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2019-2020年高考數學一輪復習 第二章 函數與基本初等函數 第9講 函數的應用 文（含解析） 一、選擇題 1．在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%，專家預測經過x年可能增長到原來的y倍，則函數y＝f(x)的圖象大致為 (　　)． 解析　由題意可得y＝(1＋10.4%)x. 答案　D 2．甲、乙兩人沿同一方向去地，途中都使用兩種不同的速度．甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半時間使用速度，另一半時間使用速度，甲、乙兩人從地到地的路程與時間的函數圖象及關系，有下面圖中個不同的圖示分析（其中橫軸表示時間，縱軸表示路程），其中正確的圖示分析為（ ）． A．(1) B．(3) C．(1)或(4) D. (1)或(2) （1） （2） （3） （4） 解析　根據題目描述分析圖像可知D正確 答案　D 3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得最大利潤為 (　　)． A．45.606萬元 B．45.6萬元 C．45.56萬元 D．45.51萬元 解析　依題意可設甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，總利潤S＝L1＋L2，則總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.1510.22＋30(x≥0)，∴當x＝10時，Smax＝45.6(萬元)． 答案　B 4．某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據市場分析每輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數x(x∈N*)為二次函數關系(如圖所示)，則每輛客車營運多少年時，其營運的年平均利潤最大 (　　)． A．3 B．4 C．5 D．6 解析　由題圖可得營運總利潤y＝－(x－6)2＋11，則營運的年平均利潤＝－x－＋12， ∵x∈N*，∴≤－2 ＋12＝2， 當且僅當x＝，即x＝5時取“＝”． ∴x＝5時營運的年平均利潤最大． 答案　C 5．一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”形圖案，如圖所示，設小矩形的長、寬分別為x，y剪去部分的面積為20，若2≤x≤10，記y＝f(x)，則y＝f(x)的圖象是 (　　)． 解析　由題意得2xy＝20，即y＝，當x＝2時，y＝5，當x＝10時，y＝1時，排除C，D，又2≤x≤10，排除B. 答案　A 6．某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應為(　　)． A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 解析　由三角形相似得＝， 得x＝(24－y)， ∴S＝xy＝－(y－12)2＋180， ∴當y＝12時，S有最大值，此時x＝15. 答案　A 二、填空題 7．為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密為y＝ax－2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________． 解析　依題意y＝ax－2中，當x＝3時，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密為y＝2x－2，因此，當y＝14時，由14＝2x－2，解得x＝4. 答案　4 8．某商店已按每件80元的成本購進某商品1 000件，根據市場預測，銷售價為每件100元時可全部售完，定價每提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價應定為每件________元． 解析 設售價提高x元，則依題意 y＝(1 000－5x)(20＋x) ＝－5x2＋900x＋20 000 ＝－5(x－90)2＋60 500. 故當x＝90時，ymax＝60 500，此時售價為每件190元． 答案 190 元 9．現有含鹽7%的食鹽水為200 g，需將它制成工業(yè)生產上需要的含鹽5 %以上且在6%以下(不含5%和6%)的食鹽水，設需要加入4%的食鹽水x g，則x的取值范圍是__________． 解析　根據已知條件：設y＝，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜2007%＋x4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400. 答案　(100,400) 10．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價付費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km. 解析　由已知條件y＝ 由y＝22.6解得x＝9. 答案　9 三、解答題 11．為了發(fā)展電信事業(yè)方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內每月(30天)的通話時間x(分)與通話費y(元)的關系分別如圖①、②所示． (1)分別求出通話費y1，y2與通話時間x之間的函數關系式； (2)請幫助用戶計算，在一個月內使用哪種卡便宜？ 解　(1)由圖象可設y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把點B(30,35)，C(30,15)分別代入y1，y2得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋29，y2＝x. (2)令y1＝y(tǒng)2，即x＋29＝x，則x＝96. 當x＝96時，y1＝y(tǒng)2，兩種卡收費一致； 當x<96 時，y1>y2，即使用“便民卡”便宜； 當x>96時，y10)，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高0.2x%. (1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1 000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業(yè)？ (2)在(1)的條件下，若調整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？ 解　(1)由題意得：10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥101 000， 即x2－500x≤0，又x>0，所以00，所以018時，車費y＝25＋2(x－18)＝2x－11. (2)付出22元的車費，說明此人乘車行駛的路程大于3 km，且小于18 km，前3 km付費10元，余下的12元乘車行駛了12 km，故此人乘車行駛了15 km. 14．某學校要建造一個面積為10 000平方米的運動場．如圖，運動場是由一個矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運動場除跑道外，其他地方均鋪設草皮．已知塑膠跑道每平方米造價為150元，草皮每平方米造價為30元． (1)設半圓的半徑OA＝r(米)，設建立塑膠跑道面積S與r的函數關系S(r)； (2)由于條件限制r∈[30,40]，問當r取何值時，運動場造價最低？最低造價為多少？(精確到元) 解　(1)塑膠跑道面積 S＝π[r2－(r－8)2]＋82 ＝＋8πr－64π.∵πr2＜10 000，∴0＜r＜. (2)設運動場的造價為y元， y＝150＋30 ＝300 000＋120－7 680π. 令f(r)＝＋8πr，∵f′(r)＝8π－， 當r∈[30,40]時，f′(r)＜0， ∴函數y＝300 000＋120－7 680π在[30,40]上為減函數．∴當r＝40時，ymin≈636 510， 即運動場的造價最低為636 510元.