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2015-2016學(xué)年湖南省岳陽市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題 1．當(dāng)x=（　?。r，分式的值無意義． A．0 B．1 C．﹣1 D．2 2．下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（　?。? A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4 3．將0.000 001 6用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。? A．1610﹣7 B．1.610﹣6 C．1.610﹣5 D．1610﹣5 4．分式方程=的解為（　?。? A．x=﹣1 B．x=2 C．x=4 D．x=3 5．下列語句是命題的是（　?。? （1）兩點之間，線段最短； （2）如果兩個角的和是90度，那么這兩個角互余． （3）請畫出兩條互相平行的直線； （4）過直線外一點作已知直線的垂線． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 6．如果把分式中的x和y都擴大了3倍，那么分式的值（　　） A．?dāng)U大3倍 B．不變 C．縮小3倍 D．縮小6倍 7．如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，∠B=40，∠ACD=120，則∠A等于（　?。? A．60 B．70 C．80 D．90 8．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠A=25，D是AB上一點．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 9．甲、乙兩人同時分別從A，B兩地沿同一條公路騎自行車到C地．已知A，C兩地間的距離為110千米，B，C兩地間的距離為100千米．甲騎自行車的平均速度比乙快2千米/時．結(jié)果兩人同時到達C地．求兩人的平均速度，為解決此問題，設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時．由題意列出方程．其中正確的是（　　） A． = B． = C． = D． = 10．在等腰△ABC中（AB=AC≠BC），在△ABC所在一平面內(nèi)找一點P，使得△PAB，△PAC，△PBC都是等腰三角形，則滿足此條件的點有（　?。﹤€． A．1 B．2 C．3 D．4 　 二、填空題 11．計算： =　?。? 12．若（a﹣5）2+|b﹣9|=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為　?。? 13．計算：20+|﹣3|﹣（）﹣1=　　． 14．如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是　?。ㄖ粚懸粋€條件即可）． 15．如圖，△ABC中，EF是AB的垂直平分線，與AB交于點D，BF=12，CF=3，則AC=　?。? 16．已知﹣=3，則分式的值為　　． 17．已知△ABC為等邊三角形，BD為△ABC的高，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則BE=　　，∠BDE=　?。? 　 三、解答題 18．計算： （1）； （2）． 19．解分式方程： （1） （2）． 20．已知△ABC中，∠A﹣∠B=∠B﹣∠C=15，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)． 21．先化簡，再求值：（﹣），其中x=4． 22．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC． ①求證：△ABE≌△CBD； ②若∠CAE=30，求∠BDC的度數(shù)． 23．為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進行精加工后再投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息： 信息一：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用10天； 信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍． 根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？ 24．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由． （3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 　  2015-2016學(xué)年湖南省岳陽市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．當(dāng)x=（　?。r，分式的值無意義． A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【考點】分式有意義的條件． 【分析】根據(jù)分式無意義的條件是分母等于零列出等式，解等式即可． 【解答】解：由題意，得 1+x=0． 解得x=﹣1， 故選：C． 　 2．下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（　?。? A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4 【考點】三角形三邊關(guān)系． 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，計算兩個較小的邊的和，看看是否大于第三邊即可． 【解答】解：A、1+2＜6，不能組成三角形，故此選項錯誤； B、2+2=4，不能組成三角形，故此選項錯誤； C、1+2=3，不能組成三角形，故此選項錯誤； D、2+3＞4，能組成三角形，故此選項正確； 故選：D． 　 3．將0.000 001 6用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。? A．1610﹣7 B．1.610﹣6 C．1.610﹣5 D．1610﹣5 【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)． 【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定． 【解答】解：0.000 001 6=1.610﹣6， 故選：B． 　 4．分式方程=的解為（　　） A．x=﹣1 B．x=2 C．x=4 D．x=3 【考點】解分式方程． 【分析】觀察可得最簡公分母是2x（x﹣1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解． 【解答】解：方程的兩邊同乘2x（x﹣1）， 得：3（x﹣1）=2x， 解得：x=3． 檢驗：把x=3代入2x（x﹣1）=12≠0， 故原方程的解為：x=3． 故選：D． 　 5．下列語句是命題的是（　?。? （1）兩點之間，線段最短； （2）如果兩個角的和是90度，那么這兩個角互余． （3）請畫出兩條互相平行的直線； （4）過直線外一點作已知直線的垂線． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 【考點】命題與定理． 【分析】判斷一件事情的語句叫命題，命題都由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，依此對四個小題進行逐一分析即可； 【解答】解：（1）兩點之間，線段最短符合命題定義，正確； （2）如果兩個角的和是90度，那么這兩個角互余，符合命題定義，正確． （3）請畫出兩條互相平行的直線只是做了陳述，不是命題，錯誤； （4）過直線外一點作已知直線的垂線沒有做出判斷，不是命題，錯誤， 故選A． 　 6．如果把分式中的x和y都擴大了3倍，那么分式的值（　　） A．?dāng)U大3倍 B．不變 C．縮小3倍 D．縮小6倍 【考點】分式的基本性質(zhì)． 【分析】將分子與分母中未知數(shù)分別乘以3，進而化簡即可． 【解答】解： ==?， 故分式的值縮小3倍． 故選：C． 　 7．如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，∠B=40，∠ACD=120，則∠A等于（　?。? A．60 B．70 C．80 D．90 【考點】三角形的外角性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，知∠ACD=∠A+∠B，從而求出∠A的度數(shù)． 【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B， ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120﹣40=80． 故選：C． 　 8．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠A=25，D是AB上一點．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（　?。? A．25 B．30 C．35 D．40 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠CB′D的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠A=25， ∴∠B=90﹣25=65， ∵△CDB′由△CDB反折而成， ∴∠CB′D=∠B=65， ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65﹣25=40． 故選D． 　 9．甲、乙兩人同時分別從A，B兩地沿同一條公路騎自行車到C地．已知A，C兩地間的距離為110千米，B，C兩地間的距離為100千米．甲騎自行車的平均速度比乙快2千米/時．結(jié)果兩人同時到達C地．求兩人的平均速度，為解決此問題，設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時．由題意列出方程．其中正確的是（　?。? A． = B． = C． = D． = 【考點】由實際問題抽象出分式方程． 【分析】設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時，則甲騎自行車的平均速度為（x+2）千米/時，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：甲騎110千米所用時間=乙騎100千米所用時間，根據(jù)等量關(guān)系可列出方程即可． 【解答】解：設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時，由題意得： =， 故選：A． 　 10．在等腰△ABC中（AB=AC≠BC），在△ABC所在一平面內(nèi)找一點P，使得△PAB，△PAC，△PBC都是等腰三角形，則滿足此條件的點有（　?。﹤€． A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”解答即可． 【解答】解：①作三邊的垂直平分線必在三角形內(nèi)交于一點，這點就是符合要求的P點， ②作BC的垂直平分線，以B點為圓心畫弧交BC的垂直平分線另一點，這點也是符合要求的P點 ③作BC的垂直平分線，以A點為圓心畫弧交BC的垂直平分線一點，這點也是符合要求的P點 ④在△ABC的右邊作一個△APB，使△APB≌△ABC，這點也是符合要求的P點 故選D 　 二、填空題 11．計算： =　1?。? 【考點】分式的加減法． 【分析】先通分，再加減，然后約分． 【解答】解：原式=﹣==1． 　 12．若（a﹣5）2+|b﹣9|=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為　19或23?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；三角形三邊關(guān)系． 【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b再分情況討論求解即可． 【解答】解：根據(jù)題意得，a﹣5=0，b﹣9=0， 解得a=5，b=9， ①若a=5是腰長，則底邊為9，三角形的三邊分別為5、5、9， 能組成三角形， 三角形的周長=19， ②若b=9是腰長，則底邊為5，三角形的三邊分別為9、9、5， 能組成三角形， 周長=9+9+5=23． 故答案為：19或23． 　 13．計算：20+|﹣3|﹣（）﹣1=　2?。? 【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪． 【分析】直接利用絕對值以及零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)的冪的性質(zhì)分別化簡求出答案． 【解答】解：原式=1+3﹣2 =2． 故答案為：2． 　 14．如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是　∠B=∠C（答案不唯一）　（只寫一個條件即可）． 【考點】全等三角形的判定． 【分析】由題意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可選擇利用AAS、SAS進行全等的判定，答案不唯一． 【解答】解：添加∠B=∠C． 在△ABE和△ACD中，∵， ∴△ABE≌△ACD（AAS）． 故答案可為：∠B=∠C． 　 15．如圖，△ABC中，EF是AB的垂直平分線，與AB交于點D，BF=12，CF=3，則AC=　15?。? 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到FA=BF，代入計算即可得到答案． 【解答】解：∵EF是AB的垂直平分線， ∴FA=BF=12， ∴AC=AF+FC=15． 故答案為：15． 　 16．已知﹣=3，則分式的值為　?。? 【考點】分式的值． 【分析】由已知條件可知xy≠0，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，先將分式的分子、分母同時除以xy，再把﹣=3代入即可． 【解答】解：∵﹣=3， ∴x≠0，y≠0， ∴xy≠0． ∴=====． 故答案為：． 　 17．已知△ABC為等邊三角形，BD為△ABC的高，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則BE=　3　，∠BDE=　120?。? 【考點】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD=DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可． 【解答】解：∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60，AB=BC，∠DCE=120， ∵BD為高線， ∴∠BDC=90，∠DBC=∠ABC=30， ∵CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∵∠E+∠CDE=∠ACB， ∴∠E=30=∠DBC， ∵∠DCE=120， ∴∠CDE=180﹣120﹣30=30， ∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=120， ∵BD是等邊三角形ABC的高，CD=1， ∴BC=AC=2CD=2， ∴BE=BC+CE=3， 故答案為：BE=3，∠BDE=120． 　 三、解答題 18．計算： （1）； （2）． 【考點】分式的混合運算． 【分析】（1）根據(jù)分式的乘法和除法可以解答本題； （2）通分后相加即可解答本題． 【解答】解：（1） =﹣ =﹣； （2） = = = =． 　 19．解分式方程： （1） （2）． 【考點】解分式方程． 【分析】兩分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：x+2x﹣4=x+2， 解得：x=3， 經(jīng)檢驗x=3是分式方程的解； （2）去分母得：2x2﹣2x﹣4﹣x2﹣2x=x2﹣2， 解得：x=﹣， 經(jīng)檢驗x=﹣是分式方程的解． 　 20．已知△ABC中，∠A﹣∠B=∠B﹣∠C=15，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)． 【考點】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】首先根據(jù)∠A﹣∠B=∠B﹣∠C=15，得出∠B=∠A﹣15，∠B=∠C+15，進一步利用三角形的內(nèi)角和解決問題即可． 【解答】解：∵∠A﹣∠B=∠B﹣∠C=15， ∴∠A=∠B+15，∠C=∠B﹣15， ∵∠A+∠B+∠C=180， ∴∠B+15+∠B+∠B﹣15=180， ∴∠B=60 ∴∠A=∠75，∠C=45． 　 21．先化簡，再求值：（﹣），其中x=4． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可． 【解答】解：原式=（﹣） = =﹣， 當(dāng)x=4時，原式=﹣=﹣． 　 22．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC． ①求證：△ABE≌△CBD； ②若∠CAE=30，求∠BDC的度數(shù)． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)． 【分析】①利用SAS即可得證； ②由全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定出∠BDC的度數(shù)． 【解答】①證明：在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； ②解：∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90， ∴∠BAC=∠ACB=45， ∵△ABE≌△CBD， ∴∠AEB=∠BDC， ∵∠AEB為△AEC的外角， ∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30+45=75， 則∠BDC=75． 　 23．為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進行精加工后再投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息： 信息一：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用10天； 信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍． 根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？ 【考點】分式方程的應(yīng)用． 【分析】如果設(shè)甲工廠每天加工x件產(chǎn)品，那么根據(jù)乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍，可知乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品．然后根據(jù)等量關(guān)系：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品的天數(shù)﹣乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品的天數(shù)=10列出方程． 【解答】解：設(shè)甲工廠每天加工x件產(chǎn)品，則乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品， 依題意得﹣=10， 解得：x=40． 經(jīng)檢驗：x=40是原方程的根，且符合題意．所以1.5x=60． 答：甲工廠每天加工40件產(chǎn)品，乙工廠每天加工60件產(chǎn)品． 　 24．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由． （3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定． 【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90，而∠BAC=90，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA， 則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE； （2）與（1）的證明方法一樣； （3）由前面的結(jié)論得到△ADB≌△CEA，則BD=AE，∠DBA=∠CAE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABF=∠CAF=60，則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，則∠DBF=∠FAE， 利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△DEF為等邊三角形． 【解答】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m， ∴∠BDA=∠CEA=90， ∵∠BAC=90， ∴∠BAD+∠CAE=90， ∵∠BAD+∠ABD=90， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立． ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180﹣α， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF是等邊三角形． 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA=∠CAE， ∵△ABF和△ACF均為等邊三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60， ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE， ∵BF=AF 在△DBF和△EAF中 ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE， ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60， ∴△DEF為等邊三角形． 　  2016年10月16日 第17頁（共17頁）