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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 導數(shù)題型歸納 請同學們高度重視： 首先，關于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法： 1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法 5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1）對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間） 與定義域的關系 （2）端點處和頂點是最值所在 其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關系求出取值范圍。 最后，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎 一、基礎題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立； 1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決： 第一步：令得到兩個根； 第二步：畫兩圖或列表； 第三步：由圖表可知； 其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題， 2、常見處理方法有三種： 第一種：分離變量求最值-----用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0） 第二種：變更主元（即關于某字母的一次函數(shù)）-----（已知誰的范圍就把誰作為主元）； 例1：設函數(shù)在區(qū)間D上的導數(shù)為，在區(qū)間D上的導數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實數(shù)m是常數(shù)， （1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍； （2）若對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值. 解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”， 則 在區(qū)間[0,3]上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于 解法二：分離變量法： ∵ 當時, 恒成立, 當時, 恒成立 等價于的最大值（）恒成立， 而（）是增函數(shù)，則 (2)∵當時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價于當時 恒成立 解法三：變更主元法 再等價于在恒成立（視為關于m的一次函數(shù)最值問題） -2 2 例2：設函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子） 解：（Ⅰ） 3a a a 3a 令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a） 令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，a）和（3a，+） ∴當x=a時，極小值= 當x=3a時，極大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：對任意的恒成立① 則等價于這個二次函數(shù) 的對稱軸 （放縮法） 即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。 上是增函數(shù). （9分） ∴ 于是，對任意，不等式①恒成立，等價于 又∴ 點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關系 第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值 題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型 例3；已知函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當時，求的值域； （Ⅲ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。 解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 又 ∴的值域是 （Ⅲ）令 思路1：要使恒成立，只需，即分離變量 思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值 二、題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎題型 解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集 例4：已知，函數(shù)． （Ⅰ）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值； （Ⅱ）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍． 解：. （Ⅰ）∵ 是偶函數(shù)，∴ . 此時，， 令，解得：. 列表如下： (－∞,－2) －2 (－2,2) 2 (2,+∞) + 0 － 0 + 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 可知：的極大值為， 的極小值為. （Ⅱ）∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)， ∴，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法 則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想 （I） 1、 當且僅當時取“=”號，單調(diào)遞增。 2、 a-1 -1 單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)減區(qū)間： （II）當 則是上述增區(qū)間的子集： 1、時，單調(diào)遞增 符合題意 2、， 綜上，a的取值范圍是[0，1]。 三、題型二：根的個數(shù)問題 題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點======即方程根的個數(shù)問題 解題步驟 第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”； 第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關系； 第三步：解不等式（組）即可； 例6、已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)． 求實數(shù)的取值范圍； 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍． 解：（1）由題意 ∵在區(qū)間上為增函數(shù)， ∴在區(qū)間上恒成立（分離變量法） 即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為 （2）設， 令得或由（1）知， ①當時，，在R上遞增，顯然不合題意… ②當時，，隨的變化情況如下表： — ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即 ∴，解得 綜上，所求的取值范圍為 根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。 例7、已知函數(shù) （1）若是的極值點且的圖像過原點，求的極值； （2）若，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng) 解：（1）∵的圖像過原點，則 ， 又∵是的極值點，則 -1 （2）設函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點， 等價于有含的三個根，即： 整理得： 即：恒有含的三個不等實根 （計算難點來了：）有含的根， 則必可分解為，故用添項配湊法因式分解， 十字相乘法分解： 恒有含的三個不等實根 等價于有兩個不等于-1的不等實根。 題2：切線的條數(shù)問題====以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù) 例7、已知函數(shù)在點處取得極小值－4，使其導數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍． （1）由題意得： ∴在上；在上；在上 因此在處取得極小值 ∴①，②，③ 由①②③聯(lián)立得：，∴ （2）設切點Q， 過 令， 求得：，方程有三個根。 需： 故：；因此所求實數(shù)的范圍為： 題3：已知在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導函數(shù)=0的根的個數(shù) 解法：根分布或判別式法 例8、 解：函數(shù)的定義域為（Ⅰ）當m＝4時，f (x)＝ x3－x2＋10x， ＝x2－7x＋10，令 ， 解得或. 令 ， 解得 可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為． （Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6, 1 要使函數(shù)y＝f (x)在（1，＋∞）有兩個極值點,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布問題： 則， 解得m＞3 例9、已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍． 解：（1） 當時，令解得，令解得， 所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為. 當時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為. （2）有且僅有3個極值點 =0有3個根，則或， 方程有兩個非零實根，所以 或 而當或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點 其它例題： 1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 解：（Ⅰ） 令=0,得 因為，所以可得下表： 0 + 0 - ↗ 極大 ↘ 因此必為最大值,∴因此， ， 即，∴，∴ （Ⅱ）∵，∴等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍， 為此只需，即， 解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是[0，1]. 2、（根分布與線性規(guī)劃例子） （1）已知函數(shù) (Ⅰ) 若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行, 求的解析式； (Ⅱ) 當在取得極大值且在取得極小值時, 設點所在平面區(qū)域為S, 經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程. 解： (Ⅰ). 由, 函數(shù)在時有極值 , ∴ ∵ ∴ 又∵ 在處的切線與直線平行, ∴ 故 ∴ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時DE為△ABC的中位線, ∴ 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點F的橫坐標為: 由 得點G的橫坐標為: ∴ 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時DE為△ABC的中位線, ∴所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點為: ∵ , , ∴ 所求直線方程為: 或 3、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù)的圖象如圖所示。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)f ( x )的解析式； （Ⅲ）若方程有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍。 解：由題知： （Ⅰ）由圖可知 函數(shù)f ( x )的圖像過點( 0 , 3 )，且= 0 得 （Ⅱ）依題意 = – 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依題意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當且僅當 滿足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3 所以 當＜a＜3時，方程f ( x ) = 8a有三個不同的根?！?12分 4、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū)間； （2）若，討論曲線與的交點個數(shù)． 解：（1） ………………………………………………………………………2分 令得 令得 ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分 （2）由題得 即 令……………………6分 令得或……………………………………………7分 當即時 － 此時，，，有一個交點；…………………………9分 當即時， ＋ — , ∴當即時,有一個交點； 當即時，有兩個交點； 　 當時，，有一個交點．………………………13分 綜上可知，當或時，有一個交點； 當時，有兩個交點．…………………………………14分