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2019-2020年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 等差數(shù)列檢測題 一．知識梳理 1． an與Sn的關(guān)系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝ 2． 等差數(shù)列和等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 an－an－1＝ (n≥2) ＝ (n≥2) 通項公式 an＝ an＝ (q≠0) 判定方法 (1)定義法 (2)中項公式法：2an＋1＝ (n≥1)?{an}為等差數(shù)列 (3)通項公式法：an＝pn＋q(p、q為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列 (4)前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列 (5){an}為等比數(shù)列，an>0?{logaan}為等差數(shù)列 (1)定義法 (2)中項公式法：a＝ (n≥1)(an≠0) ?{an}為等比數(shù)列 (3)通項公式法：an＝cqn(c、q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列 (4){an}為等差數(shù)列?{aan}為等比數(shù)列(a>0且a≠1) 性質(zhì) (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，則 (2)an＝am＋(n－m)d (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，則 (2)an＝amqn－m (3)等比數(shù)列依次每n項和(Sn≠0)仍成等比數(shù)列 前n項和 Sn＝ ＝ (1)q≠1，Sn＝ ＝ (2)q＝1，Sn＝ 二．預(yù)習(xí)練習(xí) 1． (xx江西改編)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于________． 2． (xx課標(biāo)全國Ⅱ改編)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝________. 3． 等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．若a4＋ak＝0，則k＝________. 4． 已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝________. 5． 已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21＝S4 000，O為坐標(biāo)原點，點P(1，an)，Q(2 011，a2 011)，則＝________. 三．典型例題 考點一　與等差數(shù)列有關(guān)的問題 例1　在等差數(shù)列{an}中，滿足3a5＝5a8，Sn是數(shù)列{an}的前n項和． (1)若a1>0，當(dāng)Sn取得最大值時，求n的值； (2)若a1＝－46，記bn＝，求bn的最小值． 變式(1)(xx浙江改編)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是________．(填序號) ①若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項； ②若數(shù)列{Sn}有最大項，則d<0； ③若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有Sn>0； ④若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列． (2)(xx課標(biāo)全國Ⅰ改編)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝________. 考點二　與等比數(shù)列有關(guān)的問題 例2　(1)(xx課標(biāo)全國改編)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝________. (2)(xx浙江)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________. 變式(xx湖北)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由． 考點三　等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 例3　已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn； (2)將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項，記{bn}的前n項和為Tn，若存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有Sn0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，則a5a6的最大值等于________． 6． 已知數(shù)列{an}的首項為a1＝2，且an＋1＝(a1＋a2＋…＋an) (n∈N*)，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則Sn＝________，an＝________. 二、解答題 7．已知{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，Sn為它的前n項和． (1)當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時，求q的值； (2)當(dāng)Sm，Sn，Sl成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差數(shù)列． 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，a2＝，an＋1＝2an－an－1(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足b1＝，3bn－bn－1＝n(n≥2，n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)證明：數(shù)列{bn－an}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{bn}的通項公式． 9．(xx湖北)已知等比數(shù)列{an}滿足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)是否存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由． 10． 已知等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q. (1)求an與bn； (2)設(shè)cn＝3bn－λ2，若數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．