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2019-2020年高中數(shù)學 2.5《平面向量數(shù)量積》考點解析 北師大版必修4 考點一. 考查概念型問題 例1.已知、、是三個非零向量，則下列命題中真命題的個數(shù)( ) ⑴; ⑵反向 ⑶; ⑷= A.1 B.2 C.3 D.4 分析：需對以上四個命題逐一判斷，依據(jù)有兩條，一仍是向量數(shù)量積的定義；二是向量加法與減法的平行四邊形法則. 解：(1)∵=｜｜｜｜cosθ ∴由｜｜＝｜｜｜｜及、為非零向量可得｜cosθ｜=1 ∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命題(1)是真命題. (2)若,反向，則、的夾有為π，∴=｜｜｜｜cosπ=-｜｜｜｜且以上各步可逆，故命題(2)是真命題. (3)當⊥時，將向量，的起點確定在同一點，則以向量，為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對角線長相等，即有｜+｜＝｜-｜.反過來，若｜+｜＝｜-｜,則以，為鄰邊的四邊形為矩形，所以有⊥，因此命題(3)是真命題. (4)當｜｜＝｜｜但與的夾角和與的夾角不等時，就有｜｜≠｜｜，反過來由｜｜｜＝｜｜也推不出｜｜＝｜｜.故(4)是假命題. 綜上所述，在四個命題中，前3個是真命題，而第4個是假命題，應選擇(C). 評注：兩向量同向時，夾角為0(或0)；而反向時，夾角為π(或180)；兩向量垂直時，夾角為90，因此當兩向量共線時，夾角為0或π，反過來若兩向量的夾角為0或π，則兩向量共線. 考點二、考查求模問題 例2.已知向量，若不超過5，則k的取值范圍是__________。 分析：若則，或，對于求模有時還運用平方法。 解：由，又，由模的定義，得：解得： ，故填。 評注：本題是已知模的逆向題，運用定義即可求參數(shù)的取值范圍。 例3.（1）已知均為單位向量，它們的夾角為60,那么＝（ ） A. B. C. D. 4 （2）已知向量，向量，則的最大值是___________。 解：（1） 所以，故選C。 （2）由題意，知, 又 則的最大值為4。 評注：模的問題采用平方法能使過程簡化。 考點三、考查求角問題 例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量與的夾角. 分析：要求與的夾角，首先要求出與的夾角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、，而本題中很難求出｜｜、｜｜及，但由公式cosθ=可知，若能把，｜｜及｜｜中的兩個用另一個表示出來，即可求出余弦值，從而可求得與的夾角θ. 解：設(shè)與的夾角為θ. ∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2， 即 解之得 2=2 2=2 ∴2=2 ∴｜｜＝｜｜ ∴cosθ=== ∴θ= 因此a與b的夾角為. 考點四、考查交匯問題 是指向量與立幾、解幾、數(shù)列、三角等的交匯題，創(chuàng)新題。 例4.（1）直角坐標平面xoy中，若定點A（1，2）與動點P（x，y）滿足，則點P的軌跡方程是_________________。 （2）已知直線與圓O:相交于A、B兩點，且，則___________。 解：（1）由，有，即故應填 （2）先由圓的幾何性質(zhì)，求得兩向量的夾角是120. 故填. 評注：第（2）小題關(guān)鍵是運用幾何法求出兩向量的夾角，再運用向量的數(shù)量積公式即可。