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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理（含解析） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明 評(píng)卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．在正方體中任取兩條棱，則這兩條棱為異面直線的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】 試題分析：從正方體的12條棱中，任取兩條棱，有種不同的方法，因?yàn)榕c已知棱成異面直線的有4條，所以共有對(duì)異面直線，則這兩條棱為異面直線的概率. 考點(diǎn)：古典概型. 2．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測試成績分為6組:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名,據(jù)此估計(jì),該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（　?。? A．588 B．480 C．450 D．120 【答案】B. 【解析】 試題分析：由頻率分布直方圖可知， 該模塊測試成績不少于60分的頻率為， 所以該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為. 考點(diǎn)：頻率分布直方圖. 3．.（　?。? A． B． C．1 D． 【答案】A. 【解析】 試題分析：由，可得 . 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理. 4．若直線與曲線有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】 試題分析：由題意得，曲線C是由橢圓上半部分和雙曲線上半部分組成，且雙曲線的漸近線方程為，與直線平行；當(dāng)直線過右頂點(diǎn)時(shí)，直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，；當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)；由圖像可知，時(shí)，直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn). 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.  第II卷（非選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明 評(píng)卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 5．過點(diǎn)、的直線的斜率為______________． 【答案】2. 【解析】 試題分析：由斜率公式得：. 考點(diǎn)：直線的斜率公式. 6．若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為_________． 【答案】. 【解析】 試題分析：，，則的虛部為. 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的除法. 7．正四面體的所有棱長都為2，則它的體積為________． 【答案】. 【解析】 試題分析:過作，則是的中心，連接, 則,, 在中，, 所以. 考點(diǎn)：多面體的體積. 8．以為圓心且過原點(diǎn)的圓的方程為_____________． 【答案】. 【解析】 試題分析：由題意，得所求圓的半徑，則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 9．某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為__________． 【答案】. 【解析】 試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)側(cè)放的圓柱，底面半徑為1，高為5；則該幾何體的體積 . 考點(diǎn)：三視圖、圓柱的體積. 10．已知圓錐的高與底面半徑相等，則它的側(cè)面積與底面積的比為________． 【答案】. 【解析】 試題分析：設(shè)圓錐的底面半徑和高為，則其母線長；所以圓錐的側(cè)面積， 底面面積，則它的側(cè)面積與底面積的比為. 考點(diǎn)：圓錐的側(cè)面積公式. 11．正方體中，二面角的大小為__________． 【答案】. 【解析】 試題分析：二面角,即半平面與所成的圖形，交線為,易知,所以是二面角的平面角，且，即二面角的大小為. 考點(diǎn)：二面角的平面角. 12．雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于_________． 【答案】. 【解析】 試題分析：雙曲線的頂點(diǎn)為，漸近線方程為，即；則頂點(diǎn)到其漸近線的距離為. 考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式. 13．已知球的半徑為1，、是球面上兩點(diǎn)，線段的長度為，則、兩點(diǎn)的球面距離為 ________． 【答案】. 【解析】 試題分析：設(shè)球心為O,連接,則是等腰三角形，且, 則,所以、兩點(diǎn)的球面距離為. 考點(diǎn)：兩點(diǎn)的球面距離. 14．在長方體中，已知，為的中點(diǎn)，則直線與 平面的距離是___________． 【答案】9. 【解析】 試題分析：過作，因?yàn)?，所以? 則，的長度即為直線與平面的距離； 在中，，； 在中，，， ，即直線與平面的距離為9. 考點(diǎn)：直線到平面的距離. 15．從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法種數(shù)是___________(用數(shù)字作答)． 【答案】590. 【解析】 試題分析：骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法可分以下幾類： 3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有種. 考點(diǎn)：組合. 16．已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若 的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的方程為_________________． 【答案】. 【解析】 試題分析：設(shè)，則，兩式相減， 得，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，且斜率， 所以，又，所以的方程為. 考點(diǎn)：點(diǎn)差法. 17．設(shè)實(shí)數(shù)滿足則的最大值為____________. 【答案】. 【解析】 試題分析：：畫出不等式組表示的可行域和目標(biāo)函數(shù)基準(zhǔn)直線（如圖）；設(shè)，則，當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，最小，即最大；聯(lián)立，得,此時(shí). 考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃. 18．在棱長為1的正方體盒子里有一只蒼蠅，蒼蠅為了緩解它的無聊，決定要考察這個(gè)盒子的每一個(gè)角，它從一個(gè)角出發(fā)并回到原處，并且每個(gè)角恰好經(jīng)過一次，為了從一個(gè)角到另一個(gè)角，它或直線飛行，或者直線爬行，蒼蠅的路徑最長是____________．（蒼蠅的體積不計(jì)） 【答案】. 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，蒼蠅需要8次完成，有兩種方法：方法一：每次都到達(dá)相鄰頂點(diǎn)，需經(jīng)過8條棱，總路徑長為8；方法二：每次到達(dá)不相鄰的頂點(diǎn)，需爬行4次（面對(duì)角線），飛行4次（體對(duì)角線），總路徑長是；又，所以蒼蠅的路徑最長是. 考點(diǎn)：正方體的面對(duì)角線與體對(duì)角線. 評(píng)卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 19．求的二項(xiàng)展開式中的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù). 【答案】． 【解析】 試題分析： 解題思路：利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式寫出，再求出二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù). 規(guī)律總結(jié)：涉及求二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)或特定項(xiàng)時(shí)，往往先寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行求解. 注意點(diǎn)：要正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)僅是一個(gè)組合數(shù)，系數(shù)是未知數(shù)的系數(shù). 試題解析：， 所以二項(xiàng)式系數(shù)為，系數(shù)為. 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理. 20．求半徑為10，且與直線相切于的圓的方程. 【答案】或 【解析】 試題分析： 解題思路：設(shè)出所求圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)題意可得，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 規(guī)律總結(jié)：直線圓的位置關(guān)系，主要涉及直線與圓相切、相交、相離，在解決直線圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意結(jié)合初中平面幾何中的直線與圓的知識(shí). 試題解析：設(shè)圓心為，則由題意得 解得或 所以所求圓的方程為或 考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系. 21．已知橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍. 【答案】． 【解析】 試題分析： 解題思路：利用直線與直線垂直，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用中點(diǎn)公式和判別式求出的范圍. 規(guī)律總結(jié)：涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，往往采用“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行求解.. 試題解析：設(shè)直線方程為，聯(lián)立 得 從而 則中點(diǎn)是， 則解得 由有實(shí)數(shù)解得即 于是則的取值范圍是. 考點(diǎn)：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.對(duì)稱問題. 22．如圖，四棱柱中, 側(cè)棱底面，，，，為棱的中點(diǎn). E D1 C1 B1 A1 D C B A (1)證明：； (2)求異面直線與所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示） 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】 試題分析： 解題思路：（1）利用勾股定理證明垂直；（2）作出平行線，構(gòu)造異面直線所成的角，再利用三角形進(jìn)行求角. 規(guī)律總結(jié)：對(duì)于空間幾何體中的垂直、平行關(guān)系的判定，要牢牢記住并靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化，線線關(guān)系是關(guān)鍵；涉及空間中的求角問題，往往利用角的定義作出輔助線，轉(zhuǎn)化為平面中的線線角. 試題解析：（1）證明：連結(jié).在中，即，所以又因?yàn)?，所以? 解：取的中點(diǎn)為，連結(jié).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則所以即為異面直線與所成角. 在中，，所以為直角三角形，.所以異面直線與所成角為 考點(diǎn)：1.直線的垂直關(guān)系的證明；2.直線與平面所成的角的求法. 23．下圖是利用計(jì)算機(jī)作圖軟件在直角坐標(biāo)平面上繪制的一列拋物線和一列直線，在焦點(diǎn)為的拋物線列中，是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，過作斜率2的直線與相交于和（在軸的上方，在軸的下方）. 證明：的斜率是定值； 求、、、、所在直線的方程； 記的面積為，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求所有這些三角形的面積的和. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 試題分析： 解題思路：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，整理成關(guān)于，的方程，進(jìn)而求出的斜率；（2）利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出直線方程即可；（3）聯(lián)立直線與拋物線方程，求弦長與點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求三角形的面積. 規(guī)律總結(jié)：錐曲線的問題一般都有這樣的特點(diǎn)：第一小題是基本的求方程問題，一般簡單的利用定義和性質(zhì)即可；后面幾個(gè)小題一般來說綜合性較強(qiáng)，用到的內(nèi)容較多，大多數(shù)需要整體把握問題并且一般來說計(jì)算量很大，學(xué)生遇到這種問題就很棘手，有放棄的想法,所以處理這類問題一定要有耐心.. 試題解析：（1）由已知得，拋物線焦點(diǎn)，拋物線方程為，直線的方程為于是，拋物線與直線在軸上方的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足則有 而直線的斜率為，則解得 又點(diǎn)在第一象限，則； 直線方程為； 由得則， 而到直線的距離為， 于是的面積， 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由于， 所以所有三角形面積和為. 考點(diǎn)：1.直線的方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系.