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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教版 本試卷是高三理科試卷，以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能力載體.突出考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算能力，試題重點(diǎn)考查：集合，不等式、復(fù)數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)，函數(shù)模型、數(shù)列、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、等；考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力，是份較好的試卷. 【題文】一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】1.設(shè)集合，集合，則等于 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】集合及其運(yùn)算A1 【答案解析】C ={x,={x 所以=，故選C. 【思路點(diǎn)撥】先求出集合A,B,再求出結(jié)果。 【題文】2.如果命題“”為真命題，則 A.均為真命題 B.均為假命題 C.中至少有一個(gè)為真命題 D.中一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題 【知識(shí)點(diǎn)】命題及其關(guān)系A(chǔ)2 【答案解析】B 因?yàn)闉檎婷}，則為假命題，所以均為假命題， 故選B。 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)邏輯連結(jié)詞求出結(jié)果。 【題文】3.設(shè)，則 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3 【答案解析】B 因?yàn)?，cos=sin>sin且小于1， 所以，故選B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果。 【題文】4.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)B7 【答案解析】D ∵點(diǎn)（16，2）在函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）的圖象上，∴2=loga16， ∴a2=16，a=4，∴=tan=tan=故選：D． 【思路點(diǎn)撥】由條件求得a的值，再利用誘導(dǎo)公式求得 的值 【題文】5.設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，則“”是“為遞減數(shù)列”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和D3 【答案解析】D ∵數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則“0＜q＜1”，∴當(dāng)a1＜0時(shí)，“{an}為遞增數(shù)列”，又∵“0＜q＜1”是“{an}為遞減數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選：D 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等比數(shù)列 的性質(zhì)可判斷：當(dāng)a1＜0時(shí)，“0＜q＜1”“{an}為遞增數(shù)列”；{an}為遞減數(shù)列”，a1＜0時(shí)，q＞1，根據(jù)充分必要條件的定義可以判斷答案． 【題文】6.給定函數(shù)①，②，③，④，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3 【答案解析】B ：①是冪函數(shù)，其在（0，+∞）上即第一象限內(nèi)為增函數(shù)，故此項(xiàng)不符合要求；②中的函數(shù)是由函數(shù)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，因?yàn)樵瘮?shù)在（0，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，故此項(xiàng)符合要求；③中的函數(shù)圖象是由函數(shù)y=x-1的圖象保留x軸上方，下方圖象翻折到x軸上方而得到的，故由其圖象可知該項(xiàng)符合要求；④中的函數(shù)圖象為指數(shù)函數(shù)，因其底數(shù)大于1，故其在R上單調(diào)遞增，不合題意．故選B． 【思路點(diǎn)撥】本題所給的四個(gè)函數(shù)分別是冪函數(shù)型，對(duì)數(shù)函數(shù)型，指數(shù)函數(shù)型，含絕對(duì)值函數(shù)型，在解答時(shí)需要熟悉這些函數(shù)類型的圖象和性質(zhì)；① 為增函數(shù)，② 為定義域上的減函數(shù)，③y=|x-1|有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，一增區(qū)間一個(gè)減區(qū)間，④y=2x+1為增函數(shù)． 【題文】7.設(shè)是第二象限角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則等于 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式C2 【答案解析】D ∵α是第二象限角，P（x，4）為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα=x=，x＜0，∴x=-3，∴tanα=- 則tan2α= = 故選：D． 【思路點(diǎn)撥】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求出tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值． 【題文】8.在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若等于 A. B.0 C.1 D.2 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和D2 【答案解析】A 設(shè)公差為d，則an+1=an+d，an-1=an-d，由an+1-an2+an-1=0（n≥2）可得2an-an2=0，解得an=2（零解舍去），故S2n-1-4n=2（2n-1）-4n=-2，故選A． 【思路點(diǎn)撥】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得an+1+an-1=2an，結(jié)合已知，可求出an，又因?yàn)閟2n-1=（2n-1）an，故本題可解． 【題文】9.若函數(shù)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)的圖象是 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像B8 【答案解析】C ∵函數(shù)f（x）=kax-a-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函數(shù) 則f（-x）+f（x）=0即（k-1）（ax-a-x）=0則k=1 又∵函數(shù)f（x）=kax-a-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)則a＞1 則g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函數(shù)圖象必過(guò)原點(diǎn)，且為增函數(shù)故選C 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)f（x）=kax-a-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，我們可得k=1，a＞1，由此不難判斷函數(shù)的圖象． 【題文】10.已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3 【答案解析】A 由題意可得：存在x0∈（-∞，0），滿足x02+ex0-=（-x0）2+ln（-x0+a）， 即ex0- -ln（-x0+a）=0有負(fù)根，∵當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，ex0--ln（-x0+a）也趨近于負(fù)無(wú)窮大，且函數(shù)h（x）=ex--ln（-x+a）為增函數(shù)，∴h（0）=-lna＞0， ∴l(xiāng)na＜ln，∴0＜a＜，故答案為：A. 【思路點(diǎn)撥】由題意可得：存在x0∈（-∞，0），滿足x02+ex0-=（-x0）2+ln（-x0+a）， 函數(shù)h（x）=ex--ln（-x+a）的圖象和性質(zhì)，得到h（0）=-lna＞0，繼而得到答案． 【題文】二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)把答案填在答題紙的相應(yīng)位置. 【題文】11.已知，則 ▲ . 【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式C6 【答案解析】 因?yàn)?-cos，所以cos=-,則 = ,故答案為。 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)誘導(dǎo)公式求出余弦值，再根據(jù)二倍角公式求出結(jié)果。 【題文】12.已知向量的夾角為45，且 ▲ . 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用F3 【答案解析】3 因?yàn)?、的夾角為45，且||=1，|2-|=， 所以42-4?+2=10，即||2-2||-6=0，解得||=3或||=-（舍） 故答案為3． 【思路點(diǎn)撥】將|2-|=平方，然后將夾角與||=1代入得到||的方程，解方程可得． 【題文】13.由曲線，直線軸所圍成的圖形的面積為 ▲ . 【知識(shí)點(diǎn)】定積分與微積分基本定理B13 【答案解析】 如圖所示： 聯(lián)立解得，∴M（4，2）．由曲線y=，直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積S=[-(x-2)]dx=(-x2+2x) =． 【思路點(diǎn)撥】利用微積分基本定理即可求出． 【題文】14.數(shù)列的前n項(xiàng)和，則 ▲ . 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列求和D4 【答案解析】-1 ∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=log0.1（1+n），∴a10+a11+…+a99=S99-S9 =log0.1（1+99）-log0.1（1+9）=log0.1100-log0.110=-2-（-1）=-1．故答案為：-1． 【思路點(diǎn)撥】由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=log0.1（1+n），知a10+a11+…+a99=S99-S9，由此能求出結(jié)果． 【題文】15.定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在 ，則 ▲ . 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與周期性B4 【答案解析】 由f（x+4）=f（x），得函數(shù)的周期是4，則f（）=f（8-）=f（-）， ∵f（x）是奇函數(shù)，∴，f（-）=-f（）=-=-， f（）=f（8-）=f（-）=-f（）=-sin=sin=， 則f（）+f（）=-=，故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，以及分段函數(shù)的表達(dá)式代入即可得到結(jié)論． 【題文】三、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿分75分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.請(qǐng)將解答過(guò)程寫在答題紙的相應(yīng)位置. 【題文】16.（本小題滿分12分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn). （I）求； （II）設(shè)實(shí)數(shù)t滿足，求t的值. 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用F3 【答案解析】(1）3，2（2）-1 (1）∵A（1，4），B（-2，3），C（2，-1）． ∴=（-3，-1），=（1，-5），+=（-2，-6）， ∴?=-31+（-1）（-5）=3，|+|==2． （2）∵()⊥，∴=0,即-=-32+（-1）（-1）=-5，=22+（-1）2=5，∴-5-5t=0，∴t=-1． 【思路點(diǎn)撥】（1）利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算及求模公式即可得出結(jié)論； （2）根據(jù)題意可得：=0，再結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示可得關(guān)于t的方程，進(jìn)而解方程即可得到t的值． 【題文】17.（本小題滿分12分） 如圖，在中，已知，點(diǎn)D在BC邊上，且.求角C的大小及邊AB的長(zhǎng). 【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8 【答案解析】7 ∵4sin2+4sinAsinB=3， ∴2[1-cos（A-B）+4sinAsinB=3，∴2-2（cosAcosB+sinAsinB）+4sinAsinB=3， ∴cos（A+B）=-，∴cosC=，∴C= ．∵cos∠ADB=， ∴cos∠ADC=- ，∴sin∠ADC= ，在△ADC中，由正弦定理可得AD= ?sinC=7∴AB= =7． 【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式，和角的余弦公式，可求C，利用正弦定理、余弦定理求出邊AB的長(zhǎng)． 【題文】18.（本小題滿分12分） 已知.函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則得到的圖像，且函數(shù)為偶函數(shù). （I）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間； （II）若，求的值. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3 【答案解析】（Ⅰ）f（x）=2sin（2x-）單調(diào)增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]（Ⅱ） （Ⅰ）f（x）==sinωx-cosωx=2sin（ωx-），∴g（x）=f（x+ ） =2sin[ω（x+ ）-]=2sin（ωx-π-）， 又∵g（x）是偶函數(shù)，∴sin（-ωx+π-）=sin（ωx+π-）， ∴sinωxcos（π-）=0對(duì)任意x∈R恒成立，∴π-=+kπ，k∈Z， 整理，得ω=2+3k，k∈Z，又0＜ω＜3，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x-）， 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， ∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]，k∈Z． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（）=2sin（2?-）=2sin（α-）， 又f（）=，∴sin（α-）=，又＜α＜π，∴0＜α-＜， ∴cos（α-）=，∴sinα=sin[(α-)+]=sin(α-)cos+cos(α-)sin =+=． 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由f（x）==sinωx-cosωx=2sin（ωx-），知g（x）=2sin（ωx-π-），由g（x）是偶函數(shù)，得f（x）=2sin（2x-），由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間． （Ⅱ）由f（）=2sin（2?-）=2sin（α- ），f（）= ，得sin（α- ）=， 從而cos（α-）= ，由此能求出sinα． 【題文】19.（本小題滿分12分） 某工廠為提高生產(chǎn)效益，決定對(duì)一條生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，該生產(chǎn)線升級(jí)改造后的生產(chǎn)效益萬(wàn)元與升級(jí)改造的投入萬(wàn)元之間滿足函數(shù)關(guān)系： （其中m為常數(shù)） 若升級(jí)改造投入20萬(wàn)元，可得到生產(chǎn)效益為35.7萬(wàn)元.試求該生產(chǎn)線升級(jí)改造后獲得的最大利潤(rùn).（利潤(rùn)=生產(chǎn)效益投入） （參考數(shù)據(jù)：） 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)模型及其應(yīng)用B10 【答案解析】24.4萬(wàn)元 由題意可得，35.7=mln20-4+20+ln10， 解得，m=-1，則y=-lnx-x2+x+ln10，（x＞10） 設(shè)利潤(rùn)為f（x）=y-x=-lnx-x2+x+ln10-x=-lnx-x2+x+ln10，（x＞10） 易得，f′（x）=--+=，又∵x＞10，∴當(dāng)10＜x＜50時(shí)，f′（x）＜0， 當(dāng)x＞50時(shí)，f′（x）＞0，則x=50時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值， 即f（50）=-ln50-（50）2+50+ln10=24.4（萬(wàn)元） 答：該生產(chǎn)線升級(jí)改造后獲得的最大利潤(rùn)為24.4萬(wàn)元． 【思路點(diǎn)撥】由題意，代入（20，35.7）可得35.7=mln20-4+20+ln10，從而求出m，計(jì)算利潤(rùn)函數(shù)，利用求導(dǎo)法求函數(shù)的最大值，從而得到最大利潤(rùn)． 【題文】20.（本小題滿分13分） 已知首項(xiàng)都是1的數(shù)列滿足 （I）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）若數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列 數(shù)列求和D3 D4 【答案解析】（Ⅰ）cn=3n-2（II）Sn=8-（6n+8）()n． （Ⅰ）由題意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1， 兩邊同時(shí)除以bnbn+1，得又cn=，∴cn+1-cn=3，又c1==1， ∴數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，∴cn=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*． （Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，q＞0，∵b32=4b2?b6，∴b12q4=4b12?q6， 整理，得q2=，∴q=，又b1=1，∴bn=()n-1，n∈N*，an=cnbn=(3n-2)()n-1， ∴Sn=1()0+4()+7()2+…+(3n-2)()n-1，① ∴Sn=1+4()2+7()3+…+(3n-2)()n，② ①-②，得：Sn=1+3+3()2+…+3()n-1-（3n-2）()n =1+3[+()2+…+()n-1]-（3n-2）()n=1+3[1-()n-1]-(3n-2)()n =4-（6+3n-2）()n=4-（3n+4）（）n，∴Sn=8-（6n+8）()n． 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由題意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，從而 ，由此推導(dǎo)出數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，進(jìn)而求出cn=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*． （Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，q＞0，由已知得bn=( )n-1，n∈N*，從而an=cnbn=(3n-2)()n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn． 【題文】21.（本小題滿分14分） 已知函數(shù). （I）若曲線與曲線在交點(diǎn)處有共同的切線，求的值； （II）若對(duì)任意，都有恒成立，求的取值范圍； （III）在（I）的條件下，求證：. 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12 【答案解析】（I）（II）a≤-1（III）略 （I）函數(shù)f（x）=alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)= ，g′（x）=． 設(shè)曲線y=f（x）與曲線g（x）= 交點(diǎn)（x0，y0），由于在交點(diǎn)處有共同的切線，∴=， 解得x0=4a2，a＞0．由f（x0）=g（x0）可得alnx0=． 聯(lián)立，解得a=． （II）對(duì)任意x∈[1，e]，都有f（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，化為a（x-lnx）≤x2-2x．（*）． 令h（x）=x-lnx，h′(x)=1-= ， ∵x∈[1，e]，∴h′（x）≥0，∴函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（1）=1．∴（*） 可化為a≤，x∈[1，e]．令F（x）=．F′（x）=． ∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，2（1-lnx）＞0，∴當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0， ∴函數(shù)F（x）在x∈[1，e]上單調(diào)遞增，∴F（x）≥F（1）==-1，∴a≤-1． （III）在（I）的條件下f（x）=lnx．要證明xf（x）＞-1．即證明exlnx＞xe1-x-2． 令H（x）=exlnx，可得H′（x）=e+elnx=e（1+lnx），令H′（x）＞0，解得x∈(，+∞)， 此時(shí)函數(shù)H（x）單調(diào)遞增；令H′（x）＜0，解得x∈(0，)，此時(shí)函數(shù)H（x）單調(diào)遞減． ∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)H（x）取得極小值即最小值，H()=-1． 令G（x）=xe1-x-2，可得G′（x）=（1-x）e1-x， 令G′（x）＞0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)H（x）單調(diào)遞增； 令G′（x）＜0，解得x＞1，此時(shí)函數(shù)G（x）單調(diào)遞減． ∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)G（x）取得極大值即最大值，G（1）=-1． ∴H（x）＞G（x），因此xf（x）＞ -1． 【思路點(diǎn)撥】（I）函數(shù)f（x）=alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)= ，g′（x）=． 設(shè)曲線y=f（x）與曲線g（x）= 交點(diǎn)（x0，y0），由于在交點(diǎn)處有共同的切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得= ，a＞0．由f（x0）=g（x0）可得alnx0=．聯(lián)立解得即可． （II）對(duì)任意x∈[1，e]，都有f（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，化為a（x-lnx）≤x2-2x．（*）令h（x）=x-lnx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得h（x）≥h（1）=1．從而（*）可化為a≤，x∈[1，e]．令F（x）= ，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值可得F（x）≥F（1）=-1，即可得出． （III）在（I）的條件下f（x）= lnx．要證明xf（x）＞ -1．即證明exlnx＞xe1-x-2． 分別令H（x）=exlnx，令G（x）=xe1-x-2，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值 即可證明．