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2019年高考數(shù)學大一輪總復習 12.5 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布高效作業(yè) 理 新人教A版
一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在下列四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(xx廣東)已知離散型隨機變量X的分布列為
X
1
2
3
P
則X的數(shù)學期望E(X)＝( )
A. B．2
C. D．3
解析：E(X)＝1＋2＋3＝.
答案：A
2．已知隨機變量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，則E(η)，D(η)分別是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
解析：∵E(ξ)＝100.6＝6，D(ξ)＝100.6(1－0.6)＝2.4，∴E(η)＝E(8－ξ)＝8－E(ξ)＝8－6＝2，D(η)＝D(8－ξ)＝(－1)2D(ξ)＝D(ξ)＝2.4.
答案：B
3．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，隨機變量ξ＝1表示結果中有正面向上，ξ＝0表示結果中沒有正面向上，則E(ξ)＝( )
A. B.
C. D．1
解析：∵P(ξ＝1)＝，P(ξ＝0)＝，
∴E(ξ)＝0＋1＝.
答案：C
4．(xx浙江聯(lián)考)甲、乙兩人獨立地從六門選修課程中任選三門進行學習，記兩人所選課程相同的門數(shù)為ξ，則Eξ為( )
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
解析：ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝2)＝，故Eξ＝0＋1＋2＋3＝1.5.
答案：B
5．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為( )
A．100 B．200
C．300 D．400
解析：種子發(fā)芽率為0.9，不發(fā)芽率為0.1，每粒種子發(fā)芽與否相互獨立，故設沒有發(fā)芽的種子數(shù)為ξ，則ξ～B(1 000，0.1)，
∴Eξ＝1 0000.1＝100，故X的期望為2Eξ＝200.
答案：B
6．(xx莆田二模)正態(tài)總體N(0，)中，數(shù)值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)內的概率是( )
A．0.46 B．0.997
C．0.03 D．0.0026
解析：由題意μ＝0，σ＝，
∴P(－2
2)
＝1－P(－2≤X≤2)
＝1－0.9974＝0.0026.
答案：D
二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上)
7．若p為非負實數(shù)，隨機變量X的概率分布如下表，則E(X)的最大值為________，D(X)的最大值為________.
X
0
1
2
P
－p
p
解析：∵∴p∈[0，]，
∴E(X)＝p＋1≤，D(X)＝－p2－p＋1≤1.
答案： 1
8．設三個正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1＞0)、N(μ2，σ)(σ2＞0)、N(μ3，σ)(σ3＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則μ1、μ2、μ3按從小到大的順序排列是________；σ1、σ2、σ3按從小到大的順序排列是________．
解析：μ反映的是正態(tài)分布的平均水平，直線x＝μ是正態(tài)曲線的對稱軸，由圖可知μ2＜μ1＜μ3；σ反映的是正態(tài)分布的離散程度，σ越小，曲線越“瘦高”，總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，總體的分布越分散，由圖可知σ1＜σ3＜σ2.
答案：μ2＜μ1＜μ3 σ1＜σ3＜σ2
9．(xx岳陽二模)有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則DX＝________.
解析：∵X～B(3，)，
∴DX＝3＝.
答案：
10．(xx山東模擬)某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為________．
解析：設元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴該部件的使用壽命超過1 000小時的概率P＝P(A＋B＋AB)C＝(＋＋)＝.
答案：
三、解答題(本大題共3小題，共40分，11、12題各13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟)
11．某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統(tǒng)一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續(xù)學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加5次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是，每次測試通過與否相互獨立．規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試．
(1)求該學生考上大學的概率；
(2)如果考上大學或參加完5次考試就結束，記該生參加測試的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ.
解：(1)記“該學生考上大學”為事件A，其對立事件為，
則P()＝C()3＋()4＝，
∴P(A)＝1－P()＝1－＝.
(2)ξ的可能取值為2,3,4,5.
P(ξ＝2)＝()2＝，
P(ξ＝3)＝C()2＝，
P(ξ＝4)＝C()2()2＋()4＝，
由于規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試．
當ξ＝5時，說明前4次只通過了1次，但不必考慮第5次是否通過，于是
P(ξ＝5)＝C()3＝.
∴ξ的分布列為：
ξ
2
3
4
5
P
Eξ＝2＋3＋4＋5＝.
12．某班同學利用寒假在三個小區(qū)進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，這兩族人數(shù)占各自小區(qū)總人數(shù)的比例如下：
A小區(qū)
低碳族
非低碳族
比例
B小區(qū)
低碳族
非低碳族
比例
C小區(qū)
低碳族
非低碳族
比例
(1)從A，B，C三個小區(qū)中各選一人，求恰好有2人是低碳族的概率；
(2)在B小區(qū)中隨機選擇20戶，從中抽取的3戶中“非低碳族”數(shù)量為X，求X的分布列和E(X)．
解：(1)3人中恰好有2人是低碳族的概率為
P＝＋＋＝.
(2)在B小區(qū)中隨機選擇的20戶中，“非低碳族”有20＝4戶，
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0＋1＋2＋3＝0.6.
13．為迎接xx“馬”年的到來，某機構舉辦猜獎活動，參與者需先后回答兩道選擇題：問題A有四個選項，問題B有五個選項，但都只有一個選項是正確的，正確回答問題A可獲獎金m元，正確回答問題B可獲獎金n元．活動規(guī)定：參與者可任意選擇回答問題的順序：如果第一個問題回答錯誤，則該參與者猜獎活動中止，一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生，因而準備靠隨機猜測回答問題，試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大．
解：隨機猜對問題A的概率P1＝，
隨機猜對問題B的概率P2＝，
回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
(1)先回答問題A，再回答問題B.
參與者獲獎金額ξ可取0，m，m＋n，
則P(ξ＝0)＝1－P1＝，
P(ξ＝m)＝P1(1－P2)＝＝，
P(ξ＝m＋n)＝P1P2＝＝.
Eξ＝0＋m＋(m＋n)＝＋.
(2)先回答問題B，再回答問題A，參與者獲獎金額η可取0，n，m＋n，則
P(η＝0)＝1－P2＝，
P(η＝n)＝P2(1－P1)＝＝，
P(η＝m＋n)＝P2P1＝＝.
Eη＝0＋n＋(m＋n)＝＋.
Eξ－Eη＝(＋)－(＋)＝.
于是，當＞時，Eξ＞Eη，
先回答問題A，再回答問題B，獲獎金的期望值較大；
當＝時，Eξ＝Eη，
兩種順序獲獎金的期望值相等；
當＜時，Eξ＜Eη，
先回答問題B，再回答問題A，獲獎金的期望值較大．
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