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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程課時(shí)訓(xùn)練 理（選修4-4） 1. (xx鎮(zhèn)江期末)求經(jīng)過(guò)極坐標(biāo)為O(0，0)、A、B三點(diǎn)的圓的直角坐標(biāo)方程． 解：將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，點(diǎn)O、A、B的直角坐標(biāo)分別為(0，0)、(0，6)、(6，6)； ∴ △OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形， ∴ 經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓的圓心為(3，3)，半徑為3， ∴ 圓的直角坐標(biāo)方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18， 即x2＋y2－6x－6y＝0. 2. 在極坐標(biāo)系中，直線ρsin＝3被圓ρ＝5截得的弦長(zhǎng)是多少？ 解：直線和圓轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程分別為直線x＋y＝3，圓x2＋y2＝25，圓心到直線的距離為3，得弦長(zhǎng)為8. 3. 在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝1上的點(diǎn)到直線ρcos＝3的距離的最大值． 解：將直線和圓都化為直角坐標(biāo)方程，直線x＋y－6＝0，圓x2＋y2＝1，圓心(0，0)到直線的距離為3，∴ 直線與圓上的點(diǎn)最大距離為4. 4. 在極坐標(biāo)系下，求圓ρ＝5cosθ－5sinθ的圓心的坐標(biāo)． 解：圓心的直角坐標(biāo)為，故圓心的極坐標(biāo)為.(答案不唯一) 5. 曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝tanθ，求曲線的直角坐標(biāo)方程． 解：ρ＝tanθ＝，ρcos2θ＝sinθ，ρ2cos2θ＝ρsinθ，即曲線的直角坐標(biāo)方程為x2＝y(tǒng). 6. (xx徐州二模)在極坐標(biāo)系中，已知圓A的圓心為(4，0)，半徑為4，點(diǎn)M為圓A上異于極點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，求弦OM中點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程． 解：由題意知，圓A的極坐標(biāo)方程為ρ＝8cosθ， 設(shè)弦OM中點(diǎn)為N(ρ，θ)，則M(2ρ，θ)， 因?yàn)辄c(diǎn)M在圓A上，所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ. 又點(diǎn)M異于極點(diǎn)O，所以ρ≠0， 所以弦OM中點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ(ρ≠0)． 7. 極坐標(biāo)系中，曲線ρ＝－4sinθ與ρcosθ＝1相交于點(diǎn)A、B，求AB的長(zhǎng)． 解：在平面直角坐標(biāo)系中，曲線ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1分別表示圓x2＋＝4和直線x＝1，作圖易知＝2. 8. (xx南京、鹽城一模)在極坐標(biāo)系中，求曲線ρ＝2cosθ關(guān)于直線θ＝(ρ∈R)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程． 解：(解法1)以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線ρ＝2cosθ的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，且圓心C為(1，0)． 直線θ＝的直角坐標(biāo)方程為y＝x， 因?yàn)閳A心C(1，0)關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(0，1)， 所以圓C關(guān)于y＝x的對(duì)稱曲線為x2＋(y－1)2＝1. 所以曲線ρ＝2cosθ關(guān)于直線θ＝(ρ∈R)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ. (解法2)設(shè)曲線ρ＝2cosθ上任意一點(diǎn)為(ρ′，θ′)，其關(guān)于直線θ＝對(duì)稱點(diǎn)為(ρ，θ)，則 將(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos，即ρ＝2sinθ. 所以曲線ρ＝2cosθ關(guān)于直線θ＝(ρ∈R)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ. 9. 設(shè)點(diǎn)P在曲線ρsinθ＝2上，點(diǎn)Q在曲線ρ＝－2cosθ上，求|PQ|的最小值． 解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．將ρsinθ＝2化為直角坐標(biāo)方程，得直線方程y＝2.將ρ＝－2cosθ化為直角坐標(biāo)方程，得圓方程(x＋1)2＋y2＝1.所以圓心(－1，0)到直線的距離為2，|PQ|的最小值為2－1＝1. 10. 已知圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2－4ρcos＋6＝0，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系． (1) 將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2) 若點(diǎn)P(x，y)在該圓上，求x2＋y2的最大值和最小值． 解：(1) 圓的極坐標(biāo)方程化為ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0. 直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x－4y＋6＝0. (2) 由(1)知圓心(2，2)，半徑r＝，圓心到原點(diǎn)O的距離d＝2，OPmax＝3，OPmin＝， 所以x2＋y2的最大值為18，最小值為2. 11. 在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，半徑為2的圓C的圓心的極坐標(biāo)為. (1) 求圓C的極坐標(biāo)方程； (2) P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足3＝，以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)Q的軌跡的直角坐標(biāo)方程． 解：(1) 設(shè)M(ρ，θ)是圓C上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OM于H點(diǎn)，則在Rt△COH中，OH＝OCcos∠COH. ∵ ∠COH＝∠＝，OH＝OM＝ρ，OC＝2，∴ ρ＝2cos， 即所求的圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos. (2) 設(shè)點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為(ρ，θ)， ∵ 3＝，∴ P的極坐標(biāo)為， 代入圓C的極坐標(biāo)方程得ρ＝4cos， 即ρ＝6cosθ＋6sinθ， ∴ ρ2＝6ρcosθ＋6ρsinθ. 令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2＋y2＝6x＋6y， ∴ 點(diǎn)Q的軌跡的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－6x－6y＝0. 第2課時(shí)　參 數(shù) 方 程(理科專用) 1. 曲線的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，t≠0)，求它的普通方程． 解：1－x＝，t＝，而y＝1－t2，則y＝1－2＝(x≠1)． 2. 已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝acos θ(a>0)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，且直線l與曲線C相切．求a的值． 解：將曲線C的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝ax. 將直線l的參數(shù)方程化成普通方程為y＝x－1， 聯(lián)立方程，得 消去y可得2x2－(2＋a)x＋1＝0. ∵ 直線l與曲線C相切， ∴ Δ＝(2＋a)2－8＝0. 又a>0，∴ a＝2(－1)． 3. 直線(t為參數(shù))和圓x2＋y2＝16交于A、B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)． 解：由2＋2＝16，得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，＝4.中點(diǎn)為即AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－)． 4. 已知圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，求此圓的半徑． 解：由得x2＋y2＝25，則圓的半徑為5. 5. 已知直線與圓相切，求直線的傾斜角． 解：直線為y＝xtanθ，圓為(x－4)2＋y2＝4，作出圖形，相切時(shí)，易知傾斜角為或. 6. (xx江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2＝4x相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)． 解：將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝4x，得＝4，解得t1＝0，t2＝－8. 所以AB＝|t1－t2|＝8. 7. (xx揚(yáng)州期末)已知直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos＝4，圓M的參數(shù)方程是(θ是參數(shù))． (1) 將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程； (2) 求圓上的點(diǎn)到直線l上點(diǎn)距離的最小值． 解：(1) 由ρcos＝4， 得ρcosθ－ρsinθ＝4，即x－y－8＝0. (2) 由消去參數(shù)θ， 得(x－1)2＋(y＋1)2＝2， 故圓的圓心為M(1，－1)，半徑為， 所以圓心M到直線l的距離為d＝＝3， 所以圓上的點(diǎn)到直線l上點(diǎn)的距離的最小值是3－＝2. 8. (xx南京二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M是橢圓＋＝1上在第一象限的點(diǎn)，A(2，0)、B(0，2)是橢圓兩個(gè)頂點(diǎn)，求四邊形OAMB面積的最大值． 解：設(shè)M(2cosθ，2sinθ)，θ∈. 由題知OA＝2，OB＝2， 所以四邊形OAMB的面積 S＝OA2sinθ＋OB2cosθ ＝2sinθ＋2cosθ＝2sin. 所以當(dāng)θ＝時(shí)，四邊形OAMB的面積的最大值為2. 9. 已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，1)，傾斜角α＝. (1) 寫出直線l的參數(shù)方程； (2) 設(shè)l與圓x2＋y2＝4相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積． 解：(1) 直線的參數(shù)方程為 即 (2) 把直線代入x2＋y2＝4，得2＋2＝4，化簡(jiǎn)，得t2＋(＋1)t－2＝0，故t1t2＝－2，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積為2. 10. 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1) 將曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程； (2) 若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，試求線段AB的長(zhǎng)． 解：(1) 由得 故曲線C的普通方程為x2＋y2＝16. (2) (解法1)把(t為參數(shù))代入方程x2＋y2＝16，得t2＋8t＋36＝0，∴ t1＋t2＝－8，t1t2＝36.∴ 線段AB的長(zhǎng)為|AB|＝|t1－t2|＝＝4. (解法2)由(t為參數(shù))，得l的普通方程為x－y＋4＝0. 由(1)知圓心的坐標(biāo)為(0，0)，圓的半徑R＝4， ∴ 圓心到直線l的距離d＝＝2， ∴ |AB|＝2＝2＝4. 11. 已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝1，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1) 寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2) 設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線C′，設(shè)曲線C′上任一點(diǎn)為M(x，y)．求x＋2y的最小值． 解：(1) l：y－2＝(x－1)；C：x2＋y2＝1. (2) 曲線C′：＋y2＝1. 令則x＋2y＝3cos θ＋2sinθ＝sin(θ＋φ). 所以x＋2y的最小值是－.