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2019-2020年高三數(shù)學聯(lián)考試題 理（含解析）湘教版 【試卷綜述】全卷重點考查中學數(shù)學主干知識和方法；側(cè)重于中學數(shù)學學科的基礎知識和基本技能的考查；側(cè)重于知識交匯點的考查.全面考查了考試說明中要求的內(nèi)容，如復數(shù)、旋轉(zhuǎn)體、簡易邏輯試卷都有所考查.在全面考查的前提下，高中數(shù)學的主干知識如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、導數(shù)、圓錐曲線、概率統(tǒng)計等仍然是支撐整份試卷的主體內(nèi)容，尤其是解答題，涉及內(nèi)容均是高中數(shù)學的重點知識.明確了中學數(shù)學的教學方向和考生的學習方向. 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 【題文】1、已知，則復數(shù) 是虛數(shù)的充分必要條件是 （ ） A. B. C. D. 且 【知識點】復數(shù)的意義；充要條件. L4 A2 【答案】【解析】C解析：根據(jù)虛數(shù)的定義：復數(shù) （），當時，是虛數(shù).故選C. 【思路點撥】根據(jù)虛數(shù)的定義得結(jié)論. 【題文】2．函數(shù)的定義域是 （ ） A．[-1，4] B． C．[1，4] D． 【知識點】函數(shù)定義域的求法；一元二次不等式的解法. B1 E3 【答案】【解析】D 解析：由，故選 D. 【思路點撥】根據(jù)函數(shù)定義域的意義，得關于x的不等式組，解此不等式組即可. 【題文】3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，則A∩B中元素的個數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【知識點】函數(shù)值的意義；集合運算. B1 A1 【答案】【解析】C 解析：∵A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，∴B={0,2,4,6}， ∴A∩B={0,2}，故選C. 【思路點撥】由函數(shù)值的意義得集合A 中元素，從而A∩B. 【題文】4、設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，則k的值為（　?。? A.8 B.7 C.6 D.5 【知識點】等差數(shù)列及其前n項和. D2 【答案】【解析】A 解析：由a1=1，a3=5得d=2,所以 Sk+2﹣Sk=，解得:k=8,故選A. 【思路點撥】由等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式求得結(jié)論. 【題文】5.已知函數(shù)是上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,若,則 （ ） A. B. C. D. 【知識點】函數(shù)單調(diào)性的應用；數(shù)值大小的比較. B3 E1 【答案】【解析】B 解析：∵，∴<0,又， ∴，∵函數(shù)是上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)是上的增函數(shù)，∴.故選B 【思路點撥】先判斷的大小關系，再利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性確定結(jié)論. 【題文】6 ．由直線,,曲線及軸所圍成的封閉圖形的面積是 （ ） A. B. C. D. 【知識點】定積分；微積分基本定理. B13 【答案】【解析】A 解析：，故選A. 【思路點撥】根據(jù)定積分的幾何意義，及微積分基本定理求解. 【題文】7．已知點分別是正方的棱的中點，點分別在線段上. 以為頂點的三棱錐的俯視圖不可能是（ ） 【知識點】幾何體的三視圖. G2 【答案】【解析】C 解析：當M與F重合、N與G重合、Q與E重合、P與重合時，三棱錐的俯視圖為A；當M、N、Q、P是所在線段的中點時為B；當M、N、P是所在線段的非端點位置，而E與B重合時，三棱錐的俯視圖有選項D的可能.故選C. 【思路點撥】由運動變化的觀點，分析三棱錐的俯視圖的可能情況，從而得出其不可能情況. 【題文】8.運行如左下圖所示的程序，如果輸入的n是6，那么輸出的p是 （ ） A.120 B.720 C.1440 D.5040 【知識點】算法與程序. L1 L2 【答案】【解析】B 解析：程序運行的過程為：（1）p=1,k=2;(2)p=2,k=3;(3)p=6,k=4;(4)p=24,k=5; (5)p=120,k=6;(6)p=720,k=7,這時不滿足，所以輸出的p是720 ，故選B. 【思路點撥】根據(jù)程序描述的意義，依次寫出每次循環(huán)的結(jié)果即可. 【題文】9、函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分圖象如圖所示，其 中A，B兩點之間的距離為5，則f（x）的遞增區(qū)間是 （　 　） A.[6K-1，6K+2](K∈Z) B. [6k-4,6k-1] (K∈Z) C.[3k-1,3k+2] (K∈Z) D.[3k-4,3k-1] (K∈Z) 【知識點】函數(shù)的圖像與性質(zhì). C4 【答案】【解析】 B 解析：由圖可得,又最低點 B(2,-2),所以，因為0≤φ≤π，所以 ，即，解不等式得 f（x）的遞增區(qū)間是[6k-4,6k-1] (K∈Z).故選B. 【思路點撥】先根據(jù)圖像求得函數(shù)解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求f（x）的遞增區(qū)間. 【題文】10、已知，曲線恒過點，若是曲線上的動點，且的最小值為，則 ( ). A. B.-1 C.2 D.1 【知識點】指數(shù)函數(shù)的定點性；向量數(shù)量積的坐標運算；導數(shù)的應用. B6 F2 F3 B12 【答案】【解析】D 解析：根據(jù)題意得B(0，1),設，則 ，即函數(shù) 有最小值0.因為，所以當a時f(x)無最小值；當a>0時，有時f(x)=0,即，顯然a=1是此方程的解，故選D. 【思路點撥】易得B（0,1），設出點P坐標，利用向量數(shù)量積德坐標運算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，再利用導數(shù)求函數(shù)取得最值得條件. 【題文】二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡的相應位置． 【題文】11、已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則 。 【知識點】等比數(shù)列. D3 【答案】【解析】27 解析：（負值舍去）， 所以. 【思路點撥】由已知條件求出首項和公比即可. 【題文】12. 若等邊△ABC的邊長為1，平面內(nèi)一點M滿足，則=　 ?。? 【知識點】向量的線性運算；向量的數(shù)量積. F1 F3 【答案】【解析】 解析：= . 【思路點撥】用表示所求數(shù)量積中的向量，再用數(shù)量積公式求解. 【題文】13. 在中，若，則角B= 。 【知識點】同角三角函數(shù)關系；余弦定理的應用. C2 C8 【答案】【解析】或 解析：把，代入已知等式得：，又，所以角B=或. 【思路點撥】把余弦定理、同角三角函數(shù)關系，代入已知等式得，又，所以角B=或. 【題文】14、設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x2，若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ． 【知識點】函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應用. B3 B4 【答案】【解析】 解析：因為當x≥0時，f（x）=，所以f(x)是的增函數(shù)，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)是R上的增函數(shù)，所以若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即對任意x∈[a，a+2] ，因為函數(shù)2x+1是[a，a+2]上的增函數(shù)，所以2x+1有最大值2a+5,所以. 【思路點撥】先根據(jù)已知判定函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，然后把命題轉(zhuǎn)化為對任意x∈[a，a+2],a 2x+1恒成立問題求解. 【題文】15 、對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)P. （1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)P的有 ① ② ③， （2）若函數(shù)具有性質(zhì)P，則實數(shù)的取值范圍是 . 【知識點】函數(shù)中的新概念問題； 導數(shù)法求最值. B1 B12 【答案】【解析】(1) ①②；（2），或. 解析：（1）①由x=1得：，所以①具有性質(zhì)P. ②設， ∵h(0)=-1<0, ,∴在上有解，所以②具有性質(zhì)P. ③由，所以③不具有性質(zhì)P； （2）若函數(shù)具有性質(zhì)P，則在上 有解，令 ，可得h(x)在有最小值，所以 或. 【思路點撥】（1）只需分析方程xf(x)=1在函數(shù)f(x)的定義域上是否有解即可； （2）轉(zhuǎn)化為方程在上 有解，即在函數(shù)的值域上取值，用導數(shù)求函數(shù)的值域即可. 【題文】三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)． 【題文】16．（本題滿分12分）在△ABC中，已知A=，． (I)求cosC的值； (Ⅱ)若BC=2，D為AB的中點，求CD的長． 【知識點】誘導公式；同角三角函數(shù)關系；正弦定理；余弦定理. C2 C8 【答案】【解析】(I) ；（Ⅱ）. 解析：（Ⅰ）且，∴ …2分 …………………4分 ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 …8分 由正弦定理得，即，解得．……10分 在中，，所以……12分 【思路點撥】(I)利用同角三角函數(shù)關系求得sinB，再用誘導公式求解；（Ⅱ）由(I)及同角三角函數(shù)關系得sinC的值，再用正弦定理求得AB=6，然后在中，用余弦定理求CD長. 【題文】17.（本題滿分12分） 在一個盒子中，放有大小相同的紅、白、黃三個小球，現(xiàn)從中任意摸出一球，若是紅球記1分，白球記2分，黃球記3分．現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后摸出兩球，所得分數(shù)分別記為、，設為坐標原點，點的坐標為，記． （I）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率； （Ⅱ）求隨機變量的分布列和數(shù)學期望． 【知識點】古典概型；離散型隨機變量的分布列；數(shù)學期望. K2 K6 K8 【答案】【解析】（I）的最大值為，取得最大值的概率； （Ⅱ）則隨機變量的分布列為： … 數(shù)學期望為2. 解析：（I）、可能的取值為、、，………1分 ，， ，且當或時，． 因此，隨機變量的最大值為 ………………3分 有放回摸兩球的所有情況有種……6分 （Ⅱ）的所有取值為． 時，只有這一種情況． 時，有或或或四種情況， 時，有或兩種情況． ，，………………8分 則隨機變量的分布列為： ………………10分 因此，數(shù)學期望………………12分 【思路點撥】（I）的表達式為，數(shù)組（x,y）有9個，且x、取值為、、，將x、y的取值代入的表達式得的最大值，據(jù)此可得取得最大值的概率；（Ⅱ）由（I）的方法可得的所以取值和取各值的概率，從而求得的分布列和數(shù)學期望． 【題文】18、（本題滿分12分）如圖，三角形和梯形所在的平面互相垂直， ，，是線段上一點，. （Ⅰ）當時，求證：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）是否存在點滿足平面？并說明理由. 【知識點】線面平行的判定；線面垂直的條件；二面角求法. G4 G5 G11 【答案】【解析】（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在點滿足平面，理由：見解析.解析：（Ⅰ）取中點，連接，…1分 D 又，所以. 因為，所以, 四邊形是平行四邊形，…………2分 所以 因為平面，平面 所以平面.…………4分 （Ⅱ）因為平面平面，平面平面=， 且，所以平面，所以，…………5分 因為，所以平面.如圖， 以為原點，建立空間直角坐標系. 則，………6分 是平面的一個法向量. 設平面的法向量，則 ，即 令，則，所以, 所以，……………8分 故二面角的正弦值為?！?分. （Ⅲ）因為，所以與不垂直,………11分 所以不存在點滿足平面.…………12分 【思路點撥】（Ⅰ）取中點，證明四邊形是平行四邊形即可；（Ⅱ）以為原點，直線AB為x軸，直線AF為z軸，建立空間直角坐標系.通過求平面ABF的法向量與平面BEF的法向量夾角余弦值，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若存在點滿足平面，則AE,由判斷不存在點滿足平面. 【題文】19.（本題滿分13分）已知橢圓的焦距為， 且過點.（1）求橢圓的方程； （2）已知，是否存在使得點關于的對稱點（不同于點）在橢圓上？若存在求出此時直線的方程，若不存在說明理由. 【知識點】待定系數(shù)法求橢圓方程；直線與橢圓的位置關系. H5 H8 【答案】【解析】（1）；（2）不存在滿足條件，理由：見解析. 解析：（1）由已知，焦距為2c=…………1分 又 …………2分 點在橢圓上，…………3分 故，所求橢圓的方程為……………5分 （2）當時，直線，點不在橢圓上；…………7分 當時，可設直線，即…………8分 代入整理得 因為，所以 若關于直線對稱，則其中點在直線上……10分 所以，解得因為此時點在直線上，……12分 所以對稱點與點重合，不合題意所以不存在滿足條件.…………13分 【思路點撥】（1）由已知條件得關于a、b的方程組求解；（2）討論與兩種情況， 當時得點不在橢圓上，所以不成立；當時，可設直線，即，代入整理得： ，由AB中點在直線上求得k=1,而這時直線y=x-1過點，由此得k=1也不成立，所以不存在滿足條件. 【題文】20. （本題滿分13分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為2. (Ⅰ)求實數(shù)的值; (Ⅱ)設,討論的單調(diào)性; (Ⅲ)已知且,證明: 【知識點】導數(shù)的幾何意義；導數(shù)的應用；不等式的證明. B11 B12 E7 【答案】【解析】（Ⅰ）1；(Ⅱ) 在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的，此函數(shù)無減區(qū)間；(Ⅲ) 證明：見解析. 解析：（Ⅰ） 所以……1分 由題意,得……3分 (Ⅱ)，所以……4分 設 當時，，是增函數(shù)，， 所以，故在上為增函數(shù)； ……………5分 當時，，是減函數(shù)，， 所以，故在上為增函數(shù)； 所以在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的。 ……………8分 (Ⅲ)因為，由（Ⅱ）知成立， 即，………9分 從而，即 ………12分 所以。………13分 【思路點撥】（Ⅰ）、由導數(shù)的幾何意義得 ，解得m值；(Ⅱ)、定義域上導函數(shù)大于零的x范圍是增區(qū)間，導函數(shù)小于零的x范圍是減區(qū)間；(Ⅲ)、由(Ⅱ)知在上單調(diào)遞增，而，所以，即 . 【典例剖析】綜合法是證明不等式的常用方法，但尋找推證不等式的基礎不等式比較困難. 本題第(Ⅲ)問的證明，采用了第(Ⅱ)問的結(jié)論：函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而得，由此變形、拆項，再用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證得結(jié)論,總的來說這是一個較典型的考題. 【題文】21.（本題滿分13分）已知函數(shù)，各項均不相等的有限項數(shù)列的各項滿足.令，且，例如：. (Ⅰ)若，數(shù)列的前n項和為Sn，求S19的值； (Ⅱ)試判斷下列給出的三個命題的真假，并說明理由。 ①存在數(shù)列使得；②如果數(shù)列是等差數(shù)列，則； ③如果數(shù)列是等比數(shù)列，則。 【知識點】數(shù)列求和；數(shù)列性質(zhì)得研究. D2 D3 D4 【答案】【解析】(Ⅰ) ； （Ⅱ）①③是真命題，②是假命題.理由：見解析. 解析：………1分 ………3分 ………5分 （Ⅱ）①顯然是對的，只需滿足………7分 ②顯然是錯的，若，………9分 ③也是對的，理由如下：……10分 首先是奇函數(shù)，因此只需考查時的性質(zhì)，此時都是增函數(shù)，從而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增。若，則，所以，即， 所以.同理若，可得， 所以時，. 由此可知，數(shù)列是等比數(shù)列，各項符號一致的情況顯然符合； 若各項符號不一致，則公比且，， 若是偶數(shù)，符號一致， 又符號一致，所以符合； 若是奇數(shù)，可證明總和符號一致”， 同理可證符合；……………12分 綜上所述，①③是真命題；②是假命題……………13分 【思路點撥】(Ⅰ)、由取值得周期性，尋找前n項和的求和規(guī)律 ； （Ⅱ）、①當時，.所以①是對的；②當數(shù)列是等差數(shù)列，且時，.所以②是錯的；③當數(shù)列是等比數(shù)列時，根據(jù)已知條件得公比q ，分q>0,q<0兩種情況討論得.所以③是對的.