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2019-2020年高三數(shù)學上學期第二次月考試題 文（含解析） 【試卷綜析】試題的題型比例配置與高考要求一致，全卷重點考查中學數(shù)學主干知識和方法，側重于中學數(shù)學學科的基礎知識和基本技能的考查，側重于知識交匯點的考查.在函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、導數(shù)、圓錐曲線、概率統(tǒng)計等仍然是支撐整份試卷的主體內容，尤其在解答題，涉及高中數(shù)學的重點知識.明確了教學方向和考生的學習方向.本卷具有一定的綜合性，很多題由多個知識點構成，在適當?shù)囊?guī)劃和難度控制下，效果明顯，通過知識交匯的考查，對考生數(shù)學能力提出了較高的要求，提高了區(qū)分度，完全符合課改的要求和學生學習的實際情況. 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 【題文】1．已知全集U=R，集合A=｛x｜＞1｝，B=｛x｜－4＜x＜1｝，則A∩B等于 A.（0，1）　　B.（1，＋）　　C.（一4，1）　　　　D.（一，一4） 【知識點】交集及其運算．A1 【答案解析】A 解析：∵集合A={x|2x＞1}={x|x＞}，又∵B={x|﹣4＜x＜1}， ∴A∩B={x|＜x＜1}，故選：A 【思路點撥】解不等式求出集合A，結合集合交集的定義，可得答案． 【題文】2．如右圖，在復平面內，復數(shù)和對應的點分別是和，則 A. 　 B. C. D. 【知識點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．L4 【答案解析】D 解析：由圖可知：z1=i，z2=2﹣i， 則====．故選：D． 【思路點撥】利用復數(shù)的幾何意義、運算法則即可得出． 【題文】3．若，，則“”是“”的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件 【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．B2 【答案解析】B 解析：如圖，x=x0時，a=b，∴若a＞b，則得到x＞x0，且x0＜1，∴a＞b不一定得到x＞1； ∴a＞b不是x＞1的充分條件；若x＞1，則由圖象得到a＞b，∴a＞b是x＞1的必要條件； ∴a＞b是x＞1的必要不充分條件．故選：B． 【思路點撥】先畫出函數(shù)的圖象，根據圖象以及充分條件，必要條件的定義即可判斷a＞b與x＞1的關系． 【題文】4．已知向量、滿足，，，則 A. 　　 B. C. 　 D. 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算．F3 【答案解析】C 解析：∵||=2，||=3，|﹣|=，∴==，化為=﹣2．故選：C． 【思路點撥】利用數(shù)量積運算性質即可得出． 【題文】5．設首項為，公比為的等比數(shù)列的前項和為，則 A． B． C． D． 【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列．D2 D3 【答案解析】D 解析：由題意可得an=1=， ∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an， 故選D. 【思路點撥】由題意可得數(shù)列的通項公式，進而可得其求和公式，化簡可得要求的關系式． 【題文】6．一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側視圖都是等邊三角形，且該幾何體的四個點在空間直角坐標系中的坐標分別是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，則第五個頂點的坐標可能為 A．（1，1，1） B． C． D． 【知識點】簡單空間圖形的三視圖．G2 【答案解析】C 解析：由三視圖可知該幾何體為正四棱錐，該幾何體的四個頂點在空間直角坐標系O﹣xyz中的坐標分別是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0）， 設A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， 則AB=2，BC=2，CD=2，DA=2， ∴這四個點為正四棱錐的底面正方形的坐標， 設頂點為P（a，b，c），則P點在xoy面的射影為底面正方形的中心O（1，1，0）， 即a=1，b=1， 由正視圖是正三角形，∴四棱錐側面的斜高為2，則四棱錐的高為，即c=， ∴P點的坐標為（1，1，），故第五個頂點的坐標為（1，1，），故選：C． 【思路點撥】由三視圖可知該幾何體為正四棱錐，根據四個點的坐標關系確定第5個點的坐標即可． 【題文】7．一平面截一球得到直徑為cm的圓面，球心到這個平面的距離是2 cm，則該球的體積是 A．12cm3 B. 36cm3 C．cm3 D．cm3 【知識點】球的體積和表面積.G8 【答案解析】B 解析：作出對應的截面圖，∵截面圓的半徑為，即BC=， ∵球心O到平面α的距離為2，∴OC=2，設球的半徑為R， 在直角三角形OCB中，OB2=OC2+BC2=4+（）2=9．即R2=9，解得R=3， ∴該球的體積為πR3=π33=36π，故選：B． 【思路點撥】根據條件求出截面圓的半徑，根據直角三角形建立條件根據即可求出球的半徑． 【題文】i=1 s=0 p=0 WHILE i＜＝xx p=i*（i+1） s=s+1/p i=i+1 WEND PRINT s END 8．右邊程序運行后，輸出的結果為 A． B． C． D． 【知識點】程序框圖．L1 【答案解析】C 解析：由題意，S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=．故選：C． 【思路點撥】由題意，S=++…+，利用裂項法即可得出結論． 【題文】9．已知滿足約束條件則 的最小值為 A．1 B． 2 C． 3 D．4 【知識點】簡單線性規(guī)劃．E5 【答案解析】B 解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖： 由z=x+3y得y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z， 由圖象可知當直線y=﹣x+z經過點A時，y=﹣x+z的截距最小，此時z最小． 由，解得，即A（），代入z=x+3y=3=2． 即目標函數(shù)z=x+3y最小值為2．故選：B． 【思路點撥】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結合即看得到z的最小值． 【題文】10．拋物線與直線交于A，B兩點，其中A點的坐標是（1，2）．該拋物線的焦點為F，則 A． 7 B． C． 6 D．5 【知識點】拋物線的簡單性質．H7 【答案解析】A 解析：由題意，（1，2）代入直線ax+y﹣4=0，可得a+2﹣4=0，∴a=2 把點（1，2），代入拋物線y2=2px，可得p=2∴拋物線方程為y2=4x，直線方程為2x+y﹣4=0， 聯(lián)立消去y整理得x2﹣5x+4=0解得x=1或x=4，∵A的橫坐標為1，∴B點橫坐標為4， 根據拋物線定義可知|FA+FB|=xA+1+xB+1=7，故選A． 【思路點撥】把點（1，2）代入拋物線和直線方程，分別求得p和a，得到直線和拋物線方程，聯(lián)立消去y，可求得B的橫坐標，再根據拋物線的定義求得答案． 【題文】11．函數(shù)的圖像可能是 A． B． C． D． 【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖像與性質．B7 【答案解析】A 解析：∵f（x）=，∴函數(shù)定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∵，∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故排除B、C，∵當0＜x＜1時，lnx＜0，∴f（x）=＜0，x∈（0，1）故排除D． 故選A． 【思路點撥】先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)為奇函數(shù)，即圖象關于原點對稱，故可以排除BC，再根據函數(shù)值域，可排除D． 【題文】12．已知點，點在圓：上運動，則直線斜率的取值范圍是 A. B. C. D. 【知識點】直線與圓的位置關系；直線的斜率．H1 H4 【答案解析】B 解析：圓C：x2+y2﹣2y=2化成標準方程，得x2+（y﹣1）2=3， ∴圓C是以（0，1）為圓心、半徑r=的圓． 設經過點A（0，﹣1）的直線斜率為k，可得直線AB方程為y=kx﹣1， ∵直線AB與圓C有公共點B，∴圓心C到直線AB的距離小于或等于半徑． 即，解之得k≤﹣或k≥． ∴直線AB斜率k的取值范圍是． 【思路點撥】根據題意，求出圓C的圓心是（0，1）、半徑r=．設直線AB方程為y=kx﹣1，根據直線AB與圓C相交或相切，利用點到直線的距離公式建立關于斜率k的不等式，解之得到斜率k的取值范圍，從而得到答案． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 【題文】13．投擲兩顆相同的正方體骰子（骰子質地均勻，且各個面上依次標有點數(shù)1、2、3、4、5、6）一次，則兩顆骰子向上點數(shù)之積等于12的概率為 . 【知識點】古典概型及其概率計算公式．K2 【答案解析】 解析：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是擲兩顆骰子有66=36個結果，滿足條件的事件是兩顆骰子向上點數(shù)之積等于12，有（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2）共4種結果，∴要求的概率是=．故答案為：． 【思路點撥】試驗發(fā)生包含的事件是擲兩顆骰子有66=36個結果，滿足條件的事件共4種結果，從而得到概率． 【題文】14．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則 . 【知識點】等差數(shù)列的前n項和．D2 【答案解析】44 解析：設等差數(shù)列的公差為d，則∵等差數(shù)列{an}，a1+a11=3a6﹣4， ∴2a1+10d=3a1+15d﹣4，∴a1+5d=4，∴S11=11a1+d=11a1+55d=44．故答案為：44． 【思路點撥】利用等差數(shù)列的通項公式化簡a1+a11=3a6﹣4，可得a1+5d=4，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可得出結論． 【題文】15. 在平面直角坐標系中，若直線 (s為參數(shù))和直線 (t為參數(shù))平行，則常數(shù)的值為_____ . 【知識點】直線的參數(shù)方程；參數(shù)方程化成普通方程．N3 【答案解析】4 解析：直線 (s為參數(shù))，消去s得普通方程為x﹣2y﹣1=0， 直線l2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t得普通方程為2x﹣ay﹣a=0， x﹣2y﹣1=0的斜率為k1=，2x﹣ay﹣a=0的斜率k2=，∵l1∥l2， ∴，解得：a=4．驗證a=4時兩直線在y軸上的截距不等．故答案為：4． 【思路點撥】化兩直線的參數(shù)方程為普通方程，求出它們的斜率，由斜率相等驗證截距不等得答案． 【題文】16. 已知，正實數(shù)滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則=_______。 【知識點】對數(shù)函數(shù)的單調性。B7 【答案解析】 解析：∵f（x）=|log2x|，且f（m）=f（n），∴mn=1 ∵若f（x）在區(qū)間[m2，n]上的最大值為2，∴|log2m2|=2，∵m＜n， ∴m= ∴n=2，∴n+m= 故答案為： 【思路點撥】先結合函數(shù)f（x）=|log2x|的圖象和性質，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒數(shù)關系，再由“若f（x）在區(qū)間[m2，n]上的最大值為2”，求得m．n的值得到結果． 三、解答題：解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟 【題文】17. (本小題滿分10分) 設函數(shù). （1）當時，求函數(shù)的定義域； （2）若函數(shù)的定義域為，試求的取值范圍。 【知識點】函數(shù)的定義域及其求法．B1 【答案解析】（1）；（2） 解析：（1）當時，， 由 得或或，解得或 即函數(shù)的定義域為 （2）由題可知恒成立，即恒成立，而，所以，即的取值范圍為 【思路點撥】（1）在同一坐標系中作出函數(shù)y=|x+1|+|x+2|和y=5的圖象，結合圖象寫出：的解集，就是所求函數(shù)的定義域．（2）由題意知，x∈R時，|x+1|+|x+2|≥﹣a 恒成立，故，|x+1|+|x+2|的最小值大于或等于﹣a，從而得到a的取值范圍． 【題文】18. (本小題滿分12分) 已知的角所對的邊分別是，設向量，，（1，1）. （1）若求角B的大?。? （2）若，邊長，角求的面積． 【知識點】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運算；同角三角函數(shù)基本關系的運用．C2 C8 F3 【答案解析】（1）；（2） 解析：（1） 由得 由余弦定理可知： 于是ab =4 所以 . 【思路點撥】（1）根據平面向量平行時滿足的條件，得到一個關系式，利用正弦定理化簡即可求出tanB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（2）根據平面向量的數(shù)量積的運算法則化簡，得到a+b的值，然后由c及cosC的值，利用余弦定理表示出c2，變形后把a+b的值代入即可求出ab的值，然后由ab及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積． 【題文】A1 B1 C1 B C A M N 19. (本小題滿分12分) 如圖，三棱柱是直棱柱，，，點、分別是和的中點。 （1）求證：； （2）求點到平面的距離。 【知識點】直線與平面所成的角；點、線、面間的距離計算．G11 【答案解析】（1）見解析； （2） 解析：（1）由已知得四邊形是矩形， ∴，，三點共線且是的中點， 又∵是的中點， ∴∥． ……………4分 又∵平面,平面, ∴∥平面 ． ………………6分 （2）設點到平面的距離為． 由已知得平面，∴. ∵，, ∴．∴． ∵,是為的中點，平面， ∴點到平面的距離是，．………………9分 ∵，∴，∴． ∴點到平面的距離是． ………………12分 【思路點撥】（1）利用線線平行證明線面平行，MN∥AC1，又∵MN?平面A1ACC1，A1C?平面A1ACC1，∴MN∥平面A1ACC1；（2）利用等體積法求線面距． 【題文】A B 7 8 9 9 8 8 4 2 1 5 3 5 5 3 0 0 5 2 0 20. (本小題滿分12分) 有A、B、C、D、E五位工人參加技能競賽培訓．現(xiàn)分別從A、B二人在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次．用右側莖葉圖表示這兩組數(shù)據： （1）A、B二人預賽成績的中位數(shù)分別是多少？ （2）現(xiàn)要從A、B中選派一人參加技能競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位工人參加合適?請說明理由； （3）若從參加培訓的5位工人中選2人參加技能競賽，求A、B二人中至少有一人參加技能競賽的概率． 【知識點】古典概型及其概率計算公式；莖葉圖．K2 I2 【答案解析】（1） 83；（2）派B參加比較合適； （3） 解析：（ 1）A的中位數(shù)是（83+85）/ 2=84，B的中位數(shù)是（84+82）/ 2=83-------2分 （2）派B參加比較合適。理由如下： 因為，但，說明B穩(wěn)定，派B參加比較合適。--------8分 （3）5位工人中選2人有10種：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）；A、B都不參加的有3種：（C，D），（C，E），（D，E） A、B二人中至少有一人參加技能競賽的概率。--------12分 【思路點撥】（1）從小到大排列位置處于中間的數(shù)是中位數(shù)，中間兩個數(shù)時，取平均值； （2）根據所給的數(shù)據做出兩個人的平均數(shù)和方差，把平均數(shù)和方差進行比較，得到兩個人的平均數(shù)相等，然后根據方差是反映穩(wěn)定程度的，比較方差，越小說明越穩(wěn)定； （3）從5人中任意派兩人的可能情況有10種，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，記“A、B二人中至少有一人參加技能競賽”為事件M，則M包含的結果有7種，由等可能事件的概率可求． 【題文】21. (本小題滿分12分) 已知函數(shù) （1）求曲線在點(1，f (1))處的切線方程； （2）當x ≥1時，若關于x的不等式f (x) ≥ ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； 【知識點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．B12 【答案解析】（1）(e+1)x – y – 2 =0；（2）a ≤ e –1。 解析：（1）f (x) =ex +4x–3，則=e+1， 又f (1)= e – 1 ， ∴曲線在點(1，f (1))處的切線方程為 y – e +1 = (e+1)(x-1)，即：(e+1)x – y – 2 =0 …………5分 （2）由f (x) ≥ ax，得ax ≤ ex + 2 x2 - 3x， ∵x ≥1 ，∴ 令，則 ∵x ≥ 1 ，∴，∴g(x)在[1，+∞）上是增函數(shù)， ∴g(x)min = g(1) = e –1, ∴a的取值范圍是a ≤ e –1。 …………12分 【思路點撥】（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，進一步求得f′（1），再求出f（1）后由直線方程的點斜式得答案；（2）由f （x）≥ax，得ax≤ex+2x2﹣3x，分離參數(shù)a后構造函數(shù)，利用導數(shù)求其最小值后得答案． 【題文】22. (本小題滿分12分) 如圖，設拋物線：的焦點為，準線為，過準線上一點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，線段的中點為，直線交拋物線于，兩點． （1）求拋物線的方程及的取值范圍； （2）是否存在值，使點是線段的中點？若存在，求出值，若不存在，請說明理由． 【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題．H8 【答案解析】（1）；；（2）不存在值。 解析：（1）由已知得，∴．∴拋物線方程為．……2分 設的方程為，，，，， 由得． ………………4分 ，解得，注意到不符合題意， 所以． ………………5分 （2）不存在值，使點是線段的中點．理由如下： ………………6分 由（1）得，所以，所以，，直線的方程為． ………………8分 由得，．……10分 當點為線段的中點時，有，即，因為，所以此方程無實數(shù)根．因此不存在值，使點是線段的中點． ……………12分 【思路點撥】（1）由已知得﹣=﹣1，由此能求出拋物線方程．設l1的方程為y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），由，得ky2﹣4y+4k=0，由此利用根的判別式能求出k的取值范圍（2）存在k值，使點P是線段DE的中點．由（Ⅰ）得ky2﹣4y+4k=0，直線PF的方程為，由，得，由此能推導出不存在k值，使點P是線段DE的中點．