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2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 15.4 參數(shù)方程題組訓(xùn)練 理 蘇教版 1．(xx南通調(diào)研)P為曲線C1：(θ為參數(shù))上一點(diǎn)，求它到直線C2：(t為參數(shù))距離的最小值． 解　將曲線C1化成普通方程是(x－1)2＋y2＝1，圓心是(1,0)， 直線C2化成普通方程是y－2＝0，則圓心到直線的距離為2. 所以曲線C1上點(diǎn)到直線的最小距離為1. 2．(xx江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x，y)是橢圓＋y2＝1上的一個動點(diǎn)，求S＝x＋y的最大值． 解　∵橢圓＋y2＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，故可設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π.因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝ 2＝2sin， ∴當(dāng)φ＝時，S取得最大值2. 3．(xx南通市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，曲線D的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若曲線C、D有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　曲線C的普通方程為(x－m)2＋y2＝4. 曲線D的普通方程為3x＋4y＋2＝0. 因?yàn)榍€C、D有公共點(diǎn)，所以≤2，|3m＋2|≤10. 解得－4≤m≤，即m的取值范圍是. 4．(xx鎮(zhèn)江市期末考試)已知極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直線與x軸的交點(diǎn)為P，與橢圓(θ為參數(shù))交于點(diǎn)A，B，求PAPB的值． 解　由題意，直線經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)， 其參數(shù)方程為(t為參數(shù))， ① 又橢圓方程為＋y2＝1， ② 將①代入②，整理，得5t2－2t－6＝0； 所以PAPB＝|t1t2|＝. 5．(xx南京、鹽城調(diào)研一，21)在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ＝4cos，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線l被⊙C截得的弦AB的長度． 解　⊙C的方程可化為ρ＝4cos θ＋4sin θ，兩邊同乘ρ，則ρ2＝4ρcos θ＋ 4ρsin θ. 由ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得x2＋y2－4x－4y＝0. 圓心C的坐標(biāo)為(2,2)，圓的半徑r＝2. 又由題設(shè)知直線l的普通方程為x－y－2＝0， 故圓心C到直線l的距離d＝＝. ∴弦AB長度等于2＝2. 6．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線C1的方程為ρ2＝8ρsin θ－15，曲線C2的方程為(α為參數(shù))． (1)將C1的方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)若C2上的點(diǎn)Q對應(yīng)的參數(shù)為α＝，P為C1上的動點(diǎn)，求PQ的最小值． 解　(1)x2＋y2－8y＋15＝0. (2)當(dāng)α＝時，得Q(－2,1)，點(diǎn)Q到C1的圓心(0,4)的距離為，所以PQ的最小值為－1. 7．(xx泰州調(diào)研一)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線l被曲線C截得的線段長度． 解　將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，它表示以(0,3)為圓心，3為半徑的圓，直線方程l的普通方程為y＝ x＋1， 圓C的圓心到直線l的距離d＝1， 故直線l被曲線C截得的線段長度為2＝4. 8．(xx南京調(diào)研二)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，判斷曲線C：(θ為參數(shù))與直線l：(t為參數(shù))是否有公共點(diǎn)，并證明你的結(jié)論． 解　直線l與曲線C沒有公共點(diǎn)．證明如下： 直線l的普通方程為x＋2y－3＝0， 把曲線C的參數(shù)方程代入l的方程x＋2y－3＝0，得 2cos θ＋2sin θ－3＝0，即sin＝. ∵sin∈[－，]，而?[－，]， ∴方程sin＝無解，即曲線C與直線l沒有公共點(diǎn)． 9．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓＋y2＝1上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值． 解　將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))轉(zhuǎn)化為普通方程為x＋2y＝0， 因?yàn)镻為橢圓＋y2＝1上任意一點(diǎn)， 故可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此點(diǎn)P到直線l的距離 d＝＝， 所以當(dāng)θ＝kπ＋，k∈Z時，d取得最大值. 10．(xx新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； (2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解　(1)將消去參數(shù)t， 化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的極坐標(biāo)方程為 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0. 由 解得或 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，. 11．(xx新課標(biāo)全國Ⅱ卷)已知動點(diǎn)P、Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0<α<2π)，M為PQ的中點(diǎn)． (1)求M的軌跡的參數(shù)方程； (2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)． 解　(1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0<α<2π)． (2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d＝＝(0<α<2π)． 當(dāng)α＝π時，d＝0，故M的軌跡通過坐標(biāo)原點(diǎn)． 12．已知圓錐曲線(θ是參數(shù))和定點(diǎn)A(0，)，F(xiàn)1、F2是圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)． (1)求經(jīng)過點(diǎn)F1且垂直于直線AF2的直線l的參數(shù)方程； (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AF2的極坐標(biāo)方程． 解　(1)圓錐曲線化為普通方程＋＝1， 所以F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則直線AF2的斜率k＝－，于是經(jīng)過點(diǎn)F1且垂直于直線AF2的直線l的斜率k′＝，直線l的傾斜角是30， 所以直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))， 即(t為參數(shù))． (2)直線AF2的斜率k＝－，傾斜角是120， 設(shè)P(ρ，θ)是直線AF2上任一點(diǎn)， 則＝，ρsin(120－θ)＝sin 60， 則ρsin θ＋ρcos θ＝.