠1＝24，則∠2的度數(shù)為（　　） A．120 B．136 C．144 D．156 6．某班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間統(tǒng)計如表所示： 時間/h 6 7 8 9 人數(shù) 2 18 14 6 那么該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（　?。? A．18，7.5 B．18，7 C．7，8 D．7，7.5 7．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，若∠ABD＝54，則∠C的度數(shù)為（　?。? A．34 B．36 C．46 D．54 8．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6cm，點M從點C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度

3、勻速運動到點B，同時點N從點C出發(fā)沿射線CA方向以2cm/s的速度勻速運動，當(dāng)點M停止運動時，點N也隨之停止．過點M作MP∥CA交AB于點P，連接MN，NP，作△MNP關(guān)于直線MP對稱的△MN′P，設(shè)運動時間為ts，△MN′P與△BMP重疊部分的面積為Scm2，則能表示S與t之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（　?。? A． B． C． D． 二、填空題（每小題3分，共24分） 9．第七次全國人口普查數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，全國人口約為1411780000人．將1411780000用科學(xué)記數(shù)法可表示為 　 　． 10．一個小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機地停留在某塊方磚上

4、，則小球停留在黑色區(qū)域的概率是 　 　． 11．如圖，△ABC沿BC所在直線向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，則平移的距離為　 ?。? 12．習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”．為了大力弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動．用3600元購買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400元購買的套數(shù)只比第一批少4套．設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則符合題意的方程是 　 　． 13．如圖，矩形

5、ABCD中，AB＝3，對角線AC，BD交于點O，DH⊥AC，垂足為點H，若∠ADH＝2∠CDH，則AD的長為 　 ?。? 14．如圖，∠POQ＝90，定長為a的線段端點A，B分別在射線OP，OQ上運動（點A，B不與點O重合），C為AB的中點，作△OAC關(guān)于直線OC對稱的△OA′C，A′O交AB于點D，當(dāng)△OBD是等腰三角形時，∠OBD的度數(shù)為 　 　． 15．如圖，△ABC的頂點B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，頂點C在x軸負(fù)半軸上，AB∥x軸，AB，BC分別交y軸于點D，E．若＝＝，S△ABC＝13，則k＝　 　． 16．如圖，

6、在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，F(xiàn)是線段OD上的動點（點F不與點O，D重合），連接CF，過點F作FG⊥CF分別交AC，AB于點H，G，連接CG交BD于點M，作OE∥CD交CG于點E，EF交AC于點N．有下列結(jié)論：①當(dāng)BG＝BM時，AG＝BG；②＝；③當(dāng)GM＝HF時，CF2＝CN?BC；④CN2＝BM2+DF2．其中正確的是 　 ?。ㄌ钚蛱柤纯桑? 三、解答題（每小題8分，共16分） 17．先化簡，再求值：（﹣），其中a＝+2． 18．如圖，在?ABCD中，G為BC邊上一點，DG＝DC，延長DG交AB的延長線于點E，過點A作AF∥ED交

7、CD的延長線于點F．求證：四邊形AEDF是菱形． 四、解答題（每小題10分，共20分） 19為了加快推進我國全民新冠病毒疫苗接種，在全國范圍內(nèi)構(gòu)筑最大免疫屏障，各級政府積極開展接種新冠病毒疫苗的宣傳工作．某社區(qū)印刷了多套宣傳海報，每套海報四張，海報內(nèi)容分別是： A．防疫道路千萬條，接種疫苗第一條； B．疫苗接種保安全，戰(zhàn)勝新冠靠全員； C．接種疫苗別再拖，安全保障好處多； D．疫苗接種連萬家，平安健康樂全家． 志愿者小張和小李利用休息時間到某小區(qū)張貼海報． （1）小張從一套海報中隨機抽取一張，抽到B海報的概率是 　　． （2）小張和

8、小李從同一套海報中各隨機抽取一張，用列表法或畫樹狀圖法，求他們兩個人中有一個人抽到D海報的概率． 20為慶祝建黨100周年，某校開展“學(xué)黨史?頌黨恩”的作品征集活動，征集的作品分為四類：征文、書法、剪紙、繪畫．學(xué)校隨機抽取部分學(xué)生的作品進行整理，并根據(jù)結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖． 請根據(jù)以上信息解答下列問題： （1）所抽取的學(xué)生作品的樣本容量是多少？ （2）補全條形統(tǒng)計圖． （3）本次活動共征集作品1200件，估計繪畫作品有多少件． 五、解答題（每小題10分，共20分） 21如圖

9、，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y＝的圖象在第二象限交于C，D（﹣6，2）兩點，DE∥OC交x軸于點E，若＝． （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式． （2）求四邊形OCDE的面積． 22小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東30方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走150m到達C處，再沿北偏東22.6方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin22

10、.6≈，co22.6≈，tan22.6≈，≈1.732） 六、解答題（每小題10分，共20分） 23如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為AB上一點，BD＝BC，過點A作AE⊥AB交CD的延長線于點E，CE交⊙O于點G，連接AC，AG，在EA的延長線上取點F，使∠FCA＝2∠E． （1）求證：CF是⊙O的切線； （2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半徑． 24. 2022年冬奧會即將在北京召開，某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進了一批以冬奧會為主題的文化衫進行銷售，文化衫的進價為每件30元，當(dāng)銷售單價定為70元時，每天可售出20件，每銷售一件需繳納網(wǎng)絡(luò)平

11、臺管理費2元，為了擴大銷售，增加盈利，決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1元，則每天可多售出2件（銷售單價不低于進價），若設(shè)這款文化衫的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（件）． （1）求每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為多少元？ 七、解答題（本題滿分12分） 25如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜180），過點A作射線AM交射線BC于點D，將AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到AN，過點C作CF∥AM交直線AN于點F，在AM

12、上取點E，使∠AEB＝∠ACB． （1）當(dāng)AM與線段BC相交時， ①如圖1，當(dāng)α＝60時，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為 　　． ②如圖2，當(dāng)α＝90時，寫出線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． （2）當(dāng)tanα＝，AB＝5時，若△CDE是直角三角形，直接寫出AF的長． 八、解答題（本題滿分14分） 26如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），D是拋物線的頂點，P是拋物線上的動點，點P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），AE∥PD交直線l：y＝x+2于點E，AP交DE于點F，交y軸于點Q． （1）求

13、拋物線的表達式； （2）設(shè)△PDF的面積為S1，△AEF的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時，求點P的坐標(biāo)； （3）連接BQ，點M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且∠BMQ＝45，在點P從點B運動到點C的過程中，點M也隨之運動，直接寫出點M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．  參考答案與試題解析 一．選擇題（共8小題） 1．下列實數(shù)最小的是（　　） A．﹣2 B．﹣3.5 C．0 D．1 【分析】根據(jù)實數(shù)大小比較的方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵． 【解答】解：因為﹣3.5＜﹣2＜0＜1， 所以最小的實數(shù)是﹣3.5． 故選：B． 2．下列四幅圖片上呈現(xiàn)的是垃圾類型及標(biāo)識圖案，

14、其中標(biāo)識圖案是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．據(jù)此判斷即可． 【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意； B．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意； C．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意； D．是中心對稱圖形，故本選項符合題意． 故選：D． 3．下列運算正確的是（　?。? A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)3?a4＝a12 C．a(chǎn)3a2＝a D．（﹣3a3b）2＝6a6b2 【分析】根據(jù)合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的

15、乘方與積的乘方的性質(zhì)逐項計算可判斷求解． 【解答】解：A．a(chǎn)2與a3不是同類項，不能合并，故A選項不符合題意； B．a(chǎn)3?a4＝a7，故B選項不符合題意； C．a(chǎn)3a2＝a，故C選項符合題意； D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D選項不符合題意， 故選：C． 4．不等式3﹣2x≤x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】求出不等式的解集，將解集在數(shù)軸上表示出來． 【解答】解：3﹣2x≤x， ﹣2x﹣x≤﹣3， ﹣3x≤﹣3， x≥1， 表示在數(shù)軸上如圖： 故選：B． 5．如圖，直線a∥b，將一個含30角的三角尺按如圖所示的

16、位置放置，若∠1＝24，則∠2的度數(shù)為（　?。? A．120 B．136 C．144 D．156 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求解， 【解答】解：如圖，作c∥a， ∵三角尺是含30角的三角尺， ∴∠3+∠4＝60， ∵a∥c， ∴∠1＝∠4＝24， ∴∠3＝60﹣24＝36， ∵a∥c，a∥b， ∴b∥c， ∴∠2＝180﹣36＝144， 故選：C． 6．某班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間統(tǒng)計如表所示： 時間/h 6 7 8 9 人數(shù) 2 18 14 6 那么該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（　　） A．18，7.5 B

17、．18，7 C．7，8 D．7，7.5 【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位的定義進行求解即可得出答案． 【解答】解：根據(jù)題意可得，參加體育鍛煉時間的眾數(shù)為7， 因為該班有40名同學(xué)，所以中位數(shù)為第20和21名同學(xué)時間，第20名同學(xué)的時間為7h，第21名同學(xué)的時間為8h， 所以中位數(shù)為＝7.5． 故選：D． 7．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，若∠ABD＝54，則∠C的度數(shù)為（　?。? A．34 B．36 C．46 D．54 【分析】連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90，∠C＝∠A，然后利用互余計算出∠A，從而得到∠C的度數(shù)． 【解答】解：連接AD，如圖， ∵

18、AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90， ∴∠A＝90﹣∠ABD＝90﹣54＝36， ∴∠C＝∠A＝36． 故選：B． 8．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6cm，點M從點C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度勻速運動到點B，同時點N從點C出發(fā)沿射線CA方向以2cm/s的速度勻速運動，當(dāng)點M停止運動時，點N也隨之停止．過點M作MP∥CA交AB于點P，連接MN，NP，作△MNP關(guān)于直線MP對稱的△MN′P，設(shè)運動時間為ts，△MN′P與△BMP重疊部分的面積為Scm2，則能表示S與t之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（　?。? A． B． C． D． 【分析】首先求出當(dāng)點N′落在AB上

19、時，t的值，分0＜t≤2或2＜t≤3兩種情形，分別求出S的解析式，可得結(jié)論． 【解答】解：如圖1中，當(dāng)點N′落在AB上時，取CN的中點T，連接MT． ∵CM＝t，CN＝2t，CT＝TN， ∴CT＝TN＝t， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠C＝∠A＝60， ∴△MCT是等邊三角形， ∴TM＝TC＝TN， ∴∠CMN＝90， ∵MP∥AC， ∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60，∠BMP＝∠C＝60，∠C+∠CMP＝180， ∴∠CMP＝120，△BMP是等邊三角形， ∴BM＝MP， ∵∠CMP+∠MPN＝180， ∴CM∥PN， ∵MP∥CN， ∴四邊形CMPN是

20、平行四邊形， ∴PM＝CN＝BM＝2t， ∴3t＝6， ∴t＝2， 如圖2中，當(dāng)0＜t≤2時，過點M作MK⊥AC于K，則MK＝CM?sin60＝t， ∴S＝?（6﹣t）?t＝﹣t2+t． 如圖3中，當(dāng)2＜t≤3時，S＝（6﹣t）2， 觀察圖象可知，選項A符合題意， 故選：A． 二．填空題（共8小題） 9．第七次全國人口普查數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，全國人口約為1411780000人．將1411780000用科學(xué)記數(shù)法可表示為 　1.41178109　． 【分析】根據(jù)把一個大于10的數(shù)記成a10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，進行求解即可出得出答案． 【解

21、答】解：1411780000＝1.41178109． 故答案為：1.41178109． 10．一個小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機地停留在某塊方磚上，則小球停留在黑色區(qū)域的概率是 　?。? 【分析】求出黑色方磚在整個地板中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結(jié)論． 【解答】解：由圖可知：黑色方磚在整個地板中所占的比值＝， ∴小球最終停留在黑色區(qū)域的概率＝， 故答案為：． 11．如圖，△ABC沿BC所在直線向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，則平移的距離為　3　． 【分析】利用平移的性質(zhì)解決問題即可． 【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，BE＝CF， ∵BF＝8，

22、EC＝2， ∴BE+CF＝8﹣2＝6， ∴BE＝CF＝3， ∴平移的距離為3， 故答案為：3． 12．習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”．為了大力弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動．用3600元購買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400元購買的套數(shù)只比第一批少4套．設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則符合題意的方程是 　﹣＝4?。? 【分析】設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則設(shè)第二批購買的“四大名著”每套的價格為0.8x元，利用數(shù)量＝總價單

23、價，結(jié)合第二批購買的套數(shù)比第一批少4套，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解． 【解答】解：設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則設(shè)第二批購買的“四大名著”每套的價格為0.8x元， 依題意得：﹣＝4． 故答案為：﹣＝4． 13．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，對角線AC，BD交于點O，DH⊥AC，垂足為點H，若∠ADH＝2∠CDH，則AD的長為 　3　． 【分析】由矩形的性質(zhì)得CD＝AB＝3，∠ADC＝90，再求出∠ADH＝60，則∠DAC＝30，然后由含30角的直角三角形的性質(zhì)即可求解． 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90， ∵∠

24、ADH＝2∠CDH， ∴∠CDH＝30，∠ADH＝60， ∵DH⊥AC， ∴∠DHA＝90， ∴∠DAC＝90﹣60＝30， ∴AD＝CD＝3， 故答案為：3． 14．如圖，∠POQ＝90，定長為a的線段端點A，B分別在射線OP，OQ上運動（點A，B不與點O重合），C為AB的中點，作△OAC關(guān)于直線OC對稱的△OA′C，A′O交AB于點D，當(dāng)△OBD是等腰三角形時，∠OBD的度數(shù)為 　67.5或72?。? 【分析】結(jié)合折疊及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)可得∠COA＝∠COA′＝∠BAO，設(shè)∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x，然后利用三角形外角和等腰三角形的性質(zhì)表示出∠

25、BCO＝2x，∠A′OB＝90﹣2x，∠OBD＝90﹣x，∠BDO＝∠AOD+∠BAO＝3x，從而利用分類討論思想解題． 【解答】解：∵∠POQ＝90，C為AB的中點， ∴OC＝AC＝BC， ∴∠COA＝∠BAO，∠OBC＝∠BOC， 又由折疊性質(zhì)可得∠COA＝∠COA′， ∴∠COA＝∠COA′＝∠BAO， 設(shè)∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x，則∠BCO＝2x，∠A′OB＝90﹣2x，∠OBD＝90﹣x，∠BDO＝∠AOD+∠BAO＝3x， ①當(dāng)OB＝OD時，∠ABO＝∠BDO， ∴90﹣x＝3x， 解得x＝22.5， ∴∠OBD＝90﹣22.5＝67.5； ②當(dāng)BD

26、＝OD時，∠OBD＝∠A′OB， ∴90﹣x＝90﹣2x，方程無解， ∴此情況不存在； ③當(dāng)OB＝DB時，∠BDO＝∠A′OB， ∴3x＝90﹣2x， 解得：x＝18， ∴∠OBD＝90﹣18＝72； 綜上，∠OBD的度數(shù)為67.5或72， 故答案為：67.5或72． 15．如圖，△ABC的頂點B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，頂點C在x軸負(fù)半軸上，AB∥x軸，AB，BC分別交y軸于點D，E．若＝＝，S△ABC＝13，則k＝　18?。? 【分析】過點B作BF⊥x軸于點F，通過設(shè)參數(shù)表示出三角形ABC的面積，從而求出參數(shù)的值，再利用三角形ABC與矩形ODBF的關(guān)系求出矩

27、形面積，即可求得k的值． 【解答】解：如圖，過點B作BF⊥x軸于點F． ∵AB∥x軸， ∴△DBE∽△COE， ∴＝， ∵＝＝， ∴＝＝＝＝， 設(shè)CO＝3a，DE＝3b，則AD＝2a，OE＝2b， ∴，OD＝5b， ∴BD＝， ∴AB＝AD+DB＝， ∵S△ABC＝＝＝13， ∴ab＝， ∵S矩形ODBF＝BD?OD＝＝＝18， 又∵反比例函數(shù)圖象在第一象限， ∴k＝18， 故答案為18． 16．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，F(xiàn)是線段OD上的動點（點F不與點O，D重合），連接CF，過點F作FG⊥CF分別交AC，AB于點H，G，連接C

28、G交BD于點M，作OE∥CD交CG于點E，EF交AC于點N．有下列結(jié)論：①當(dāng)BG＝BM時，AG＝BG；②＝；③當(dāng)GM＝HF時，CF2＝CN?BC；④CN2＝BM2+DF2．其中正確的是 ?、佗邰堋。ㄌ钚蛱柤纯桑? 【分析】①正確．利用面積法證明＝＝即可． ②錯誤．假設(shè)成立，推出∠OFH＝∠OCM，顯然不符合條件． ③正確．如圖2中，過點M作MP⊥BC于P，MQ⊥AB于Q，連接AF．想辦法證明CM＝CF，再利用相似三角形的性質(zhì)，解決問題即可． ④正確．如圖3中，將△CBM繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90得到△CDW，連接FW．則CM＝CW，BM＝DW，∠MCW＝90，∠CBM＝∠CDW＝45，證

29、明FM＝FW，利用勾股定理，即可解決問題． 【解答】解：如圖1中，過點G作GT⊥AC于T． ∵BG＝BM， ∴∠BGM＝∠BMG， ∵∠BGM＝∠GAC+∠ACG，∠BMG＝∠MBC+∠BCM， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠GAC＝∠MBC＝45，AC＝BC， ∴∠ACG＝∠BCG， ∵GB⊥CB，GT⊥AC， ∴GB＝GT， ∵＝＝＝＝， ∴AG＝BG，故①正確， 假設(shè)＝成立， ∵∠FOH＝∠COM， ∴△FOH∽△COM， ∴∠OFH＝∠OCM，顯然這個條件不成立，故②錯誤， 如圖2中，過點M作MP⊥BC于P，MQ⊥AB于Q，連接AF． ∵∠OFH+∠

30、FHO＝90，∠FHO+∠FCO＝90， ∴∠OFH＝∠FCO， ∵AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF， ∵∠CFG＝∠CBG＝90， ∴∠BCF+∠BGF＝180， ∵∠BGF+∠AGF＝180， ∴∠AGF＝∠BCF＝∠GAF， ∴AF＝FG， ∴FG＝FC， ∴∠FCG＝∠BCA＝45， ∴∠ACF＝∠BCG， ∵MQ∥CB， ∴∠GMQ＝∠BCG＝∠ACF＝∠OFH， ∵∠MQG＝∠FOH＝90，F(xiàn)H＝MG， ∴△FOH≌△MQG（AAS）， ∴MQ＝OF， ∵∠BMP＝∠

31、MBQ，M⊥AB，MP⊥BC， ∴MQ＝MP， ∴MP＝OF， ∵∠CPM＝∠COF＝90，∠PCM＝∠OCF， ∴△CPM≌△COF（AAS）， ∴CM＝CF， ∵OE∥AG，OA＝OC， ∴EG＝EC， ∵△ECG是等腰直角三角形， ∴∠CEN＝45， ∴∠CEN＝∠CBM， ∵∠FCN＝∠BCM， ∴△BCM∽△FCN， ∴＝， ∴CF2＝CB?CN，故③正確， 如圖3中，將△CBM繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90得到△CDW，連接FW．則CM＝CW，BM＝DW，∠MCW＝90，∠CBM＝∠CDW＝45， ∵∠FCG＝∠FCW＝45，CM＝CW，CF＝CF， ∴△C

32、FN≌△CFW（SAS）， ∴FM＝FW， ∵∠FDW＝∠FDC+∠CDW＝45+45＝90， ∴FW2＝DF2+DW2， ∴FM2＝BM2+DF2，故④正確， 故答案為：①③④． 三、解答題（每小題8分，共16分） 17．先化簡，再求值：（﹣），其中a＝+2． 【分析】根據(jù)分式的混合運算的運算法則對化簡為，再將a＝+2代入求值． 【解答】解： ＝ ＝ ＝． 當(dāng)a＝+2時，原式＝＝＝1+． 18．如圖，在?ABCD中，G為BC邊上一點，DG＝DC，延長DG交AB的延長線于點E，過點A作AF∥ED交CD的延長線于點F．求證：四邊形AEDF是菱形． 【

33、分析】先證四邊形AEDF是平行四邊形，再證∠BAD＝∠ADE，則AE＝DE，即可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD， ∵AF∥ED， ∴四邊形AEDF是平行四邊形， ∵AD∥BC， ∴∠DGC＝∠ADE， ∵DG＝DC， ∴∠DGC＝∠C， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴平行四邊形AEDF是菱形． 四、解答題（每小題10分，共20分） 19為了加快推進我國全民新冠病毒疫苗接種，在全國范圍內(nèi)構(gòu)筑最大免疫屏障，各級政府積極開展接種新冠病毒疫苗的宣傳工作．某社區(qū)印刷了多套宣傳海報，每套海報四張，海報

34、內(nèi)容分別是： A．防疫道路千萬條，接種疫苗第一條； B．疫苗接種保安全，戰(zhàn)勝新冠靠全員； C．接種疫苗別再拖，安全保障好處多； D．疫苗接種連萬家，平安健康樂全家． 志愿者小張和小李利用休息時間到某小區(qū)張貼海報． （1）小張從一套海報中隨機抽取一張，抽到B海報的概率是 　　． （2）小張和小李從同一套海報中各隨機抽取一張，用列表法或畫樹狀圖法，求他們兩個人中有一個人抽到D海報的概率． 【考點】概率公式；列表法與樹狀圖法． 【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，小張和

35、小李兩個人中有一個人抽到D海報的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）小張從一套海報中隨機抽取一張，抽到B海報的概率是， 故答案為：； （2）畫樹狀圖如圖： 共有12種等可能的結(jié)果，小張和小李兩個人中有一個人抽到D海報的結(jié)果有6種， ∴小張和小李兩個人中有一個人抽到D海報的概率為＝． 20為慶祝建黨100周年，某校開展“學(xué)黨史?頌黨恩”的作品征集活動，征集的作品分為四類：征文、書法、剪紙、繪畫．學(xué)校隨機抽取部分學(xué)生的作品進行整理，并根據(jù)結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖． 請根據(jù)以上信息解答下列問題： （1）所抽取的學(xué)生作品的樣本容量是多少？ （2）補全

36、條形統(tǒng)計圖． （3）本次活動共征集作品1200件，估計繪畫作品有多少件． 【考點】總體、個體、樣本、樣本容量；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖． 【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；統(tǒng)計的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念；運算能力． 【答案】（1）120； （2）36；補全圖形見解答過程． （3）360． 【分析】（1）根據(jù)剪紙的人數(shù)除以所占百分比，得到抽取作品的總件數(shù)； （2）由總件數(shù)減去其他作品數(shù)，求出繪畫作品的件數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可； （3）求出樣本中繪畫作品的百分比，乘以1200即可得到結(jié)果． 【解答】解：（1）根據(jù)題意得：1210%＝120（件）， 所抽取的學(xué)生作品的樣本容量是

37、120； （2）繪畫作品為120﹣（42+30+12）＝36（件）， 補全統(tǒng)計圖，如圖所示： 故答案為：36； （3）根據(jù)題意得：1200＝360（件）， 則繪畫作品約有360件． 答：本次活動共征集作品1200件時，繪畫作品約有360件． 五、解答題（每小題10分，共20分） 21如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y＝的圖象在第二象限交于C，D（﹣6，2）兩點，DE∥OC交x軸于點E，若＝． （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式． （2）求四邊形OCDE的面積． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問

38、題；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】數(shù)形結(jié)合；一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；圖形的相似；推理能力． 【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為y＝x+8；反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣；（2）． 【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，然后結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求得C點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式； （2）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征并結(jié)合待定系數(shù)法求得A點和E點坐標(biāo)，然后用△AOC的面積減去△AED的面積求解． 【解答】解：（1）將D（﹣6，2）代入y＝中， k2＝﹣62＝﹣12， ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣； 過點D作DM⊥x軸，過點C作CN⊥x軸，

39、 ∵DE∥OC， ∴△ADE∽△ACO， ∴， ∴CN＝3DM＝6， 將y＝6代入y＝﹣中， ﹣， 解得：x＝﹣2， ∴C點坐標(biāo)為（﹣2，6）， 將C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k1x+b中， 可得， 解得：， ∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+8； （2）設(shè)直線OC的解析式為y＝mx， 將C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6， 解得：m＝﹣3， ∴直線OC的解析式為y＝﹣3x， 由DE∥OC，設(shè)直線DE的解析式為y＝﹣3x+n， 將D（﹣6，2）代入可得：﹣3（﹣6）+n＝2， 解得：n＝﹣16， ∴直線DE的解析式為y＝﹣3x﹣16， 當(dāng)y＝0時，

40、﹣3x﹣16＝0， 解得：x＝﹣， ∴E點坐標(biāo)為（﹣，0）， ∴OE＝， 在y＝x+8中，當(dāng)y＝0時，x+8＝0， 解得：x＝﹣8， ∴A點坐標(biāo)為（﹣8，0）， ∴OA＝8， ∴AE＝8﹣＝， S四邊形OCDE＝S△AOC﹣S△AED ＝ ＝ ＝24﹣ ＝． 22小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東30方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走150m到達C處，再沿北偏東22.6方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．

41、參考數(shù)據(jù)：sin22.6≈，co22.6≈，tan22.6≈，≈1.732） 【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題． 【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力． 【答案】1293 m． 【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四邊形BCFE是矩形，則BE＝CF，EF＝BC＝150 m，設(shè)DF＝xm，則DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，CD＝≈xm，根據(jù)題意得到2（x+150）＝+150，求得x的值，然后根據(jù)勾股定理求得AE和BE，進而求得AB． 【解答】解：作DE⊥AB于E，CF

42、⊥DE于F， ∵BC⊥AB， ∴四邊形BCFE是矩形， ∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m， 設(shè)DF＝xm，則DE＝（x+150）m， 在Rt△ADE中，∠BAD＝30， ∴AD＝2DE＝2（x+150）m， 在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6， ∴CD＝＝≈xm， ∵AD＝CD+BC， ∴2（x+150）＝+150， 解得x＝250（m）， ∴DF＝250 m， ∴DE＝250+150＝400 m， ∴AD＝2DE＝800 m， ∴CD＝800﹣150＝650 m， 由勾股定理得AE＝＝＝400 m， BE＝CF＝＝＝600 m， ∴AB＝AE+BE＝

43、400+600≈1293（m）， 答：公園北門A與南門B之間的距離約為1293 m． 六、解答題（每小題10分，共20分） 23如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為AB上一點，BD＝BC，過點A作AE⊥AB交CD的延長線于點E，CE交⊙O于點G，連接AC，AG，在EA的延長線上取點F，使∠FCA＝2∠E． （1）求證：CF是⊙O的切線； （2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半徑． 【考點】圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；推理能力． 【答案】（1）見解答過程；（2）5． 【分析

44、】（1）根據(jù)AA定理判定△ADG∽△DCB，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求得∠AGD＝2∠E，從而可得∠FCA＝∠AGD，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得∠FCO＝90，從而判定CF是⊙O的切線； （2）由切線長定理可得AF＝CF，從而可得∠FAC＝2∠E，得到AC＝AE，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圓的半徑． 【解答】解：（1）∵∠B＝∠AGC，∠ADG＝∠CDB， ∴△ADG∽△DCB， ∴， ∵BD＝BC， ∴GD＝GA， ∴∠ADG＝∠DAG， 又∵AE⊥AB， ∴∠EAD＝90， ∴∠GAE+∠DAG＝∠E+∠ADG＝90， ∴∠GAE＝∠E， ∴AG＝DG＝E

45、G，∠AGD＝2∠E， ∵∠FCA＝2∠E， ∴∠FCA＝∠AGD＝∠B， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠CAB+∠B＝90， 又∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAB， ∴∠FCA+∠ACO＝90， ∴∠FCO＝90， 即CF是⊙O的切線； （2）∵CF是⊙O的切線，AE⊥AB， ∴AF＝CF， ∴∠FAC＝∠FCA＝2∠E， ∴AC＝AE＝6， 又∵AG＝DG＝EG＝， 在Rt△ADE中，AD＝， 設(shè)⊙O的半徑為x，則AB＝2x，BD＝BC＝2x﹣2， 在Rt△ABC中，62+（2x﹣2）2＝（2x）2， 解得：x＝5， ∴⊙O的半徑為5． 24. 202

46、2年冬奧會即將在北京召開，某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進了一批以冬奧會為主題的文化衫進行銷售，文化衫的進價為每件30元，當(dāng)銷售單價定為70元時，每天可售出20件，每銷售一件需繳納網(wǎng)絡(luò)平臺管理費2元，為了擴大銷售，增加盈利，決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1元，則每天可多售出2件（銷售單價不低于進價），若設(shè)這款文化衫的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（件）． （1）求每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為多少元？ 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【專題】銷售問題；二次函數(shù)的應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用

47、意識． 【答案】（1）y＝﹣2x+160；（2）當(dāng)銷售單價為56元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為1152元． 【分析】（1）根據(jù)“銷售單價每降低1元，則每天可多售出2件”列函數(shù)關(guān)系式； （2）根據(jù)總利潤＝單件利潤銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值． 【解答】解：（1）由題意可得：y＝20+2（70﹣x）， 整理，得：y＝﹣2x+160， ∴每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+160； （2）設(shè)銷售所得利潤為w，由題意可得： w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120

48、， 整理，得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152， ∵﹣2＜0， ∴當(dāng)x＝56時，w取最大值為1152， ∴當(dāng)銷售單價為56元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為1152元． 七、解答題（本題滿分12分） 25如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜180），過點A作射線AM交射線BC于點D，將AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到AN，過點C作CF∥AM交直線AN于點F，在AM上取點E，使∠AEB＝∠ACB． （1）當(dāng)AM與線段BC相交時， ①如圖1，當(dāng)α＝60時，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為 　　． ②如圖2，當(dāng)α＝90時，寫出線段AE，CE和CF之

49、間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． （2）當(dāng)tanα＝，AB＝5時，若△CDE是直角三角形，直接寫出AF的長． 【考點】幾何變換綜合題． 【專題】幾何綜合題；推理能力． 【答案】（1）①AE＝CF+CE． ②結(jié)論：EC＝（AE﹣CF）．證明見解析部分． （2）AF的值為或． 【分析】（1）①結(jié)論：AE＝CF+CE．如圖1中，作CT∥AF交AM于T．想辦法證明AT＝CF，ET＝CE，可得結(jié)論． ②結(jié)論：EC＝（AE﹣CF）．過點C作CQ⊥AE于Q．想辦法證明CF＝AQ，CE＝EQ，可得結(jié)論． （2）分兩種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)∠CDE＝90時，過點B作BJ⊥AC于J，過點F作FK⊥

50、AE于K．利用勾股定理以及面積法求出CD，再證明FK＝CD，可得結(jié)論．如圖3﹣2中，當(dāng)∠ECD＝90時，∠DAB＝90，解直角三角形求出AK，可得結(jié)論． 【解答】解：（1）①結(jié)論：AE＝CF+CE． 理由：如圖1中，作CT∥AF交AM于T． ∵AB＝AC，∠BAC＝6， ∴△ABC是等邊三角形， ∴CA＝CB，∠ACB＝60， ∵AF∥CT，CF∥AT， ∴四邊形AFCT是平行四邊形， ∴CF＝AT， ∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD， ∴△ACD∽△BED， ∴＝， ∴＝， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB∽△CDE， ∴∠ABD＝∠CED＝60，

51、 ∵CT∥AF， ∴∠CTE＝∠FAE＝60， ∴△CTE是等邊三角形， ∴EC＝ET， ∴AE＝AT+ET＝CF+CE． 故答案為：AE＝CF+CE． ②如圖2中，結(jié)論：EC＝（AE﹣CF）． 理由：過點C作CQ⊥AE于Q． ∵CF∥AM， ∴∠CFA+∠MAN＝180， ∵∠MAN＝90， ∴∠CFA＝∠FAQ＝90， ∵∠CQA＝90， ∴四邊形AFCQ是矩形， ∴CF＝AQ， ∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD， ∴△ACD∽△BED， ∴＝， ∴＝， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB∽△CDE， ∴∠ABD＝∠CED＝45，

52、 ∵∠CQE＝90， ∴CE＝EQ， ∴AE﹣CF＝AE﹣AQ＝EQ， ∴EC＝（AE﹣CF）． （2）如圖3﹣1中，當(dāng)∠CDE＝90時，過點B作BJ⊥AC于J，過點F作FK⊥AE于K． 在Rt△ABJ中，tan∠BAJ＝＝，AB＝5， ∴AJ＝3，BJ＝4， ∵AC＝AB＝5， ∴CJ＝AC﹣AJ＝5﹣3＝2， ∴BC＝＝＝2， ∵?AC?BJ＝?BC?AD， ∴AD＝＝2， ∴CD＝＝＝， ∵FK⊥AD， ∴∠CDE＝∠FKD＝90， ∴CD∥FK， ∵CF∥DK， ∴四邊形CDKF是平行四邊形， ∵∠FKD＝90， ∴四邊形CDKF是矩形，

53、 ∴FK＝CD＝， ∵tan∠FAK＝tan∠CAB＝， ∴＝， ∴AK＝， ∴AF＝＝＝． 如圖3﹣2中，當(dāng)∠ECD＝90時，∠DAB＝90， ∵CF∥AM， ∴∠AKF＝∠DAB＝90， 在Rt△ACK中，tan∠CAK＝＝，AC＝5， ∴CK＝4，AK＝3， ∵∠MAN＝∠CAB， ∴∠CAN＝∠DAB＝90， ∴∠CAB+∠BAF＝90，∠BAF+∠AFK＝90， ∴∠AFK＝∠CAB， ∴tan∠AFK＝＝， ∴FK＝， ∴AF＝＝＝． 綜上所述，滿足條件的AF的值為或． 八、解答題（本題滿分14分） 26如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣

54、3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），D是拋物線的頂點，P是拋物線上的動點，點P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），AE∥PD交直線l：y＝x+2于點E，AP交DE于點F，交y軸于點Q． （1）求拋物線的表達式； （2）設(shè)△PDF的面積為S1，△AEF的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時，求點P的坐標(biāo)； （3）連接BQ，點M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且∠BMQ＝45，在點P從點B運動到點C的過程中，點M也隨之運動，直接寫出點M的縱坐標(biāo)t的取值范圍． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；動點型；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識． 【答案】（1）拋物線的表達式為：

55、y＝x2﹣2x﹣3； （2）P（，﹣）； （3）2≤t≤． 【分析】（1）運用待定系數(shù)法將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求得答案； （2）利用配方法可求得拋物線頂點坐標(biāo)D（1，﹣4），由AE∥PD得△AEF∽△PDF，再根據(jù)△PDF與△AEF的面積相等，可得△AEF≌△PDF，故點F分別是AP、ED的中點，設(shè)E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），結(jié)合中點坐標(biāo)公式建立方程求解即可； （3）根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值：①當(dāng)點P與點B重合時，點Q與點O重合，此時t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′OB，以O(shè)′為圓心，OO′

56、為半徑作⊙O′，交拋物線對稱軸于點M（1，t），過點O′作O′H⊥y軸于點H，運用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點P與點C重合時，點Q與點C重合，此時t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交拋物線對稱軸于點M，連接OM，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點E，運用勾股定理即可求得答案． 【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0）， ∴將A、B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：， 解得：， ∴拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如圖，∵D是拋物線的頂點，拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）， ∵

57、AE∥PD交直線l：y＝x+2于點E，P是拋物線上的動點，點P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3）， ∴△AEF∽△PDF，設(shè)E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3）， 又∵△PDF的面積為S1，△AEF的面積為S2，S1＝S2， ∴△AEF≌△PDF， ∴AF＝PF，EF＝DF，即點F分別是AP、ED的中點， 又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4）， ∴由中點坐標(biāo)公式得：， 解得：m1＝0（與“AE∥PD”不符，應(yīng)舍去），m2＝， ∴t2＝， ∴P（，﹣），E（，）； （3）①當(dāng)點P與點B重合時，點Q與點O重合，此時t的值最大，如圖2，

58、以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′OB， 則O′（，），OO′＝O′B＝， 以O(shè)′為圓心，OO′為半徑作⊙O′，交拋物線對稱軸于點M（1，t）， 過點O′作O′H⊥y軸于點H，則∠O′HM＝90，O′H＝，O′M＝OO′＝， ∴MH＝＝＝， ∴t＝+＝， ②當(dāng)點P與點C重合時，點Q與點C重合，此時t的值最小，如圖3， 連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交拋物線對稱軸于點M， ∵OB＝OC＝3， ∴⊙O經(jīng)過點C， 連接OM，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點E， 則OM＝OB＝3，OE＝1， ∵∠MEO＝90， ∴ME＝＝＝2， ∴t＝2， 綜上所述，2≤t≤．