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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 9.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 文 一、選擇題 1．(xx深圳中學(xué)模擬)曲線(xiàn)y＝x3在原點(diǎn)處的切線(xiàn) (　　) A．不存在 B．有1條，其方程為y＝0 C．有1條，其方程為x＝0 D．有2條，它們的方程分別為y＝0，x＝0 解析　∵y′＝3x2，∴k＝y(tǒng)′|x＝0＝0，∴曲線(xiàn)y＝x3在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y＝0. 答案　B 2．若曲線(xiàn)y＝x4的一條切線(xiàn)l與直線(xiàn)x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為 (　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 解析　切線(xiàn)l的斜率k＝4，設(shè)y＝x4的切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切點(diǎn)為(1,1)， 即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程為4x－y－3＝0. 答案　A 3．(xx長(zhǎng)春模擬)曲線(xiàn)y＝xex＋2x－1在點(diǎn)(0，－1)處的切線(xiàn)方程為 (　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1 解析　根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可得y′＝ex＋xex＋2＝(x＋1)ex＋2，則曲線(xiàn)y＝xex＋2x－1在點(diǎn)(0，－1)處的切線(xiàn)斜率為y′|x＝0＝1＋2＝3.故曲線(xiàn)y＝xex＋2x－1在點(diǎn)(0，－1)處的切線(xiàn)方程為y＋1＝3x，即y＝3x－1. 答案　A 4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 015(x)等于 (　　) A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x 解析　∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)是以4為周期的函數(shù)，∴f2 015(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故選A. 答案　A 5．(xx陜西卷)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)．已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為 (　　) A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x 解析　設(shè)三次函數(shù)的解析式為y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則y′＝3ax2＋2bx＋c.由已知得y＝－x是函數(shù)y＝ax3＋bx2＋cx＋d在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)，則 y′|x＝0＝－1?c＝－1，排除B、D.又∵y＝3x－6是該函數(shù)在點(diǎn)(2,0)處的切線(xiàn)，則y′|x＝2＝3?12a＋4b＋c＝3?12a＋4b－1＝3?3a＋b＝1.只有A項(xiàng)的函數(shù)符合，故選A. 答案　A 二、填空題 6．(xx珠海一模)若曲線(xiàn)y＝ax2－ln x在點(diǎn)(1，a)處的切線(xiàn)平行于x軸，則a＝________. 解析　y′＝2ax－，∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝. 答案　 7．(xx廣東卷)曲線(xiàn)y＝－5ex＋3在點(diǎn)(0，－2)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________________． 解析　由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切線(xiàn)的斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝－5，所以切線(xiàn)方程為y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 答案　5x＋y＋2＝0 8．(xx江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線(xiàn)y＝ax2＋(a，b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2，－5)，且該曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是______． 解析　y＝ax2＋的導(dǎo)數(shù)為y′＝2ax－，直線(xiàn)7x＋2y＋3＝0的斜率為－.由題意得解得則a＋b＝－3. 答案?。? 三、解答題 9．已知曲線(xiàn)y＝x3＋. (1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程； (2)求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線(xiàn)方程． 解　(1)∵P(2,4)在曲線(xiàn)y＝x3＋上，且y′＝x2， ∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)的斜率為y′|x＝2＝4. ∴曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線(xiàn)y＝x3＋與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線(xiàn)相切于點(diǎn)A，則切線(xiàn)的斜率為y′|x＝x0＝x. ∴切線(xiàn)方程為y－＝x(x－x0)，即y＝xx－x＋.∵點(diǎn)P(2,4)在切線(xiàn)上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2，故所求的切線(xiàn)方程為x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0. 10．(xx北京卷改編)已知曲線(xiàn)C：y＝. (1)求曲線(xiàn)C在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)l1的方程； (2)求過(guò)原點(diǎn)與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)l2的方程． 解　設(shè)f(x)＝，則f′(x)＝. (1)∴f′(1)＝＝1，即切線(xiàn)l1的斜率k＝1. 由l1過(guò)點(diǎn)(1,0)，得l1的方程為y＝x－1. (2)設(shè)l2與曲線(xiàn)C切于點(diǎn)P， 則切線(xiàn)l2方程為 y－＝(x－x0)， ∵l2過(guò)原點(diǎn)． ∴－＝(－x0)， 化簡(jiǎn)得ln x0＝，∴x0＝， ∴l(xiāng)2：y－＝(x－)， 整理得y＝x.即為l2的方程． 能力提升題組 (建議用時(shí)：35分鐘)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11．已知曲線(xiàn)y＝，則曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率取得最大值時(shí)的直線(xiàn)方程為 (　　) A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0 解析　y′＝＝，因?yàn)閑x＞0，所以ex＋≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)ex＝，即x＝0時(shí)取等號(hào))，則ex＋＋2≥4，故y′＝≤ －(當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào))．當(dāng)x＝0時(shí)，曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率取得最大值，此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線(xiàn)的方程為y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.故選A. 答案　A 12．(xx開(kāi)封二模)過(guò)點(diǎn)A(2,1)作曲線(xiàn)f(x)＝x3－3x的切線(xiàn)最多有 (　　) A．3條 B．2條 C．1條 D．0條 解析　由題意得，f′(x)＝3x2－3，設(shè)切點(diǎn)為(x0，x－3x0)，那么切線(xiàn)的斜率為k＝3x－3，利用點(diǎn)斜式方程可知切線(xiàn)方程為y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，將點(diǎn)A(2,1)代入可得關(guān)于x0的一元三次方程2x－6x＋7＝0.令y＝2x－6x＋7，則y′＝6x－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.當(dāng)x0＝0時(shí)，y＝7＞0；x0＝2時(shí)，y＝－1＜0.結(jié)合函數(shù)y＝2x－6x＋7的單調(diào)性可得方程2x－6x＋7＝0有3個(gè)解．故過(guò)點(diǎn)A(2,1)作曲線(xiàn)f(x)＝x3－3x的切線(xiàn)最多有3條，故選A. 答案　A 13．(xx杭州高級(jí)中學(xué)月考)已知曲線(xiàn)f(x)＝xn＋1(n∈N*)與直線(xiàn)x＝1交于點(diǎn)P，設(shè)曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2 016x1＋ log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值為_(kāi)_______． 解析　f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1， 點(diǎn)P(1,1)處的切線(xiàn)方程為y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝， ∴x1x2…x2 015＝…＝，則log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015＝log2 016(x1x2…x2 015)＝－1. 答案?。? 14．設(shè)拋物線(xiàn)C: y＝－x2＋x－4，過(guò)原點(diǎn)O作C的切線(xiàn)y＝kx，使切點(diǎn)P在第一象限． (1)求k的值； (2)過(guò)點(diǎn)P作切線(xiàn)的垂線(xiàn)，求它與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 解　(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，則y1＝kx1，① y1＝－x＋x1－4，② ①代入②得x＋x1＋4＝0. ∵P為切點(diǎn)，∴Δ＝2－16＝0得k＝或k＝. 當(dāng)k＝時(shí)，x1＝－2，y1＝－17.當(dāng)k＝時(shí)，x1＝2，y1＝1. ∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝. (2)過(guò)P點(diǎn)作切線(xiàn)的垂線(xiàn)，其方程為y＝－2x＋5.③ 將③代入拋物線(xiàn)方程得x2－x＋9＝0. 設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2，y2)，即2x2＝9， ∴x2＝，y2＝－4.∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為. 15．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)曲線(xiàn)f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0和直線(xiàn)y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． 解　(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3， 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝.又f′(x)＝a＋，于是 解得故f(x)＝x－. (2)設(shè)P(x0，y0)為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)， 由y′＝1＋知曲線(xiàn)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)方程為y－y0＝)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0，得y＝－，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0交點(diǎn)坐標(biāo)為.令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)． 所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為S＝ |2x0|＝6. 故曲線(xiàn)y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.