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2.4正態(tài)分布,1.正態(tài)曲線及其性質(zhì)(1)正態(tài)曲線:函數(shù)φμ,σ(x)=___________,x∈(-∞,+∞),其中實(shí)數(shù)μ,σ(σ>0)為參數(shù),我們稱φμ,σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.,(2)正態(tài)曲線的性質(zhì):①曲線位于x軸_____,與x軸不相交.②曲線是單峰的,它關(guān)于直線_____對(duì)稱.③曲線在x=μ處達(dá)到峰值______.④曲線與x軸之間的面積為_(kāi)_.⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著___的變化而沿x軸平移.,上方,x=μ,1,μ,⑥當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定.σ越小,曲線越“_____”,表示總體的分布越_____;σ越大,曲線越“_____”,表示總體的分布越_____.如圖所示:,瘦高,集中,矮胖,分散,2.正態(tài)分布及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)正態(tài)分布:①如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(a
0)的密度函數(shù)圖象如圖所示,則有μ1μ2,σ1σ2.,(3)在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為.,【解析】(1)對(duì)照正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)=,x∈(-∞,+∞),可得μ=0,σ=.答案：0(2)可知N(μ1，),N(μ2，)的密度曲線分別關(guān)于直線x=μ1,x=μ2對(duì)稱，因此結(jié)合所給圖象知μ1＜μ2，且N(μ1，)的密度曲線較N(μ2，)的密度曲線“高瘦”，因此σ1＜σ2.答案：＜＜,(3)可知正態(tài)分布N(1,σ2)的密度曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱.若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.答案:0.8,【要點(diǎn)探究】知識(shí)點(diǎn)正態(tài)分布1.對(duì)正態(tài)曲線的三點(diǎn)說(shuō)明(1)解析式中含有兩個(gè)常數(shù):π和e,這是兩個(gè)無(wú)理數(shù),其中π是圓周率,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),即自然常數(shù).(2)解析式中含有兩個(gè)參數(shù):μ和σ.其中μ可取任意實(shí)數(shù);σ>0.在不同的正態(tài)分布中μ,σ的取值是不同的,這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù).,(3)解析式中前面有一個(gè)系數(shù),后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式,冪指數(shù)為,其中σ這個(gè)參數(shù)在解析式中的兩個(gè)位置上出現(xiàn),注意兩者的一致性.,2.對(duì)正態(tài)曲線特征的認(rèn)識(shí),3.對(duì)正態(tài)分布的三點(diǎn)說(shuō)明(1)正態(tài)分布是自然界最常見(jiàn)的一種分布,例如,測(cè)量的誤差;人的身高、體重等;農(nóng)作物的收獲量;工廠產(chǎn)品的尺寸:直徑、長(zhǎng)度、寬度、高度……都近似地服從正態(tài)分布.(2)正態(tài)分布定義中的式子實(shí)際是指隨機(jī)變量X的取值區(qū)間在(a,b]上的概率等于總體密度函數(shù)在[a,b]上的定積分值.也就是指隨機(jī)變量X的取值區(qū)間在(a,b]上時(shí)的概率等于正態(tài)曲線與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的封閉圖形的面積.,(3)從正態(tài)曲線可以看出,對(duì)于固定的μ和σ而言,隨機(jī)變量在(μ-σ,μ+σ)上取值的概率隨著σ的減小而增大.這說(shuō)明σ越小,X取值落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)的概率越大,即X集中在μ周圍的概率越大.正態(tài)分布的3σ原則是進(jìn)行質(zhì)量控制的依據(jù),要會(huì)應(yīng)用給定三個(gè)區(qū)間的概率解決實(shí)際問(wèn)題.,【知識(shí)拓展】小概率事件正態(tài)總體在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.26%.由于這些概率值很小(一般不超過(guò)5%),通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.即事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.,【微思考】為什么正態(tài)分布中,通常認(rèn)為X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的值?提示:正態(tài)分布中變量X幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi),而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生,故在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi)的值,簡(jiǎn)稱“3σ”原則.,【即時(shí)練】(2014汕頭高二檢測(cè))若ξ～N(1,0.04),則P(ξ>1)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【解析】選D.因?yàn)棣巍玁(1,0.04),所以μ=1,由正態(tài)分布密度曲線可知曲線關(guān)于x=1對(duì)稱,故P(ξ>1)=0.5.,【題型示范】類型一正態(tài)曲線及其性質(zhì)【典例1】(1)某次我市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中,甲、乙、丙三科考試成績(jī)的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多,成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布),則由如圖曲線可得下列說(shuō)法中正確的一項(xiàng)是(),A.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B.丙科總體的平均數(shù)最小C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同,(2)(2014石河子高二檢測(cè))如圖是當(dāng)σ取不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線N(0,σ2)的圖象,那么σ1,σ2,σ3的關(guān)系是()A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3,【解題探究】1.題(1)中從圖中看正態(tài)曲線的什么相同?什么不同?2.圖中標(biāo)準(zhǔn)差σ反映數(shù)據(jù)的什么?【探究提示】1.根據(jù)正態(tài)曲線的特征進(jìn)行判斷,從圖中看出,正態(tài)曲線的對(duì)稱軸相同,最大值不同.2.標(biāo)準(zhǔn)差σ反映該組數(shù)據(jù)的離散程度.,【自主解答】(1)選A.由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等,由正態(tài)密度曲線的性質(zhì),可知σ越大,正態(tài)曲線越扁平;σ越小,正態(tài)曲線越尖陡,故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙.故選A.(2)選D.由圖象可知，此正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其函數(shù)的解析式為f(x)=,x∈R.對(duì)于正態(tài)分布密度曲線，其標(biāo)準(zhǔn)差σ反映該組數(shù)據(jù)的離散程度.σ越大，數(shù)據(jù)越分散，曲線越矮胖；σ越小，數(shù)據(jù)越集中，曲線越瘦高.因而一定有0＜σ1＜σ2＜σ3.,又由f(x)=,x∈R知，當(dāng)x=0時(shí),由圖象知，所以σ2=1.,【方法技巧】求正態(tài)曲線的兩個(gè)方法(1)圖解法:明確頂點(diǎn)坐標(biāo)便可,橫坐標(biāo)為樣本的均值μ,縱坐標(biāo)為.(2)待定系數(shù)法:求出μ,σ便可.,【變式訓(xùn)練】關(guān)于正態(tài)曲線，下列說(shuō)法正確的是_______.①曲線上任一點(diǎn)M(x0,y0)的縱坐標(biāo)y0表示X=x0的概率;②表示總體取值小于a的概率;③正態(tài)曲線在x軸上方且與x軸一定不相交;④正態(tài)曲線關(guān)于x=σ對(duì)稱;⑤μ一定時(shí)，σ越小，總體分布越分散；σ越大，總體分布越集中.,【解析】①不對(duì)，因?yàn)槊芏惹€中面積代表概率，而不是縱坐標(biāo)；④不對(duì)，因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱；⑤不對(duì)，與之相反μ一定時(shí)，σ越大，總體分散越分散，σ越小，總體分布越集中.答案：②③,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014濰坊高二檢測(cè))設(shè)ξ的概率密度函數(shù)為則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.P(ξ＜1)=P(ξ＞1)B.P(-1≤ξ≤1)=P(-1＜ξ＜1)C.f(x)的漸近線是x=0D.η=ξ-1～N(0，1),【解析】選C.因?yàn)棣蔚母怕拭芏群瘮?shù)為所以μ=1，σ=1,所以P(ξ＜1)=P(ξ＞1)，P(-1≤ξ≤1)=P(-1＜ξ＜1)，當(dāng)變量ξ符合正態(tài)分布時(shí)，ξ與一個(gè)常數(shù)的加減運(yùn)算也符合正態(tài)分布，f(x)的漸近線是y=0.,類型二利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率【典例2】(1)已知隨機(jī)變量x～N(2,σ2),若P(x
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高中數(shù)學(xué)
2.4
正態(tài)分布課件
新人教A版選修2-3
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