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教學(xué)資料參考范本 九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期 一元二次方程暑假導(dǎo)學(xué)案 人教版 撰寫(xiě)人：__________________ 時(shí) 間：__________________ 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.一元二次方程的定義、各項(xiàng)系數(shù)的辨別，根的作用．根的作用的理解． 2.通過(guò)提出問(wèn)題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念 【自主探究一】 1.如圖，有一塊矩形鐵皮，長(zhǎng)100 cm，寬50 cm．在它的四個(gè)角分別切去一個(gè)正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒．如果要制作的無(wú)蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？ 　　　　　　　　　　 解： 只列方程： 。 2.再觀察下列各式： 1. 2. 3. 4. 問(wèn)題一：上面1、2題目中含有 個(gè)未知數(shù)？ 問(wèn)題二：按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是 次？ 類比一元一次方程的定義，那么上面的方程叫做 。 方程的特點(diǎn)： （1）都只含一個(gè)未知數(shù)x； （2）它們的最高次數(shù)都是2次的； 歸納一元二次方程定義：只含有 ，并且未知數(shù)的 為 的 方程，叫做一元二次方程． 【知識(shí)梳理】 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式． 一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)． 【典例分析】 例1.將方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)． 解：去括號(hào)得 ， 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式 ． 其中二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是－8，常數(shù)項(xiàng)是－10． 【嘗試練習(xí)】 1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)． 1. (2x-1)=7 2. 【自主探究二】 1.什么是一元一次方程的解？一個(gè)一元一次方程有幾個(gè)解？ 2．你能猜測(cè)方程的解是什么嗎？那一元二次方程應(yīng)該有幾個(gè)解？ 【小試牛刀】 1將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)． 2你能根據(jù)所學(xué)過(guò)的知識(shí)解出下列方程的解嗎？ （1）； （2）． 【應(yīng)用拓展】 求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程． 22.2降次——解一元二次方程（1）（第2課時(shí)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用直接開(kāi)平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程． 2.運(yùn)用開(kāi)平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程． 3.通過(guò)根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，知識(shí)遷移到解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．體會(huì)由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想方法． 【復(fù)習(xí)引入】 1求出下列各式中x的值，并說(shuō)說(shuō)你的理由． （1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a>0）． 【自主探究】 一桶某種油漆可刷的面積為1 500 dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎？ 解：設(shè)， 列方程， 猜想上述方程的解為： 【嘗試練習(xí)】 問(wèn)題1：對(duì)照上述解方程的過(guò)程，你能解下列方程嗎？從中你能得到什么結(jié)論？ （1）；（提示：開(kāi)平方得到） （2） 【知識(shí)梳理】： 1簡(jiǎn)單的解一元二次方程的思想“降次”——把二次降為一次，進(jìn)而解一元一次方程．即在解一元二次方程時(shí)通常通過(guò)“降次”把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程． 2如果方程能化成或的形式，那么直接開(kāi)平方可得或． 【鞏固練習(xí)】 解下列方程． 1．x2-3=0 2．4x2-9=0 3. 4x2+4x+1=1 4. x2-6x+9=0 【拓展練習(xí)】 市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長(zhǎng)率． 22.2降次——解一元二次方程（2）配方法（第3課時(shí)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用配方法，即通過(guò)變形運(yùn)用開(kāi)平方法降次解方程。 2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步驟；能夠利用配方法解一元二次方程。滲透配方法是解決某些代數(shù)問(wèn)題的一個(gè)很重要的方法． 【復(fù)習(xí)引入】 請(qǐng)同學(xué)們解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 知識(shí)歸納：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得 x=或mx+n=（p≥0）． 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 【典例分析】 例1，要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6 cm，并且面積為16 cm2，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬分別是多少？ 分析：設(shè)場(chǎng)地的寬為x m，則長(zhǎng)為 m，根據(jù)矩形面積為16 cm2，得到方程 ＝16，整理得到x2+6x－16＝0，如何解方程x2+6x－16＝0？只要把上述方程左邊化成一個(gè)完全平方式的形式，問(wèn)題就解決了，于是想到把方程左邊進(jìn)行配方，對(duì)于代數(shù)式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化為 x2+6x＋9=16＋9， 即 ＝25，問(wèn)題解決。 小結(jié)：通過(guò)配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。 例2. （配方法） 解：移項(xiàng)，得 由此可得， 所以，， 【小試牛刀】 1. 2. 【階段總結(jié)】 1.利用上面配方法解方程的過(guò)程，你能從中得到在配方時(shí)具有的規(guī)律嗎？ （1）x2－8x + 1 = 0； （2）； （3）． （1）中經(jīng)過(guò)移項(xiàng)可以化為，為了使方程的左邊變?yōu)橥耆椒绞?，可以在方程兩邊同時(shí)加上42，得到，得到（x－4）2=15； （2）中二次項(xiàng)系數(shù)不是1，此時(shí)可以首先把方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)2，然后再進(jìn)行配方，即，方程兩邊都加上，方程可以化為； 2.配方法解方程時(shí)應(yīng)該遵循的步驟： （1）把方程化為一般形式； （2）把方程的常數(shù)項(xiàng)通過(guò)移項(xiàng)移到方程的右邊； （3）方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a； （4）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方； （5）此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解． 【鞏固練習(xí)】 解下列方程． （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0 　　 【應(yīng)用拓展】 例：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90，AC=8m，CB=6m，點(diǎn)P、Q同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半． 解：設(shè)x秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半． 22.2降次——解一元二次方程（3）（第4課時(shí)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1用公式法解一元二次方程。 2掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo)，會(huì)運(yùn)用公式法解一元二次方程． 3通過(guò)求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性． 【復(fù)習(xí)引入】 1.用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 【自主探索】 提出問(wèn)題：如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？ 例，已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根為x1=，x2= 提示：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去． 解：移項(xiàng)，得： 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得 配方，得：x2+x+（ ）2=-+（ ）2 即（x+）2= ∵ 且4a2>0 ∴≥0 直接開(kāi)平方，得：x+= 即x= ∴x1=，x2= 注意： （）即是一元二次方程的求根公式。 例2利用公式法解下列方程，從中你能發(fā)現(xiàn)什么？ （1） （2） （3） 總結(jié)步驟： 1.確定的值、 2.算出的值、 3.代入求根公式求解． （1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系數(shù)確定的； （2）在解一元二次方程時(shí)，可先把方程化為一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的兩個(gè)根； （3）我們把公式（）稱為一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． 【鞏固練習(xí)】 用公式法解下列方程． （1）x2-5x-6=0 （2）7x2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0 （4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=0 　　 【應(yīng)用拓展】 例：某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下面的問(wèn)題．若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． 22.2降次——解一元二次方程（4）（第5課時(shí)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.用根的判別式b2-4ac來(lái)判別ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況及其運(yùn)用。 2.掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不等的實(shí)根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)實(shí)根，反之也成立；及其它們關(guān)系的運(yùn)用． 【復(fù)習(xí)引入】 1.用公式法解下列方程,并說(shuō)明根的情況，觀察b2-4ac的值。 （1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0 （1）b2-4ac=9>0，方程有 ； （2）b2-4ac=12-12=0，方程 ； （3）b2-4ac=│-441│=<0，方程 ； 2.總結(jié)一元二次方程根的規(guī)律和的關(guān)系。 【鞏固練習(xí)】 例：不解方程，判定方程根的情況 （1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0 （3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0 【反饋練習(xí)】 不解方程判定下列方程根的情況: （1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0 （5）x2-x-=0 （6）4x2-6x=0 　 【應(yīng)用拓展】 例1：某養(yǎng)雞廠的矩形雞舍長(zhǎng)靠墻．現(xiàn)在有材料可以制作竹籬笆13米，若欲圍成20平方米的雞舍，雞舍的長(zhǎng)和寬應(yīng)是多少？能圍成22平方米的雞舍嗎，若可以求出長(zhǎng)和寬，若不能說(shuō)明理由． 【閱讀理解】 從前面的具體問(wèn)題，我們已經(jīng)知道b2-4ac>0（<0，=0）與根的情況，現(xiàn)在你把這個(gè)問(wèn)題一般化，從求根公式的角度來(lái)分析來(lái)得出結(jié)論。 求根公式：x=，當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，等于一個(gè)具體數(shù)，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根．當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，根據(jù)平方根的意義=0，所以x1=x2=，即有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以沒(méi)有實(shí)數(shù)解． 因此，（結(jié)論）（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即x1=，x2=． （2）當(dāng)b-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根即x1=x2=． （3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 22.2降次——解一元二次方程（5）（第6課時(shí)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1應(yīng)用分解因式法解一些一元二次方程． 2能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法． 3體會(huì)“降次”化歸的思想。 【復(fù)習(xí)引入】 解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法） 【自主探究】 例題，仔細(xì)觀察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法嗎？ （1）上面兩個(gè)方程中有沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)？ （2）等式左邊的各項(xiàng)有沒(méi)有共同因式？ 　　 上面兩個(gè)方程中都沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解: 2x2+x= ，3x2+6x= 因此，上面兩個(gè)方程都可以寫(xiě)成： （1）x（2x+1）=0 所以x=0或2x+1=0，因此，x1=0，x2=-． 你知道為什么嗎？我認(rèn)為： 。 （2）3x（x+2）=0 解： 【知識(shí)梳理】 1.上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開(kāi)平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法． 2.歸納：利用因式分解使方程化為兩個(gè)一次式乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次．這種解法叫作因式分解法． 【小試牛刀】 通過(guò)解下列方程，你能發(fā)現(xiàn)在解一元二次方程的過(guò)程中需要注意什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【鞏固練習(xí)】 1根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個(gè)物體從地面以10 m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過(guò)x s物體離地面的高度（單位：m）為 ． 你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過(guò)多少秒回到地面嗎？ 2 解下列方程． 1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0 　　 22.2降次——解一元二次方程（6）（第7課時(shí)） 十字相乘法分解因式 【閱讀理解】 閱讀：我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0， 請(qǐng)你用上面的方法解下列方程． （1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0 提示：二次三項(xiàng)式x2-（a+b）x+ab的最大特點(diǎn)是x2項(xiàng)是由xx而成，常數(shù)項(xiàng)ab是由-a（-b）而成的，而一次項(xiàng)是由-ax+（-bx）交叉相乘而成的．根據(jù)上面的分析，我們可以對(duì)上面的三題分解因式． 【鞏固練習(xí)】 1. 2. 【閱讀】 配方法、公式法、因式分解法聯(lián)系與區(qū)別： 聯(lián)系： ①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推導(dǎo)而得到． ③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程． 區(qū)別： ①配方法要先配方，再開(kāi)方求根． ②公式法直接利用公式求根． ③因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0。 22.2．4一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（第8課時(shí)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 （1）掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 （2）能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求：已知方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及待定系數(shù)； 根據(jù)方程求代數(shù)式的值。 （3）學(xué)生經(jīng)歷觀察→發(fā)現(xiàn)→猜想→證明的思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和解決問(wèn) 【探索新知】 1.請(qǐng)同學(xué)們完成下面的表格： 方程 x x x 2.觀擦上面的規(guī)律，運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空： （1）已知方程x的根是x和x，則= ；= （2）已知方程x+3x－5=0的根是x和x，則= ；= 猜想：如果方程的根是x和x，則= ；= 【典例分析】 1.證明猜想： 如果方程的根是x和x，那么=－m，=n 證明：方程的△=m 當(dāng)△=m≥0時(shí)，方程的根是x=，x= =+ =m = =n 2.提出疑問(wèn)：如果一元二次方程的一般式的根是x和x，那么 ， = ；= 【應(yīng)用新知】 例1． 已知方程的一個(gè)根是3，求方程的另一個(gè)根及c的值。 解.設(shè)方程的另一個(gè)根是，則 3+=2 解之得=－1。 ∵3=c ∴3（－1）=c ∴c=－3 故：方程的另一個(gè)根是－1，c=－3。 【嘗試練習(xí)】 1.求下列方程兩個(gè)根的和與積 （1） x2－3x+2=0 （2） 2x2+3x－4=0 2.方程2的兩個(gè)根是x和x，則= ； = 3.已知方程的一個(gè)根是2，求方程的另一個(gè)根及的值。 【應(yīng)用拓展】 例，已知方程的根是x和x，求下列式子的值： （1）+ （2） 解.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知：=5，=－6 （1）原式=+2－ = =5－（－6） =31 （2）原式= = = = 【鞏固練習(xí)】 （1）已知方程的兩個(gè)根分別是x和x，則= = （2）已知方程的兩個(gè)根是2與3，則 ， 2．已知方程的一個(gè)根是2，求另一個(gè)根及c的值。 3．已知方程2的兩個(gè)根分別是x和x，求下列式子的值： （1）（x+2）（x+2） （2） 22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（1）（第9課時(shí)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型． 2.能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理．經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為代數(shù)問(wèn)題的過(guò)程，探索問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)之進(jìn)行描述。 【自主探究】 回顧：列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？應(yīng)注意什么？ 【問(wèn)題情境】 例，有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？ （1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？ （2）如何理解“兩輪傳染”？ 23 / 23