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2019-2020年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 概率、隨機(jī)變量及其概率分布檢測(cè)題 知識(shí)梳理 1． 古典概型和幾何概型 (1)古典概型的概率 P(A)＝＝. (2)幾何概型的概率 P(A)＝. 2． 互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系 3． 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 4． 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 5． 離散型隨機(jī)變量的概率分布 (1)設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1，x2，…，xi，…，ξ取每一個(gè)值xi的概率為P(ξ＝xi)＝pi，則稱下表： ξ x1 x2 x3 … xi … P p1 p2 p3 … pi … 為離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布表． (2)離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布具有兩個(gè)性質(zhì)：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)． 6． 常見的離散型隨機(jī)變量的分布 (1)兩點(diǎn)分布 (2)二項(xiàng)分布 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取的值為0,1,2,3，…，n，并且P(ξ＝k)＝Cpkqn－k(其中k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)． 顯然P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)，Cpkqn－k＝1. 稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)n和p的二項(xiàng)分布，記為ξ～B(n，p)． 7． 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布表為 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 則稱E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望． V(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…叫做隨機(jī)變量ξ的方差． 預(yù)習(xí)練習(xí) 1． (xx四川改編)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是________． 2． (xx廣東改編)從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是________． 3． (xx廣東改編)已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為 X 1 2 3 P 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 4． (xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)從n個(gè)正整數(shù)1,2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n＝________. 5． (xx江蘇)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為______． 典型例題 題型一　古典概型與幾何概型 例1　(1)(xx上海)盒子中裝有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個(gè)球，從中 任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是________． (結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示) (2)(xx湖北改編)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以 OA，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取 自陰影部分的概率是________． 變式訓(xùn)練1　(1)(xx遼寧改編)在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32 cm2的概率為________． 題型二　互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率 例2　某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰． 已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確回答互不 影響． (1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率； (2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率． 變式訓(xùn)練2　甲、乙、丙三人組成一組，參加一個(gè)闖關(guān)游戲團(tuán)體賽．三人各自獨(dú)立闖關(guān)，其中甲闖關(guān)成功 的概率為，甲、乙都闖關(guān)成功的概率為，乙、丙都闖關(guān)成功的概率為，每人闖關(guān)成功記2分，三人得 分之和記為小組團(tuán)體總分． (1)求乙、丙各自闖關(guān)成功的概率； (2)求團(tuán)體總分為4分的概率； (3)若團(tuán)體總分不小于4分，則小組可參加復(fù)賽．求該小組參加復(fù)賽的概率． 題型三　離散型隨機(jī)變量的概率分布 例3　某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間(分) 1 2 3 4 5 頻　率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 從第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)． (1)估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率； (2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 變式訓(xùn)練3　(xx天津)一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)． (1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率； (2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望． 課后練習(xí) 一、填空題 1． 甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙也從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是________． 2． 有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． 3． 一個(gè)電路如圖所示，A、B、C、D、E、F為6個(gè)開關(guān)，其閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是________． 4． 某人射擊一次擊中的概率為，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為______． 5． 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為________． 6． 在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為________． 7． (xx上海)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽．若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是________．(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示) 8．在日前舉行的全國(guó)大學(xué)生智能汽車總決賽中，某高校學(xué)生開發(fā)的智能汽車在一個(gè)標(biāo)注了平面直角坐標(biāo)系的平面上從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，每次只能移動(dòng)一個(gè)單位，沿x軸正方向移動(dòng)的概率是，沿y軸正方向移動(dòng)的概率為，則該機(jī)器人移動(dòng)6次恰好移動(dòng)到點(diǎn)(3,3)的概率為________． 9．(xx福建)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為________． 10．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量X＝“|a－b|的取值”，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)為________． 二、解答題 11．現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲． (1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率； (2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率． 12．(xx陜西)在一場(chǎng)娛樂晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號(hào)中選3名歌手．