《2016北京市西城區(qū)九年級(jí)上《第24章圓》單元測(cè)試含答案解析.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2016北京市西城區(qū)九年級(jí)上《第24章圓》單元測(cè)試含答案解析.doc（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

《第24章 圓》（北京市西城區(qū)重點(diǎn)中學(xué)） 　 一、填空題 1．已知點(diǎn)O為△ABC的外心，若∠A=80，則∠BOC的度數(shù)為（　?。? A．40 B．80 C．160 D．120 2．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，OP=2cm，若⊙O的半徑是3cm，則過(guò)點(diǎn)P的最短弦的長(zhǎng)度為（　?。? A．1cm B．2cm C． cm D． cm 3．已知A為⊙O上的點(diǎn)，⊙O的半徑為1，該平面上另有一點(diǎn)P，，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（　?。? A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法確定 4．如圖：點(diǎn)A、B、C、D為⊙O上的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從圓心O出發(fā)，沿O﹣C﹣D﹣O的路線做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，∠APB的度數(shù)為y．則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵ā　。? A． B． C． D． 5．在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（2，3）為圓心，2為半徑的圓必定（　?。? A．與x軸相離，與y軸相切 B．與x軸，y軸都相離 C．與x軸相切，與y軸相離 D．與x軸，y軸都相切 6．如圖，⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30，切線CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為（　?。? A．2 B．4 C．2 D．4 7．如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠DOR的度數(shù)是（　　） A．60 B．65 C．72 D．75 8．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積是（　?。? A．π B．1.5π C．2π D．2.5π 　 二、選擇題 9．如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A，B，C，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為　?。? 10．如圖，在△ABC中，∠A=90，AB=AC=2cm，⊙A與BC相切于點(diǎn)D，則⊙A的半徑長(zhǎng)為　　cm． 11．善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)的基本思想方法，被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題中．用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形性質(zhì)描述數(shù)量關(guān)系，往往會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)．小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)過(guò)程中（如圖，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，設(shè)AE=x，BE=y，用含x，y的式子表示圖中的弦CD的長(zhǎng)度），通過(guò)比較運(yùn)動(dòng)的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于正數(shù)x，y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的不等式． 12．如圖，∠AOB=30，OM=6，那么以M為圓心，4為半徑的圓與直O(jiān)A的位置關(guān)系是　?。? 13．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，則AC=　　cm． 14．閱讀下面材料： 在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題： 小亮的作法如下： 老師說(shuō)：“小亮的作法正確．” 請(qǐng)你回答：小亮的作圖依據(jù)是　　． 　 三、解答題（7+7+8+8） 15．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點(diǎn)D，切線DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E． 求證：（1）△ABC是等邊三角形； （2）． 16．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．《九章算術(shù)》中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，間徑幾何？”（如圖①） 閱讀完這段文字后，小智畫出了一個(gè)圓柱截面示意圖（如圖②），其中BO⊥CD于點(diǎn)A，求間徑就是要求⊙O的直徑． 再次閱讀后，發(fā)現(xiàn)AB=　　寸，CD=　　寸（一尺等于十寸），通過(guò)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)即可解決這個(gè)問(wèn)題．請(qǐng)你補(bǔ)全題目條件，并幫助小智求出⊙O的直徑． 17．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD． （1）P是上一點(diǎn)（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB； （2）點(diǎn)P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時(shí)，∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 18．如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)F，作DE⊥AC于點(diǎn)E． （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）若△ABC的邊長(zhǎng)為4，求EF的長(zhǎng)度． 　 《第24章 圓》（北京市西城區(qū)重點(diǎn)中學(xué)） 參考答案與試題解析 　 一、填空題 1．已知點(diǎn)O為△ABC的外心，若∠A=80，則∠BOC的度數(shù)為（　?。? A．40 B．80 C．160 D．120 【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心． 【分析】根據(jù)圓周角定理得∠BOC=2∠A=160． 【解答】解：∵點(diǎn)O為△ABC的外心，∠A=80， ∴∠BOC=2∠A=160． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用圓周角定理計(jì)算，即在同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半． 　 2．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，OP=2cm，若⊙O的半徑是3cm，則過(guò)點(diǎn)P的最短弦的長(zhǎng)度為（　　） A．1cm B．2cm C． cm D． cm 【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理． 【專題】計(jì)算題． 【分析】過(guò)P作AB⊥OP交圓與A、B兩點(diǎn)，連接OA，故AB為最短弦長(zhǎng)，再解Rt△OPA，即可求得AB的長(zhǎng)度，即過(guò)點(diǎn)P的最短弦的長(zhǎng)度． 【解答】解：過(guò)P作AB⊥OP交圓與A、B兩點(diǎn)，連接OA，如下圖所示： 故AB為最短弦長(zhǎng)， 由垂徑定理可得：AP=PB 已知OA=3，OP=2 在Rt△OPA中，由勾股定理可得： AP2=OA2﹣OP2 ∴AP==cm ∴AB=2AP=2cm 故此題選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最短弦長(zhǎng)的判定以及垂徑定理的運(yùn)用． 　 3．已知A為⊙O上的點(diǎn)，⊙O的半徑為1，該平面上另有一點(diǎn)P，，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（　?。? A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法確定 【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系． 【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)P可能在圓外也可能在圓上，也可能在圓內(nèi)，所以無(wú)法確定． 【解答】解：∵PA=，⊙O的直徑為2 ∴點(diǎn)P的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，做題時(shí)注意多種情況的考慮． 　 4．如圖：點(diǎn)A、B、C、D為⊙O上的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從圓心O出發(fā)，沿O﹣C﹣D﹣O的路線做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，∠APB的度數(shù)為y．則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵ā　。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象． 【分析】根據(jù)題意，分P在OC、CD、DO之間3個(gè)階段，分別分析變化的趨勢(shì)，又由點(diǎn)P作勻速運(yùn)動(dòng)，故①③都是線段，分析選項(xiàng)可得答案． 【解答】解：根據(jù)題意，分3個(gè)階段； ①P在OC之間，∠APB逐漸減小，到C點(diǎn)時(shí)，為45， ②P在CD之間，∠APB保持45，大小不變， ③P在DO之間，∠APB逐漸增大，到O點(diǎn)時(shí)，為90； 又由點(diǎn)P作勻速運(yùn)動(dòng)，故①③都是線段； 分析可得：B符合3個(gè)階段的描述； 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)圖象與幾何變換，解決此類問(wèn)題，注意將過(guò)程分成幾個(gè)階段，依次分析各個(gè)階段得變化情況，進(jìn)而綜合可得整體得變化情況． 　 5．在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（2，3）為圓心，2為半徑的圓必定（　?。? A．與x軸相離，與y軸相切 B．與x軸，y軸都相離 C．與x軸相切，與y軸相離 D．與x軸，y軸都相切 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】本題應(yīng)將該點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別與半徑對(duì)比，大于半徑的相離，等于半徑的相切． 【解答】解：∵是以點(diǎn)（2，3）為圓心，2為半徑的圓， 如圖所示： ∴這個(gè)圓與y軸相切，與x軸相離． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】直線與圓相切，直線到圓的距離等于半徑；與圓相離，直線到圓的距離大于半徑． 　 6．如圖，⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30，切線CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為（　?。? A．2 B．4 C．2 D．4 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】連接OC，BC，AB是直徑，CD是切線，先求得∠OCD=90再求∠COB=2∠A=60，利用三角函數(shù)即可求得CD的值． 【解答】解：連接OC，BC，AB是直徑，則∠ACB=90， ∵CD是切線， ∴∠OCD=90， ∵∠A=30， ∴∠COB=2∠A=60，CD=OC?tan∠COD=2． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題利用了切線的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角求解． 　 7．如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠DOR的度數(shù)是（　　） A．60 B．65 C．72 D．75 【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求． 【解答】解：連結(jié)OD，如圖， ∵△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形， ∴PQ=PR=QR， ∴∠POR=360=120， ∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形， ∴∠AOD=90， ∴∠DOP=90=45， ∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理． 　 8．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積是（　?。? A．π B．1.5π C．2π D．2.5π 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；多邊形內(nèi)角與外角． 【專題】壓軸題． 【分析】圓心角之和等于五邊形的內(nèi)角和，由于半徑相同，那么根據(jù)扇形的面積2公式計(jì)算即可． 【解答】解：圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積是=1.5π 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是把陰影部分當(dāng)成一個(gè)扇形的面積來(lái)求，圓心角為五邊形的內(nèi)角和． 　 二、選擇題 9．如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A，B，C，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為　（2，0）?。? 【考點(diǎn)】確定圓的條件；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心． 【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心， 可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心． 如圖所示，則圓心是（2，0）． 故答案為：（2，0） 【點(diǎn)評(píng)】能夠根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心的位置． 　 10．如圖，在△ABC中，∠A=90，AB=AC=2cm，⊙A與BC相切于點(diǎn)D，則⊙A的半徑長(zhǎng)為　　cm． 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】連接AD，則有AD是△ABC的斜邊上的高，可判定△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AB=2，利用點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，可求AD=BC=cm． 【解答】解：連接AD； ∵∠A=90，AB=AC=2cm， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=2； ∵點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)， ∴AD=BC=cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題利用了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)求解． 　 11．善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)的基本思想方法，被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題中．用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形性質(zhì)描述數(shù)量關(guān)系，往往會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)．小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)過(guò)程中（如圖，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，設(shè)AE=x，BE=y，用含x，y的式子表示圖中的弦CD的長(zhǎng)度），通過(guò)比較運(yùn)動(dòng)的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于正數(shù)x，y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的不等式． 【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】此題中隱含的不等關(guān)系：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，所以AB≥CD． 首先可以表示出AB=x+y，再根據(jù)相交弦定理的推論和垂徑定理，得CD=2CE=2． 【解答】解：∵直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E， ∴CE=DE， 根據(jù)相交弦定理的推論，得CE2=AE?BE，則CE=， ∴CD=2CE=2． 又∵AB=x+y，且AB≥CD， ∴x+y≥2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；相交弦定理的推論以及垂徑定理的綜合應(yīng)用． 　 12．如圖，∠AOB=30，OM=6，那么以M為圓心，4為半徑的圓與直O(jiān)A的位置關(guān)系是　相交?。? 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】利用直線l和⊙O相切?d=r，進(jìn)而判斷得出即可． 【解答】解：過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AO于點(diǎn)D， ∵∠AOB=30，OM=6， ∴MD=3， ∴MD＜r ∴以點(diǎn)m為圓心，半徑為34的圓與OA的位置關(guān)系是：相交． 故答案為：相交． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線與圓的位置，正確掌握直線與圓相切時(shí)d與r的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　 13．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，則AC=　8　cm． 【考點(diǎn)】圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理求得三角形AOC是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可求解． 【解答】解：連接OC． ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA． 又∵∠B=∠OAC=∠AOC， ∴∠AOC=90． ∴AC=OA=8cm． 【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理以及勾股定理． 　 14．閱讀下面材料： 在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題： 小亮的作法如下： 老師說(shuō)：“小亮的作法正確．” 請(qǐng)你回答：小亮的作圖依據(jù)是　垂徑定理?。? 【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；作圖—復(fù)雜作圖． 【分析】利用垂徑定理得出任意兩弦的垂直平分線交點(diǎn)即可． 【解答】解：根據(jù)小亮作圖的過(guò)程得到：小亮的作圖依據(jù)是垂徑定理． 故答案是：垂徑定理． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及垂徑定理，熟練利用垂徑定理的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 三、解答題（7+7+8+8） 15．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點(diǎn)D，切線DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E． 求證：（1）△ABC是等邊三角形； （2）． 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定；圓周角定理． 【專題】證明題． 【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，從而得到平行線，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，則∠A=∠B，得到AC=BC，從而證明該三角形是等邊三角形； （2）再根據(jù)在圓內(nèi)直徑所對(duì)的角是直角這一性質(zhì)，推出30的直角三角形，根據(jù)30所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可證明． 【解答】證明：（1）連接OD，得OD∥AC； ∴∠BDO=∠A； 又OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB； ∴∠OBD=∠A； ∴BC=AC； 又∵AB=AC， ∴△ABC是等邊三角形； （2）如上圖，連接CD，則CD⊥AB； ∴D是AB中點(diǎn)； ∵AE=AD=AB， ∴EC=3AE； ∴AE=CE． 【點(diǎn)評(píng)】本題中作好輔助線是解題的關(guān)鍵，連接過(guò)切點(diǎn)的半徑是圓中常見的輔助線作法之一．另外還要掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)以及30的直角三角形的性質(zhì)． 　 16．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．《九章算術(shù)》中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，間徑幾何？”（如圖①） 閱讀完這段文字后，小智畫出了一個(gè)圓柱截面示意圖（如圖②），其中BO⊥CD于點(diǎn)A，求間徑就是要求⊙O的直徑． 再次閱讀后，發(fā)現(xiàn)AB=　1　寸，CD=　10　寸（一尺等于十寸），通過(guò)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)即可解決這個(gè)問(wèn)題．請(qǐng)你補(bǔ)全題目條件，并幫助小智求出⊙O的直徑． 【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理． 【分析】根據(jù)題意容易得出AB和CD的長(zhǎng)；連接OB，設(shè)半徑CO=OB=x寸，先根據(jù)垂徑定理求出CA的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出x的值，即可得出直徑． 【解答】解：根據(jù)題意得：AB=1寸，CD=10寸； 故答案為：1，10； （2）連接CO，如圖所示： ∵BO⊥CD， ∴． 設(shè)CO=OB=x寸，則AO=（x﹣1）寸， 在Rt△CAO中，∠CAO=90， ∴AO2+CA2=CO2． ∴（x﹣1）2+52=x2． 解得：x=13， ∴⊙O的直徑為26寸． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，運(yùn)用勾股定理得出方程是解答此題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD． （1）P是上一點(diǎn)（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB； （2）點(diǎn)P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時(shí)，∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）根據(jù)垂徑定理知，弧CD=2弧BC，由圓周角定理知，弧BC的度數(shù)等于∠BOC的度數(shù)，弧AD的度數(shù)等于∠CPD的2倍， 可得：∠CPD=∠COB； （2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)知，∠CP′D=180﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180． 【解答】（1）證明：連接OD， ∵AB是直徑，AB⊥CD， ∴． ∴∠COB=∠DOB=∠COD． 又∵∠CPD=∠COD， ∴∠CPD=∠COB． （2）解：∠CP′D+∠COB=180． 理由如下：連接OD， ∵∠CPD+∠CP′D=180，∠COB=∠DOB=∠COD， 又∵∠CPD=∠COD， ∴∠COB=∠CPD， ∴∠CP′D+∠COB=180． 【點(diǎn)評(píng)】本題利用了垂徑定理和圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解． 　 18．如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)F，作DE⊥AC于點(diǎn)E． （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）若△ABC的邊長(zhǎng)為4，求EF的長(zhǎng)度． 【考點(diǎn)】切線的判定；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）連接OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ODE=90，根據(jù)切線的判定定理證明即可； （2）連接AD，BF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出DC、CF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EC，結(jié)合圖形計(jì)算即可． 【解答】（1）證明：如圖1，連接OD， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60． ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠B=60． ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90． ∴∠EDC=30． ∴∠ODE=90． ∴DE⊥OD于點(diǎn)D． ∵點(diǎn)D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切線； （2）解：如圖2，連接AD，BF， ∵AB為⊙O直徑， ∴∠AFB=∠ADB=90． ∴AF⊥BF，AD⊥BD． ∵△ABC是等邊三角形， ∴，． ∵∠EDC=30， ∴． ∴FE=FC﹣EC=1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵． 　  第22頁(yè)（共22頁(yè)）