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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第三章 第7節(jié) 正弦定理和余弦定理 理（含解析） 1．(xx課標(biāo)Ⅰ，16,5分)已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為________． 解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsin A≤4＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)，等號成立，則△ABC面積的最大值為. 答案： 2．(xx福建，12,4分)在△ABC中，A＝60，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________． 解析：法一：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1，因?yàn)锽∈(0，120)，所以B＝90，所以C＝30，所以△ABC的面積S△ABC＝ACBCsin C＝2. 法二：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1，因?yàn)锽∈(0，120)，所以B＝90，所以AB＝＝2，所以△ABC的面積S△ABC＝ABBC＝2. 答案：2 3．(xx天津，12,5)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，則cos A的值為________． 解析：由已知及正弦定理，得2b＝3c，因?yàn)閎－c＝a，不妨設(shè)b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cos A＝＝－. 答案：－ 4．(xx江蘇，14,5分)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是________． 解析：由正弦定理可得a＋b＝2c，又cos C＝＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號，所以cos C的最小值是. 答案： 5．(xx遼寧，17,12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c.已知＝2，cos B＝，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 解：(1)由＝2得cacos B＝2，又cos B＝，所以ac＝6. 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋22＝13. 解，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2. 因a>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中，sin B＝＝＝， 由正弦定理，得sin C＝sin B＝＝. 因a＝b>c，所以C為銳角，因此cos C＝＝＝. 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝＋＝. 6．(xx湖南，18,12分)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝ (1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長． 解析：(1)如題圖，在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝. 故由題設(shè)知，cos∠CAD＝＝. (2)如題圖，設(shè)∠BAC＝α，則α＝∠BAD－∠CAD. 因?yàn)閏os∠CAD＝，cos∠BAD＝－， 所以sin∠CAD＝＝＝， sin∠BAD＝＝＝. 于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ＝－ ＝. 在△ABC中，由正弦定理，＝. 故BC＝＝＝3. 7．(xx課標(biāo)Ⅱ，4,5分)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝(　　) A．5 B. C．2 D．1 解析：選B　由題意可得ABBCsin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45或B＝135. 當(dāng)B＝45時(shí)，由余弦定理可得 AC＝＝1， 此時(shí)AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90， 與“鈍角三角形”條件矛盾，舍去． 所以B＝135.由余弦定理可得 AC＝ ＝. 8．(xx江西，4,5分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是(　　) A．3 B. C. D．3 解析：選C　由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6?、?由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab?、? 所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6. 所以S△ABC＝absin＝6＝. 9．(xx重慶，10,5分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面積滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，則下列不等式一定成立的是(　　) A．bc(b＋c)>8 B．a(chǎn)b(a＋b)>16 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 解析：選A　因?yàn)锳＋B＋C＝π，由sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋得sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝，即sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin [(A＋B)－(A－B)]＋sin 2C＝，整理得2sin Ccos(A－B)＋2sin Ccos C＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，整理得4sin Asin Bsin C＝，即sin Asin Bsin C＝.又S＝absin C＝bcsin A＝casin B，因此S3＝a2b2c2sin Asin Bsin C＝a2b2c2.由1≤S≤2得1≤a2b2c2≤23，即8≤abc≤16，因此選項(xiàng)C，D不一定成立．又b＋c>a>0，因此bc(b＋c)>bca≥8，即bc(b＋c)>8，選項(xiàng)A一定成立．又a＋b>c>0，因此ab(a＋b)>abc≥8，即ab(a＋b)>8，顯然不能得出ab(a＋b)>16，選項(xiàng)B不一定成立．綜上所述，選A. 10．(xx山東，12,5分)在△ABC中，已知＝tan A，當(dāng)A＝時(shí)，△ABC的面積為________． 解析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得＝||||cos A，當(dāng)A＝時(shí)，根據(jù)已知可得||||＝，故△ABC的面積為||||sin ＝. 答案： 11．(xx北京，15,13分)如圖，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2， cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的長． 解：(1)在△ADC中，因?yàn)? cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝. 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B ＝－ ＝ (2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠B ＝82＋52－285 ＝49. 所以AC＝7. 12．(xx陜西，16,12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. (1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比數(shù)列，求cos B的最小值． 解：(1)∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)． (2)∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac. 由余弦定理得 cos B＝＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號成立． ∴cos B的最小值為. 13．(xx安徽，16,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求a的值； (2)求sin的值． 解：(1)因?yàn)锳＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B. 由正、余弦定理得a＝2b. 因?yàn)閎＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2. (2)由余弦定理得 cos A＝＝＝－. 由于00)，則b＝3t，c＝7t，可得cos C＝＝＝－，故C＝. 答案： 20．(xx福建，4分)如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為________． 解析：本題考查誘導(dǎo)公式、余弦定理等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力． 因?yàn)閟in∠BAC＝，且AD⊥AC， 所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理得， BD＝ ＝ ＝. 答案： 21．(xx浙江，4分)在△ABC中，∠C＝90，M是BC的中點(diǎn)，若sin∠BAM＝，則sin∠BAC＝________. 解析：本題考查正弦定理、三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式以及利用相關(guān)定理解決與幾何計(jì)算有關(guān)的問題．考查考生靈活利用公式的能力．△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0 ，＝，故sin∠BAC＝＝. 答案： 22．(xx新課標(biāo)全國Ⅰ，12分)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90. (1)若PB＝，求PA； (2)若∠APB＝150，求tan∠PBA. 解：本題主要考查兩角差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、正弦定理、余弦定理等知識，意在考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力． (1)由已知得，∠PBC＝60，所以∠PBA＝30.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2cos30＝.故PA＝. (2)設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α. 在△PBA中，由正弦定理得＝， 化簡得cos α＝4sin α. 所以tan α＝，即tan∠PBA＝. 23．(xx江西，12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范圍． 解：本題主要考查三角變換與解三角形知識，意在考查考生綜合運(yùn)用知識的能力． (1)由已知得－cos(A＋B)＋cos A cos B－ sin Acos B＝0， 即有sin Asin B－ sin Acos B＝0， 因?yàn)閟in A≠0，所以sin B－ cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝ ，又0b B．a(chǎn)

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